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Herleitung Zentripetalbeschleunigung / Zentripetalkraft

Velocity of a body at two different points on the circular path
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Herleitung der Zentripetalbeschleunigung
  2. Herleitung der Zentripetalkraft

Im Folgenden wollen wir die Formel für die Zentripetalbeschleunigung \( a_{\text{z}} \) (auch Radialkraft genannt) herleiten. Es geht hier um eine gleichförmige Kreisbewegung, das heißt der Betrag \( v \) der Bahngeschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) des Körpers ist an jedem Punkt der Kreisbahn konstant.

Herleitung der Zentripetalbeschleunigung

Betrachte einen Körper, der sich mit einem konstanten Betrag der Geschwindigkeit \( v \) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \( r \) bewegt.

Der Geschwindigkeitsvektor \( \boldsymbol{v} \) (hier in fett dargestellt) ist ein Vektor, dessen Richtung an jedem Punkt der Kreisbahn tangential zur Kreisbahn verläuft. Der Betrag \( v \) der Geschwindigkeit ist zwar bei einer gleichförmigen Kreisbewegung konstant, ihre Richtung ändert sich jedoch, wenn der Körper kreist.

Die Änderung der Geschwindigkeit resultiert in einer Beschleunigung \( \boldsymbol{a}\) des Körpers. Die Beschleunigung ist definiert als die Ableitung der Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) nach der Zeit \( t \). Um die Herleitung anschaulich zu gestalten, betrachten wir nicht die Ableitung, sondern ihre Näherung:

Beschleunigung ist gleich Geschwindigkeitsänderung pro Zeit
Anker zu dieser Formel

Wenn du eine sehr kleine (unendlich kleine) Zeitspanne \( \Delta t \) betrachtest, bekommst du die den exakten Wert der Beschleunigung (genannt: Momentanbeschleunigung).

Nehmen wir an, dass der Körper sich zu einem Zeitpunkt \(t_1\) am Ort \(S_1\) auf der Kreisbahn befindet und dort die Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}_1\) hat. Zu einem späteren Zeitpunkt \(t_2\) befindet sich der Körper am Ort \(S_2\) auf der Kreisbahn. Er hat sich innerhalb der Zeit \( \Delta t \) ein Stückchen weiter bewegt und dabei die Strecke \(\Delta s\) zurückgelegt.

Geschwindigkeit eines Körpers an zwei verschiedenen Punkten der Kreisbahn
Ein Körper zu zwei verschiedenen Zeitpunkten.

Am Ort \(S_2\) hat der Körper einen anderen Geschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{v}_2\), weil sich die Richtung der Geschwindigkeit verändert hat (der Körper bewegt sich schließlich auf einer gekrümmten Bahn). Der Betrag \(v\) bleibt bei einer gleichförmigen Kreisbewegung natürlich weiterhin gleich:

Betrag der Geschwindigkeit ist konstant
Anker zu dieser Formel

Die Differenz der beiden Geschwindigkeitsvektoren gibt die Änderung der Geschwindigkeit an:

Änderung der Geschwindigkeitsrichtung
Anker zu dieser Formel

Wenn wir eine sehr kleine Zeitspanne \(\Delta t\) betrachten, dann wird auch die zurückgelegte Strecke \(\Delta s\) klein. So klein, dass \(\boldsymbol{v}_1\) und \(\boldsymbol{v}_2\) näherungsweise parallel zueinander verlaufen. (Bei einer unendlich kleinen Zeitspannne sind die Geschwindigkeitsvektoren sogar nicht näherungsweise, sondern exakt parallel). Dann liegt \(\Delta \boldsymbol{v}\) senkrecht sowohl zu \(\boldsymbol{v}_1\) als auch zu \(\boldsymbol{v}_2\) und zeigt folglich zum Kreismittelpunkt \(C\) hin.

Wenn aber die Geschwindigkeitsänderung \(\Delta \boldsymbol{v}\) zum Kreismittelpunkt zeigt, ist nach Gl. 1 der Beschleunigungsvektor \(\boldsymbol{a}\) ebenfalls zum Kreismittelpunkt gerichtet. Um das anzudeuten, benennen wir \(\boldsymbol{a}\) in \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) um. Index \(\text z\) wegen Zentripetalbeschleunigung (zentripetal = "zum Kreismittelpunkt gerichtet"). So wissen wir sofort, wohin der Beschleunigungsvektor immer zeigt.

Zentripetalbeschleunigung bei einer Kreisbewegung
Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zum Kreismittelpunkt.
Richtung der Zentripetalbeschleunigung

Die Zentripetalbeschleunigung \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v}\) des Körpers.

Wir müssen noch den Betrag \(a_{\text z}\) des Beschleunigungsvektors \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) herausfinden. Im Folgenden betrachten wir nur die Beträge. Die Richtung des Beschleunigungsvektors ist ja bereits bekannt.

Nun haben wir zwei rechtwinklige Dreiecke (siehe Illustration 3):

  • Ein kleineres Dreieck, das durch \(\boldsymbol{v}_1\), \(\boldsymbol{v}_2\) und \(\Delta \boldsymbol{v}\) gebildet wird.

  • Und ein größeres Dreieck, das von den Geraden entlang des Radius \(r\) und \(\Delta s\) gebildet wird.

Bahngeschwindigkeiten und Winkel bei einer Kreisbewegung
Zwei rechtwinklige Dreiecke (grün und blau). \(\boldsymbol{v}_2\) wurde dafür parallelverschoben.

Bei der Bewegung von \(S_1\) nach \(S_2\) hat der Körper den Winkel \(\Delta \varphi\) zurückgelegt. Durch eine geometrische Überlegung lässt sich zeigen, dass der eingeschlossene Winkel \(\Delta \theta\) zwischen \(\boldsymbol{v}_1\) und \(\boldsymbol{v}_2\) gleich dem Winkel \(\Delta \varphi\) ist (siehe Illustration 3).

Der Winkel zwischen \(\boldsymbol{v}_1\) und der Geraden \(C\,S_1\) ist (näherungsweise) 90 Grad. Dieser Winkel setzt sich zusammen aus \(\Delta \theta\) und \(\alpha\):

Delta Theta plus Alpha ist gleich 90 Grad
Anker zu dieser Formel

Die Winkelsumme in einem Dreieck ist 180 Grad. Dann ist der Winkel \(\alpha\):

Alpha ist gleich 180 Grad minus 90 Grad - Delta Phi ist gleich 90 Grad minus Delta Phi
Anker zu dieser Formel

Setze Gl. 5 in Gl. 4 ein:

90 Grad ist gleich Delta Theta plus 90 Grad minus Delta Phi
Anker zu dieser Formel

Umstellen von Gl. 6 ergibt:

Delta Theta ist gleich Delta Phi
Anker zu dieser Formel

Mit den Winkeln sind wir erledigt. Die Gleichheit der Winkel in 7 können wir jetzt ausnutzen! Im größeren Dreieck können wir die trigonometrische Beziehung für Sinus (Gegenkathete durch Hypotenuse) anwenden. Hierbei ist die Gegenkathete \(\Delta s\) und die Hypotenuse der Radius \(r\) der Kreisbahn:

Sinus des Winkels ist gleich Strecke geteilt durch Radius
Anker zu dieser Formel

Auf das kleinere Dreieck wenden wir ebenfalls die trigonometrische Beziehung für Sinus an. Hier ist die Gegenkathete \(\Delta v\) und die Hypotenuse der Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit:

Sinus des Winkels ist gleich Geschwinigkeitsänderung geteilt durch Geschwindigkeit
Anker zu dieser Formel

Setze Gl. 8 und Gl. 9 gleich, um den Winkel \(\Delta \varphi\) zu eliminieren:

Streckenänderung durch Radius ist gleich Geschwinigkeitsänderung durch Geschwindigkeit
Anker zu dieser Formel

Dividiere beide Seiten in Gl. 10 durch \(\Delta t\):

Geschwindigkeit durch Radius ist gleich Beschleunigung durch Geschwindigkeit
Anker zu dieser Formel

So bringst du die Zentripetalbeschleunigung \(a_{\text z} = \Delta v / \Delta t\) ins Spiel. Und \( \Delta s / \Delta t\) (Strecke pro Zeit) ist die Bahngeschwindigkeit \(v\):

Geschwindigkeit durch Radius ist gleich Zentripetalbeschleunigung durch Geschwindigkeit
Anker zu dieser Formel

Stelle nur noch Gl. 12 nach der Zentripetalbeschleunigung um:

Anker zu dieser Formel

Herleitung der Zentripetalkraft

Zentripetalkraft wirkt auf den Körper bei einer Kreisbewegung
Zentripetalkraft veranschaulicht

Um jetzt noch den Betrag der Zentripetalkraft \(F_{\text z}\) zu bekommen, müssen wir die Zentripetalbeschleunigung 13 mit der Masse \(m\) des Körpers multiplizieren (das zweite Newton-Axiom \(F = m \, a\) sagt uns, wie Kraft mit Beschleunigung zusammenhängt):

Anker zu dieser Formel

Da Masse \(m\) nur eine Zahl ist (kein Vektor), können wir aus \(\boldsymbol{F} = m \, \boldsymbol{a}\) folgern, dass die Zentripetalkraft \(\boldsymbol{F}_{\text z}\) wie die Zentripetalbeschleunigung \(\boldsymbol{a}_{\text z}\) zum Kreismittelpunkt zeigt.

Richtung der Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft \(\boldsymbol{F}_{\text z}\) steht immer senkrecht zur Bahngeschwindigkeit \(\boldsymbol{v} \).

Wir können alternativ die Zentripetalkraft 14 mithilfe der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ausdrücken. Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit \(v\) und der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), nämlich: \( v = \omega \, r \). Das quadrieren wir: \( v^2 = \omega^2 \, r^2 \) und setzen in Gl. 14 in die Geschwindigkeit ein:

Anker zu dieser Formel
Zentripetalkraft und Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Kreisbewegung
Zentripetalkraft steht senkrecht zum Winkelgeschwindigkeitsvektor.

Den Radius \(r\) können wir einmal kürzen und bekommen:

Anker zu dieser Formel

Da der Winkelgeschwindigkeitsvektor \(\boldsymbol{\omega}\) senkrecht auf der Kreisbahn steht, steht er auch senkrecht zur Zentripetalkraft \( \boldsymbol{F}_{\text z} \) (und natürlich auch zur Zentripetalbeschleunigung).

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