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Herleitung (Hohl)Zylinder - Trägheitsmoment

Hohlzylinder mit Innen-, Außenradius und Abstand von der Symmetrieachse
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Hohlzylinder mit Innen-, Außenradius und Abstand von der Symmetrieachse
Hohlzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.

Im Folgenden wird das Trägheitsmoment \(I\) eines Hohlzylinders der homogenen Masse \(m\) bestimmt. Dieser hat einen Innenradius \(r_{\text i}\) (\({\text i}\) für intern), einen Außenradius \(r_{\text e}\) (\({\text e}\) für extern) und die Höhe \(h\). Am Ende wollen wir das Trägheitsmoment \(I\) herausbekommen, das nur von diesen gegebenen Größen abhängt.

Außerdem wird angenommen, dass die Drehachse, um die der Zylinder rotiert, durch den Mittelpunkt des Zylinders, also entlang seiner Symmetrieachse verläuft.

Das Trägheitsmoment \(I\) kann allgemein durch die Integration von \(r_{\perp}^2 \, \rho(\boldsymbol{r})\) über das Volumen \(V\) des Körpers bestimmt werden:

Trägheitsmoment als Integral des Radius zum Quadrat und der Massendichte über das Volumen
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Hierbei ist \(r_{\perp} \) der senkrechte Abstand eines Volumenelements \(\text{d}v\) des Körpers von der gewählten Drehachse (siehe Illustration 1). Und \( \rho(\boldsymbol{r})\) ist die Massendichte des Körpers, die im Allgemeinen vom Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) abhängt.

In unserem Fall hat der Zylinder eine homogene Massenverteilung, also ist die Massendichte ortsunabhängig: \( \rho = \text{const}\). Wir dürfen die Massendichte vor das Integral ziehen:

Trägheitsmoment als Integral des Radius zum Quadrat über das Volumen mit konstanter Massendichte
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Für die Integration können wir das infinitesimale Volumenelement \(\text{d}v\) des Zylinders mit \(\text{d}r_{\perp}\) ausdrücken und über \(r_{\perp}\) integrieren. Teile den Zylinder in konzentrische, unendlich dünne Hohlzylinder auf, mit der Dicke \(\text{d}r_{\perp}\) und der Höhe \(h\). Du kannst dir diese Integration so vorstellen, dass wir beim Innenradius anfangen und die unendlich dünnen Hohlzyliner über \(r_{\perp}\) aufsummieren, bis wir beim Außenradius ankommen. So ist dann \(\text{d}v\) das Volumen eines unendlich dünnen Hohlzylinders.

Der unendlich dünne Hohlzylinder hat die Mantelfläche \(2\pi \, r_{\perp} \, h\). Multipliziert mit seiner unendlich kleinen Dicke \( \text{d}r_{\perp} \), können wir das Volumenelement \(\text{d}v\) des unendlich dünnen Zylinders folgendermaßen schreiben:

Volumenelement des Zylinders mit dem Radius ausgedrückt
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Setze 3 in das Trägheitsmoment-Integral 2 ein:

Trägheitsmoment als Integral über den Zylinderradius
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Alle Konstanten dürfen vor das Integral gezogen werden:

Trägheitsmoment als Integral über den Zylinderradius mit herausgezogenen Konstanten
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Damit haben wir das Integral 2 über das Volumen \(V\) in ein Integral 5 über den Radius \(r_{\perp}\) transformiert. Die Integration von 5 ergibt:

Trägheitsmoment als Lösung des Integrals über den Zylinderradius
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Einsetzen der oberen und unteren Integrationsgrenzen:

Trägheitsmoment als Lösung des Integrals über den Zylinderradius mit eingesetzten Integrationsgrenzen
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Klammere \(1/4\) aus und kürze mit dem Faktor 2:

Trägheitsmoment ausgedrückt mit der Massendichte und den Radien
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Wir müssen noch irgendwie die gegebene Masse \(m\) ins Spiel bringen. Die Massendichte \(\rho\) ist nicht bekannt. Zuerst faktorisieren wir \(r_{\text e}^4 - r_{\text i}^4 \) (dritte binomische Formel):

Trägheitsmoment ausgedrückt mit der Massendichte und den faktorisierten Radien
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Die Gesamtmasse \(m\) des Zylinders hängt mit der konstanten Massendichte folgendermaßen zusammen (Massendichte = Masse pro Volumen):

Masse ist Ladungsdichte mal Volumen
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Das Zylindervolumen \(V\) in Gl. 10 ist das Volumen \( \pi \, r_{\text e}^2 \, h \) des äußeren Vollzylinders abzüglich des Volumens \( \pi \, r_{\text i}^2 \, h \) des inneren Vollzylinders. Damit wird 10 zu:

Masse des Zylinders mit Radien ausgedrückt
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Damit können wir jetzt die Zylindermasse 11 in die Gleichung 9 für das Trägheitsmoment einsetzen. Stelle als erstes Gl. 11 nach \(\left( r_{\text e}^2 - r_{\text i}^2 \right)\) um und setze das Ergebnis in Gl. 9 ein:

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Das ist das gesuchte Trägheitsmoment \(I\) ausgedrückt mit den gegebenen Größen.

Aus der Formel für das Trägheitsmoment eines Hohlzylinders können wir auch das Trägheitsmoment eines ausgefüllten Zylinders (Vollzylinder) leicht bestimmen. Im Fall eines Vollzylinders ist der Innenradius \( r_{\text i} = 0 \).

Rotierender Zylinder - Drehachse konzentrisch entlang der Symmetrieachse
Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert.

Da wir dann nur einen Radius in der Formel haben, können wir zur Verschönerung der Formel statt \( r_{\text e} \) kurz \( r \) schreiben. Das \(r\) ist dann der Radius des Vollzylinders. Dann bekommen wir:

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