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Herleitung Zentripetalbeschleunigung / Zentripetalkraft

Was du hier lernst...
  1. Herleitung der ZentripetalbeschleunigungHier wird die Richtung und der Betrag der Zentripetalbeschleunigung hergeleitet.
  2. Herleitung der ZentripetalkraftHier wird die Zentripetalkraft mit der Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit ausgedrückt.
Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Im Folgenden wird die Formel für die Zentripetalbeschleunigung \( a_{\text{z}} \) (auch Radialkraft genannt) hergeleitet.

Es geht hier um eine gleichförmige Kreisbewegung, das heißt der Betrag \( v \) der Bahngeschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) des Körpers ist an jedem Punkt der Kreisbahn konstant.

Herleitung der Zentripetalbeschleunigung

Betrachte einen Körper, der sich mit einem konstanten Betrag der Geschwindigkeit \( v \) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \( r \) bewegt.

Der Geschwindigkeitsvektor \( \boldsymbol{v} \) (hier in fett dargestellt) ist ein Vektor, dessen Richtung an jedem Punkt der Kreisbahn tangential zur Kreisbahn verläuft. Der Betrag \( v \) der Geschwindigkeit ist zwar bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch, wenn der Körper kreist.

Die Änderung der Geschwindigkeit resultiert in einer Beschleunigung \( \boldsymbol{a}\) des Körpers. Die Beschleunigung ist definiert als die Ableitung der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) nach der Zeit \( t \). Um die Herleitung anschaulich zu gestalten, betrachten wir nicht die Ableitung, sondern ihre Näherung:1\[ \boldsymbol{a} ~=~ \frac{\Delta\boldsymbol{v} }{\Delta t } \]

Wenn du eine sehr kleine (unendlich kleine) Zeitspanne \( \Delta t \) betrachtest, bekommst du die den exakten Wert der Beschleunigung.

Nehmen wir an, dass der Körper sich zu einem Zeitpunkt \(t_1\) am Ort \(S_1\) auf der Kreisbahn befindet und dort die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_1\) hat. Zu einem späteren Zeitpunkt \(t_2\) befindet sich der Körper am Ort \(S_2\) auf der Kreisbahn. Er hat sich innerhalb der Zeit \( \Delta t \) ein Stückchen weiter bewegt und dabei die Strecke \(\Delta s\) zurückgelegt.

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Ein Körper zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.

Am Ort \(S_2\) hat der Körper einen anderen Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}_2\), weil sich die Richtung der Geschwindigkeit verändert hat (der Körper bewegt sich schließlich auf einer gekrümmten Bahn). Der Betrag \(v\) bleibt bei einer gleichförmigen Kreisbewegung natürlich weiterhin gleich:2\[ v ~=~ v_1 ~=~ v_2 \]

Die Differenz der beiden Geschwindigkeitsvektoren gibt die Änderung der Geschwindigkeit an:3\[ \Delta \boldsymbol{v} ~=~ \boldsymbol{v}_2 - \boldsymbol{v}_1 \]

Wenn wir eine sehr kleine Zeitspanne \(\Delta t\) betrachten, dann wird auch die zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) klein. So klein, dass \(\boldsymbol{v}_1\) und \(\boldsymbol{v}_2\) näherungsweise parallel zueinander verlaufen. (Bei einer unendlich kleinen Zeitspannne sind die Geschwindigkeitsvektoren sogar nicht näherungsweise, sondern exakt parallel). Dann liegt \(\Delta \boldsymbol{v}\) senkrecht sowohl zu \(\boldsymbol{v}_1\) als auch zu \(\boldsymbol{v}_2\) und zeigt folglich zum Kreismittelpunkt \(C\) hin.

Wenn aber die Geschwindigkeitsänderung \(\Delta \boldsymbol{v}\) zum Kreismittelpunkt zeigt, ist nach Gl. 1 der Beschleunigungsvektor \(\boldsymbol{a}\) ebenfalls zum Kreismittelpunkt gerichtet. Um das anzudeuten, benennen wir \(\boldsymbol{a}\) in \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) um. Index \(\text z\) wegen Zentripetalbeschleunigung (zentripetal = "zum Kreismittelpunkt gerichtet"). So wissen wir sofort, wohin der Beschleunigungsvektor immer zeigt.

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Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.

Die Zentripetalbeschleunigung \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}\) des Körpers.

Wir müssen noch den Betrag \(a_{\text z}\) des Beschleunigungsvektors \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) herausfinden. Im Folgenden betrachten wir nur die Beträge. Die Richtung des Beschleunigungsvektors ist ja bereits bekannt.

Nun haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke (siehe Illustration 3):

  • Ein kleineres Dreieck, das durch \(\boldsymbol{v}_1\), \(\boldsymbol{v}_2\) und \(\Delta \boldsymbol{v}\) gebildet wird.
  • Und ein größeres Dreieck, das von den Geraden entlang des Radius \(r\) und \(\Delta s\) gebildet wird.
Zwei rechtwinklige Dreiecke (grün und blau). \(\boldsymbol{v}_2\) wurde dafür parallelverschoben.

Bei der Bewegung von \(S_1\) nach \(S_2\) hat der Körper den Winkel \(\Delta \varphi\) zurückgelegt. Durch eine geometrische Überlegung lässt sich zeigen, dass der eingeschlossene Winkel \(\Delta \theta\) zwischen \(\boldsymbol{v}_1\) und \(\boldsymbol{v}_2\) gleich dem Winkel \(\Delta \varphi\) ist (siehe Illustration 3).

Der Winkel zwischen \(\boldsymbol{v}_1\) und der Geraden \(C\,S_1\) ist (näherungsweise) 90 Grad. Dieser Winkel setzt sich zusammen aus \(\Delta \theta\) und \(\alpha\):4\[ 90^{\circ} ~=~ \Delta \theta + \alpha \] Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180 Grad. Dann ist der Winkel \(\alpha\):4.1\[ \alpha ~=~ 180^{\circ} - 90^{\circ} - \Delta \varphi ~=~ 90^{\circ} - \Delta \varphi \]

Setze 4.1 in 4 ein:4.2\[ 90^{\circ} ~=~ \Delta \theta + 90^{\circ} - \Delta \varphi \]

Umstellen von 4.2 ergibt: 4.3\[ \Delta \theta ~=~ \Delta \varphi \]

Mit den Winkeln sind wir erledigt. Die Gleichheit der Winkel 4.3 können wir jetzt ausnutzen!

Im größeren Dreieck können wir die trigonometrische Beziehung für Sinus (Gegenkathete durch Hypotenuse) anwenden. Hierbei ist die Gegenkathete \(\Delta s\) und die Hypotenuse der Radius \(r\) der Kreisbahn:5\[ \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{\Delta s}{r} \]

Auf das kleinere Dreieck wenden wir ebenfalls die trigonometrische Beziehung für Sinus an. Hier ist die Gegenkathete \(\Delta v\) und die Hypotenuse der Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit:6\[ \sin(\Delta \varphi) ~=~ \frac{\Delta v}{v} \]

Setze 5 und 6 gleich, um den Winkel \(\Delta \varphi\) zu eliminieren:7\[ \frac{\Delta s}{r} ~=~ \frac{\Delta v}{v} \]

Dividiere beide Seiten in 7 durch \(\Delta t\):8\[ \frac{\Delta s}{\Delta t} \, \frac{1}{r} ~=~ \frac{\Delta v}{\Delta t} \, \frac{1}{v} \]

So bringst du die Zentripetalbeschleunigung \(a_{\text z} = \Delta v / \Delta t\) ins Spiel. Und \( \Delta s / \Delta t\) (Strecke pro Zeit) ist die Bahngeschwindigkeit \(v\):9\[ v \, \frac{1}{r} ~=~ a_{\text z} \, \frac{1}{v} \]

Stelle nur noch 9 nach der Zentripetalbeschleunigung um:

Betrag der Zentripetalbeschleunigung10\[ a_{\text z} ~=~ \frac{v^2}{r} \]

Herleitung der Zentripetalkraft

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Zentripetalkraft

Um jetzt noch den Betrag der Zentripetalkraft \(F_{\text z}\) zu bekommen, müssen wir die Zentripetalbeschleunigung 10 mit der Masse \(m\) des Körpers multiplizieren (das zweite Newton-Axiom \(F = m \, a\) sagt uns, wie Kraft mit Beschleunigung zusammenhängt):

Betrag der Zentripetalkraft11\[ F_{\text z} ~=~ m \, \frac{v^2}{r} \]

Da Masse \(m\) nur eine Zahl ist (kein Vektor), können wir aus \(\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}\) folgern, dass die Zentripetalkraft \(\boldsymbol{F}_{\text z}\) wie die Zentripetalbeschleunigung \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) zum Kreismittelpunkt zeigt.

Die Zentripetalkraft \(\boldsymbol{F}_{\text z}\) steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} \).

Wir können alternativ die Zentripetalkraft 11 mithilfe der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ausdrücken. Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit \(v\) und der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), nämlich: \( v = \omega \, r \). Das quadrieren wir: \( v^2 = \omega^2 \, r^2 \) und setzen in 11 in die Geschwindigkeit ein:12\[ F_{\text z} ~=~ m \, \frac{\omega^2 \, r^2}{r} \]

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Zentripetalkraft steht senkrecht zum Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Den Radius \(r\) können wir einmal kürzen und bekommen:

Zentripetalkraft mittels Winkelgeschwindigkeit13\[ F_{\text z} ~=~ m \, \omega^2 \, r \]

Da der Winkelgeschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{\omega}\) senkrecht auf der Kreisbahn steht, steht er auch senkrecht zur Zentripetalkraft \( \boldsymbol{F}_{\text z} \) (und natürlich auch zur Zentripetalbeschleunigung).

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