Herleitung Zentraler elastischer Stoß und seine 4 Spezialfälle

Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 27.03.2022

Inhaltsverzeichnis

Im Folgenden wollen wir zwei Körper (z.B. zwei Kugeln) betrachten, die miteinander elastisch zusammenstoßen. Der erste Körper hat die Masse $m_1$ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_1$ nach rechts (in die positive $x$-Richtung). Der zweite Körper hat die Masse $m_2$ und bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_2$ (z.B. in die entgegengesetzte Richtung, d.h. auf den ersten Körper zu).

Unser Ziel ist es, eine Formel für die Geschwindigkeit $v'_1$ des ersten und die Geschwindigkeit $v'_2$ des zweiten Körpers nach dem Stoß herauszufinden.

Der erste Körper hat den Impuls $p_1 ~=~ m_1 \, v_1$.
Der zweite Körper hat den Impuls $p_2 ~=~ m_2 \, v_2$.

Nach dem Impulserhaltungssatz muss die Summe der beiden Impuls vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß sein:

Impulserhaltungssatz für den Stoß zweier Körper

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, v'_2 \end{align} $$

Forme den Impulserhaltungssatz in eine passendere Form um. Bringe dazu die Terme mit gleichen Massen auf eine Seite:

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~-~ m_1 \, v'_1 ~=~ m_2 \, v'_2 ~-~ m_2 \, v_2 \end{align} $$

Klammere die Massen auf beiden Seiten aus:

$$ \begin{align} m_1 \, ( v_1 ~-~ \, v'_1) ~=~ m_2 \, (v'_2 ~-~ v_2) \end{align} $$

Als nächstes bringen wir den Energieerhaltungssatz ins Spiel. Wir dürfen hier Energieerhaltung der kinetischen Energie voraussetzen, da wir angenommen haben, dass der Stoß elastisch ist. Das heißt: Die Gesamtenergie (hier ausschließlich in Form von kinetischer Energie der Stoßpartner) bleibt auch nach dem Stoß gleich.

Die beiden Körper sollen vor und nach dem Stoß nur kinetische Energie besitzen. Nach dem Energieerhaltungssatz heißt das, dass die Summe der kinetischen Energien beider Körper vor dem Stoß gleich der Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß sein muss:

Energieerhaltungssatz zweier Körper mit Bewegungsenergie

$$ \begin{align} \frac{1}{2}\,m_1\,{v_1}^2 ~+~ \frac{1}{2}\,m_2\,{v_2}^2 ~=~ \frac{1}{2}\,m_1\,{v'_1}^{2} ~+~ \frac{1}{2}\,m_2\,{v'_2}^{2} \end{align} $$

Kürze den Faktor $\frac{1}{2}$ und bringe wie beim Impulserhaltungssatz 3 die gleichen Massen auf eine Seite:

$$ \begin{align} m_1 \, \left( {v_1}^2 - {v'_1}^2 \right) ~=~ m_2 \, \left( {v'_2}^2 - {v_2}^2 \right) \end{align} $$

Benutze nun die dritte binomische Formel, nämlich $(a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)$. In unserem Fall ist $ a = v'_1$ und $b = v'_2$:

$$ \begin{align} m_1 \, (v_1 - v'_1) \, (v_1 + v'_1) ~=~ m_2\, (v'_2 - v_2) \, (v'_2 + v_2) \end{align} $$

Nach dem umgeformten Impulserhaltungssatz 3 sind die Terme $m_1 \, (v_1 - v'_1)$ und $m_2 \, (v'_2 - v_2)$ gleich. Diese Terme kommen im Energieerhaltungssatz 6 vor und können gekürzt werden (weil sie ja gleich sind). Übrig bleibt:

$$ \begin{align} v_1 + v'_1 ~=~ v'_2 + v_2 \end{align} $$

Normalerweise kennen wir nur die Situation vor dem Stoß. Wir wissen wie groß die Massen der beiden Stoßpartner sind und mit welcher Geschwindigkeiten wir sie aufeinanderprallen lassen. Lass uns als nächstes eine Gleichung für die Geschwindigkeit $ v'_1 $ des ersten Körpers nach dem Stoß herausfinden, die eben nur von den Massen und den Anfangsgeschwindigkeiten abhängt. Anschließend finden wir analog eine Gleichung für die Geschwindigkeit $ v'_2 $ des anderen Körpers nach dem Stoß.

Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß

Um die Geschwindigkeit $ v'_1 $ des ersten Stoßpartners nach dem Stoß herzuleiten, forme als erstes die Gleichung 7 nach $v'_2$ um:

$$ \begin{align} v'_2 ~=~ v_1 ~+~ v'_1 ~-~ v_2 \end{align} $$

Nun kannst du Gl. 8 in den Impulserhaltungssatz 1 einsetzen und damit $v'_2$ eliminieren:

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, (v_1 ~+~ v'_1 ~-~ v_2) \end{align} $$

Damit haben wir die Geschwindigkeit $v'_2$ eliminiert. Jetzt müssen wir nur noch die Gl. 9 nach $v'_1$ umstellen. Multipliziere dazu die Klammer auf der rechten Seite aus:

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, v_1 ~+~ m_2 \, v'_1 ~-~ m_2 \, v_2 \end{align} $$

Bringe alle Summanden, die $v'_1$ enthalten, auf die linke Seite und alle anderen Summanden auf die rechte Seite der Gleichung:

$$ \begin{align} m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, v'_1 ~=~ m_1 \, v_1 ~-~ m_2 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~+~ m_2 \, v_2 \end{align} $$

Klammere die Geschwindigkeit $ v'_1$ auf der linken Seite aus. Klammere außerdem $v_1$ auf der rechten Seite aus. Außerdem können wir weiter auf der rechten Seite zusammenfassen: $m_2 \, v_2 + m_2 \, v_2 = 2 m_2 \, v_2$. Nach diesen Schritten bekommst du folgende Gleichung:

$$ \begin{align} v'_1 \, (m_1 ~+~ m_2) ~=~ v_1 \, (m_1 ~-~ m_2) ~+~ 2m_2 \, v_2 \end{align} $$

Teile beide Seiten durch $(m_1 ~+~ m_2)$ und du bekommst eine Formel für die unbekannte Geschwindigkeit $v'_1$ des ersten Körpers nach dem zentralen elastischen Stoß mit einem anderen Körper:

Formel: Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem elastischen Zentralstoß

$$ \begin{align} v'_1 ~=~ v_1 \, \left(\frac{m_1 ~-~ m_2}{m_1 ~+~ m_2}\right) ~+~ v_2 \, \left(\frac{2m_2}{m_1 ~+~ m_2}\right) \end{align} $$

Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß

Um die Geschwindigkeit $v'_2$ des zweiten Körpers nach dem Zentralstoß nur in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen herzuleiten, gehen wir analog wie mit $v'_1$ vor. Stelle dazu Gl. 7 nach $v'_1$ um:

$$ \begin{align} v'_1 ~=~ v'_2 ~+~ v_2 ~-~ v_1 \end{align} $$

Setze Gl. 14 in den Impulserhaltungssatz 1 ein, um $ v'_1$ zu eliminieren:

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, (v'_2 ~+~ v_2 ~-~ v_1) ~+~ m_2 \, v'_2 \end{align} $$

Multipliziere die Klammer aus:

$$ \begin{align} m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_2 ~+~ m_1 \, v_2 ~-~ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v'_2 \end{align} $$

Bringe alle Summanden, die $v'_2$ enthalten, auf die linke Seite und alle anderen Summanden auf die rechte Seite:

$$ \begin{align} m_1 \, v'_2 ~+~ m_2 \, v'_2 ~=~ m_1 \, v_1 ~+~ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~-~ m_1 \, v_2 \end{align} $$

Klammere $ v'_2$ auf der linken Seite aus. Klammere außerdem $v_2 $ auf der rechten Seite aus. Außerdem können wir weiter auf der rechten Seite zusammenfassen: $m_1 \, v_1 + m_1 \, v_1 = 2 m_1 \, v_1$. Dann solltest du folgende Gleichung herausbekommen:

$$ \begin{align} v'_2 \, (m_1 ~+~ m_2) ~=~ 2m_1 \, v_1 ~+~ v_2 \, (m_2 ~-~ m_1) \end{align} $$

Teile beide Seiten durch $(m_1 ~+~ m_2)$. Dann bekommst du die gesuchte Formel:

Formel: Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem elastischen Zentralstoß

$$ \begin{align} v'_2 ~=~ v_1 \, \left(\frac{2m_1}{m_1 ~+~ m_2}\right) ~+~ v_2 \, \left(\frac{m_2 ~-~ m_1}{m_1 ~+~ m_2}\right) \end{align} $$

In diesen zwei Kapiteln haben wir zwei Formeln 13 und 19 hergeleitet, mit denen wir die Geschwindigkeit des ersten und des zweiten Körpers nach einem elastischen zentralen Stoß berechnen können. Als nächstes wollen wir einige wichtige Spezialfälle dieser Formeln betrachten.

Spezialfall #1: Beide Stoßpartner haben gleiche Masse

Wenn die beiden zusammenstoßenden Körper gleiche Massen haben: $ m_1 = m_2$, dann vereinfachen sich die Geschwindigkeitsformeln 13 und 19. Bezeichnen wir die Masse des Körpers als $m$ und setzen sie in Gl. 13 und 19 ein. Dann bekommen wir:

Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß zweier gleicher Massen

$$ \begin{align} v'_1 ~=~ v_2 \end{align} $$

Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß zweier gleicher Massen

$$ \begin{align} v'_2 ~=~ v_1 \end{align} $$

Die beiden Ergebnisse sagen aus, dass nach dem Stoß die beiden gleichen Massen ihre Geschwindigkeiten austauschen.

Visier das Bild an! Illustration bekommen

Illustration : Zwei gleiche Massen stoßen zentral und elastisch zusammen und tauschen dabei ihre Geschwindigkeiten aus.

Spezialfall #2: Einer der Körper ist vor dem Stoß in Ruhe

Bei diesem Speziallfall nehmen wir an, dass der erste Körper in Ruhe ist. Das heißt, er hat vor dem Stoß keine Geschwindigkeit: $v_1 = 0$. Der zweite Körper prallt nun elastisch auf den ruhende ersten Körper. Setze also $v_1 = 0$ in 13 und in 19 ein und du bekommst vereinfachte Stoßformeln:

Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß (davor war er in Ruhe)

$$ \begin{align} v'_1 ~=~ v_2 \, \left(\frac{2m_2}{m_1 ~+~ m_2}\right) \end{align} $$

Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß mit einem ruhenden Körper

$$ \begin{align} v'_2 ~=~ v_2 \, \left(\frac{m_2 ~-~ m_1}{m_1 ~+~ m_2}\right) \end{align} $$

Spezialfall #3: Stoß eines schweren Körpers mit einem leichten, ruhenden Körper

Für diesen Spezialfall nehmen wir an, dass der erste Körper in Ruhe ist: $v_1 = 0$. Wenn wir das in Gl. 13 und 19 einsetzen, bekommen wir das Ergebnis, das wir bereits in Gl. 22 und 23 herausbekommen haben.

Die zweite Vereinfachung die wir hier machen wollen, ist dass der zweite Körper viel schwerer ist als der ruhende erste Körper: $ m_2 \gg m_1 $. Die Masse $m_2$ ist im Vergleich zur Masse $m_1$ sehr groß. Die erste Masse können wir also vernachlässigen, also gleich Null setzen: $ m_1 \approx 0 $. Setze die erste Masse in Gleichungen 22 und 23 ein und du bekommst:

Geschwindigkeit des zuvor ruhenden Körpers nach dem Stoß mit einem schweren Körper

$$ \begin{align} v'_1 ~\approx~ 2 v_2 \end{align} $$

Geschwindigkeit des schweren Körpers nach dem Stoß mit einem ruhenden Körper

$$ \begin{align} v'_2 ~\approx~ v_2 \end{align} $$

An der Gleichung 24 kannst du ablesen, dass der leichte erste Körper die doppelte Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß hat.
An den Gleichungen 25 kannst du ablesen, dass der schwere zweite Körper seine Geschwindigkeit nach dem Stoß beibehält.

Visier das Bild an! Illustration bekommen

Illustration : Eine schwere Kugel prallt auf eine leichte ruhende Kugel.

Spezialfall #4: Stoß eines leichten Körpers mit einem schweren, ruhenden Körper

Bei dieser Vereinfachung nehmen wir wieder an, dass der erste Körper in Ruhe ist: $v_1 = 0$. Eingesetzt in Gleichungen 13 und 19 bekommen wir die Gleichungen 22 und 23 heraus. Bis jetzt nichts Neues.

Was neu hinzukommt, ist die Annahme, dass der erste Körper viel schwerer sein sein soll als der zweite Körper: $ m_1 \gg m_2 $. Die Masse $m_1$ ist im Vergleich zur Masse $m_2$ so groß, dass wir die zweite Masse Null setzen können: $ m_2 \approx 0$. Setze also die zweite Masse in Gleichungen 22 und 23 ein und du bekommst:

Geschwindigkeit des schweren, ruhenden Körpers nach dem Stoß

$$ \begin{align} v'_1 ~\approx~ 0 \end{align} $$

Geschwindigkeit des leichten Körpers nach dem Stoß mit einem schweren, ruhenden Körper

$$ \begin{align} v'_2 ~=~ -v_2 \end{align} $$

Die Gleichung 26 sagt aus, dass der schwere, ruhende Körper nach dem Stoß weiterhin in Ruhe bleibt.
Die Gleichung 27 sagt aus, dass der leichte zweite Körper nach dem Stoß seine Geschwindigkeit beibehält, aber seine Richtung umkehrt (wegen dem Minuszeichen). Der zweite Körper wird an der schweren ruhenden Masse quasi reflektiert.

Visier das Bild an! Illustration bekommen

Illustration : Eine leichte Kugel prallt an der schweren ruhenden Kugel ab.