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Herleitung (Hohl)Zylinder - Trägheitsmoment

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.

Im Folgenden wird das Trägheitsmoment \(I\) eines Hohlzylinders der homogenen Masse \(m\) bestimmt. Dieser hat einen Innenradius \(r_{\text i}\) (\({\text i}\) für intern), einen Außenradius \(r_{\text e}\) (\({\text e}\) für extern) und die Höhe \(h\). Am Ende wollen wir das Trägheitsmoment \(I\) herausbekommen, der nur von diesen gegebenen Größen abhängt.

Außerdem wird angenommen, dass die Drehachse, um die der Zylinder rotiert, durch den Mittelpunkt des Zylinders, also entlang seiner Symmetrieachse verläuft.

Das Trägheitsmoment \(I\) kann allgemein durch die Integration von \(r_{\perp}^2 \, \rho(\boldsymbol{r})\) über das Volumen \(V\) des Körpers bestimmt werden:1\[ I ~=~ \int_V r_{\perp}^2 \, \rho(\boldsymbol{r}) \, \text{d}v \]

Hierbei ist \(r_{\perp} \) der senkrechte Abstand eines Volumenelements \(\text{d}v\) des Körpers von der gewählten Drehachse (siehe Illustration 1). Und \( \rho(\boldsymbol{r})\) ist die Massendichte des Körpers, die im Allgemeinen vom Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) abhängt.

In unserem Fall hat der Zylinder eine homogene Massenverteilung, also ist die Massendichte ortsunabhängig: \( \rho = \text{const}\). Wir dürfen die Massendichte vor das Integral ziehen:2\[ I ~=~ \rho \int_V r_{\perp}^2 \, \text{d}v \]

Für die Integration können wir das infinitesimale Volumenelement \(\text{d}v\) des Zylinders mit \(\text{d}r_{\perp}\) ausdrücken und über \(r_{\perp}\) integrieren. Teile den Zylinder in konzentrische, unendlich dünne Hohlzylinder auf, mit der Dicke \(\text{d}r_{\perp}\) und der Höhe \(h\). Du kannst dir diese Integration so vorstellen, dass wir beim Innenradius anfangen und die unendlich dünnen Hohlzyliner über \(r_{\perp}\) aufsummieren, bis wir beim Außenradius ankommen. So ist dann \(\text{d}v\) das Volumen eines unendlich dünnen Hohlzylinders.

Der unendlich dünne Hohlzylinder hat die Mantelfläche \(2\pi \, r_{\perp} \, h\). Multipliziert mit seiner unendlich kleinen Dicke \( \text{d}r_{\perp} \), können wir das Volumen \(\text{d}v\) des unendlich dünnen Zylinders folgendermaßen schreiben:2.1\[ \text{d}v ~=~ 2 \pi \, r_{\perp} \, h \, \text{d}r_{\perp} \]

Setze 2.1 in das Trägheitsmoment-Integral 2 ein:3\[ I ~=~ \rho \int^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} r_{\perp}^2 \, ( 2 \pi \, r_{\perp} \, h \, \text{d}r_{\perp} ) \]

Alle Konstanten dürfen vor das Integral gezogen werden:4\[ I ~=~ 2\pi \, \rho \, h \int^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} r_{\perp}^3 \text{d}r_{\perp} \]

Damit haben wir das Integral 2 über das Volumen \(V\) in ein Integral 4 über den Radius \(r_{\perp}\) transformiert. Die Integration von 4 ergibt:5\[ I ~=~ 2\pi \, \rho \, h \begin{bmatrix} \frac{r_{\perp}^4}{4} \end{bmatrix}^{r_{\text e}}_{r_{\text i}} \]

Einsetzen der oberen und unteren Integrationsgrenzen:6\[ I ~=~ 2\pi \, \rho \, h \left( \frac{r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4}{4} \right) \]

\(1/4\) ausklammern und kürzen:7\[ I ~=~ \frac{1}{2}\pi \, \rho \, h \left( r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4 \right) \]

Wir müssen noch irgendwie die gegebene Masse \(m\) ins Spiel bringen. Die Massendichte \(\rho\) ist nicht bekannt. Zuerst faktorisieren wir \(r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4 \) (dritte binomische Formel):8\[ I ~=~ \frac{1}{2}\pi \, \rho \, h \left( r_{\text e}^2 - r_{\text i}^2 \right) \, \left( r_{\text e}^2 + r_{\text i}^2 \right) \]

Die Gesamtmasse \(m\) des Zylinders hängt mit der konstanten Massendichte folgendermaßen zusammen (Massendichte = Masse pro Volumen):8.1\[ m ~=~ \rho \, V \]

Das Zylindervolumen \(V\) in 8.1 ist das Volumen \( \pi \, r_{\text e}^2 \, h \) des äußeren Vollzylinders abzüglich des Volumens \( \pi \, r_{\text i}^2 \, h \) des inneren Vollzylinders. Damit wird 8.1 zu:8.2\[ m ~=~ \pi \, \rho \, h \left( r_{\text e}^2 - r_{\text i}^2 \right) \]

Die Zylindermasse 8.2 kommt in 8 vor. Setze \(m\) in 8 ein:

Trägheitsmoment eines Hohlzylinders9\[ I ~=~ \frac{1}{2} m \, \left( r_{\text e}^2 + r_{\text i}^2 \right) \]

Das ist das gesuchte Trägheitsmoment \(I\) ausgedrückt mit den gegebenen Größen.

Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.

Im Fall eines ausgefüllten Zylinders (Vollzylinder) ist der Innenradius \( r_{\text i} = 0 \). Wenn wir zur Verschönerung \(r := r_{\text e} \) setzen, bekommen wir aus 9 den Spezialfall:

Trägheitsmoment eines Vollzylinders10\[ I ~=~ \frac{1}{2} m \, r \]

Hierbei ist \(r\) der Radius des Vollzylinders.

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