Herleitung: Zentraler elastischer Stoß

Im Folgenden wollen wir zwei Körper (z.B. zwei Kugeln) betrachten, die miteinander elastisch zusammenstoßen. Der erste Körper hat die Masse \(m_1\) und bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_1\) nach rechts (in die positive \(x\)-Richtung). Der zweite Körper hat die Masse \(m_2\) und bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_2\) (z.B. in die entgegengesetzte Richtung, d.h. auf den ersten Körper zu).

Das Ziel ist es, eine Formel für die Geschwindigkeit \(v'_1\) des ersten bzw. die Geschwindigkeit \(v'_2\) des zweiten Körpers nach dem Stoß herauszufinden.

Der erste Körper hat somit den Impuls \(p_1 ~=~ m_1 \, v_1\). Der zweite Körper hat den Impuls \(p_2 ~=~ m_2 \, v_2\). Wir nutzen den Impulserhaltungssatz aus:

Forme den Impulserhaltungssatz in eine passendere Form um. Bringe dazu die Terme mit gleichen Massen auf eine Seite:1.1\[ m_1 \, v_1 ~-~ m_1 \, v'_1 ~=~ m_2 \, v'_2 ~-~ m_2 \, v_2 \]

Klammere die Massen auf beiden Seiten aus:1.2\[ m_1 \, ( v_1 ~-~ \, v'_1) ~=~ m_2 \, (v'_2 ~-~ v_2) \]

Als nächstes bringen wir den Energieerhaltungssatz ins Spiel. Dieser ist gültig, da wir angenommen haben, dass der Stoß elastisch ist, das heißt die Energie geht nicht z.B. durch Reibung oder Rotation verloren. Die beiden Körper haben nur eine kinetische Energie, das heißt der Energieerhaltungssatz wird hier nur für die kinetischen Energien formuliert:

Kürze \(\frac{1}{2}\) und bringe wie beim Impulserhaltungssatz die gleichen Massen auf eine Seite:2.1\[ m_1 \, \left( {v_1}^2 - {v'_1}^2 \right) ~=~ m_2 \, \left( {v'_2}^2 - {v_2}^2 \right) \]

Benutze nun die dritte binomische Formel, nämlich \((a^2 - b^2) = (a-b)(a+b)\). In unserem Fall ist \( a = v'_1\) und \(b = v'_2\):2.2\[ m_1 \, (v_1 - v'_1) \, (v_1 + v'_1) ~=~ m_2\, (v'_2 - v_2) \, (v'_2 + v_2) \]

Nach dem umgeformten Impulserhaltungssatz 1.2 sind die Terme \(m_1 \, (v_1 - v'_1)\) und \(m_2 \, (v'_2 - v_2)\) gleich. Diese Terme kommen im Energieerhaltungssatz 2.2 vor und können gekürzt werden (weil sie ja gleich sind). Übrig bleibt: 2.3\[ (v_1 + v'_1) ~=~ (v'_2 + v_2) \]

Wir müssen eine Gleichung für die Geschwindigkeit \( v'_1 \) des ersten Körpers nach dem Stoß herausfinden und eine Gleichung für die Geschwindigkeit \( v'_2 \) des zweiten Körpers nach dem Stoß.

Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoß

Lass uns erst eine Gleichung für \( v'_1 \) herleiten. Forme dazu die hergeleitete Beziehung 2.3 nach \(v'_2\) um:3\[ v'_2 ~=~ v_1 ~+~ v'_1 ~-~ v_2 \]

Nun kannst du 3 in den Impulserhaltungssatz 1 einsetzen und damit die Unbekannte \(v'_2\) eliminieren:3.1\[ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, (v_1 ~+~ v'_1 ~-~ v_2) \]

Klammer ausmultiplizieren:3.2\[ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, v_1 ~+~ m_2 \, v'_1 ~-~ m_2 \, v_2 \]

Bringe die Summanden mit \(v'_1\) auf eine Seite und alle anderen Summanden auf die andere Seite:3.3\[ m_1 \, v'_1 ~+~ m_2 \, v'_1 ~=~ m_1 \, v_1 ~-~ m_2 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~+~ m_2 \, v_2 \]

Klammere \( v'_1\) auf der linken Seite aus. Klammere außerdem \(v_1\) auf der rechten Seite aus. Und auf der rechten Seite ergibt \(m_2 \, v_2 + m_2 \, v_2 = 2 m_2 \, v_2\). Nach diesen Schritten bekommst du folgende Gleichung:3.4\[ v'_1 \, (m_1 ~+~ m_2) ~=~ v_1 \, (m_1 ~-~ m_2) ~+~ 2m_2 \, v_2 \]

Teile beide Seiten durch \(m_1 ~+~ m_2\) und du bekommst die gesuchte Geschwindigkeit \(v'_1\) des ersten Körpers nach dem zentralen elastischen Stoß:

Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoß

Ähnlich gehst du vor, um die Geschwindigkeit \(v'_2\) des zweiten Körpers nach dem Stoß herauszufinden. Stelle diesmal 2.3 nach \(v'_1\) um:4\[ v'_1 ~=~ v'_2 ~+~ v_2 ~-~ v_1 \]

Setze 4 in den Impulserhaltungssatz 1, um dort \( v'_1\) zu eliminieren:4.1\[ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, (v'_2 ~+~ v_2 ~-~ v_1) ~+~ m_2 \, v'_2 \]

Multipliziere die Klammer aus:4.2\[ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~=~ m_1 \, v'_2 ~+~ m_1 \, v_2 ~-~ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v'_2 \]

Bringe Summanden, die \(v'_2\) enthalten, auf eine Seite und alle anderen Summanden auf die andere Seite:4.3\[ m_1 \, v'_2 ~+~ m_2 \, v'_2 ~=~ m_1 \, v_1 ~+~ m_1 \, v_1 ~+~ m_2 \, v_2 ~-~ m_1 \, v_2 \]

Klammere \( v'_2\) auf der linken Seite aus. Klammere außerdem \(v_2 \) auf der rechten Seite aus. Auf der rechten Seite ergibt \(m_1 \, v_1 + m_1 \, v_1 = 2 m_1 \, v_1\). Dann solltest du folgende Gleichung herausbekommen:4.4\[ v'_2 \, (m_1 ~+~ m_2) ~=~ 2m_1 \, v_1 ~+~ v_2 \, (m_2 ~-~ m_1) \]

Teile beide Seiten durch \(m_1 ~+~ m_2\). Dann bekommst du:

Nach einem elastischen zentralen Stoß hat der erste Körper die Geschwindigkeit 3.5 und der zweite Körper die Geschwindigkeit 4.5.

Spezialfall: Gleiche Massen

Wenn die beiden zusammenstoßenden Körper gleiche Massen haben: \( m_1 = m_2\), dann vereinfachen sich die Geschwindigkeitsformeln 3.5 und 4.5. Bezeichne dazu die Masse des Körpers als \(m\). Dann lauten die beiden Formeln für die Geschwindigkeiten:

Das heißt: Nach dem Stoß tauschen die beiden Körper gleicher Masse ihre Geschwindigkeiten aus!

Spezialfall: Ein Körper ist beim Stoß in Ruhe

Nehmen wir mal an, dass der erste Körper in Ruhe ist. Das heißt, er hat keine Geschwindigkeit: \(v_1 = 0\). Der zweite Körper prallt nun elastisch auf den ruhende ersten Körper. Für diesen Spezialfall, setze einfach \(v_1 = 0\) in 3.5 und 4.5 ein. Dann bekommst du etwas einfachere Formeln:

Spezialfall: Ein schwerer Körper stößt mit leichtem ruhendem Körper

Nehmen wir an, dass der erste Körper in Ruhe ist. Setze dazu \(v_1 = 0\) in 3.5 und 4.5 ein. Das Ergebnis sind Geschwindigkeiten 7 und 8 nach dem Stoß.

Die zweite Annahme ist, dass der zweite Körper viel schwerer ist als der ruhende erste Körper. Mathematisch ausgedrückt heißt das: \( m_2 \gg m_1 \). Die Masse \(m_1\) ist im Vergleich zur Masse \(m_2\) so klein, dass wir annehmen können, dass die erste Masse verschwindend klein ist: \( m_1 \approx 0\). Setze das in Gleichungen 7 und 8 ein. Dann bekommst du:

An den Gleichungen 9 und 10 kannst du ablesen, dass nach dem Stoß der schwere zweite Körper seine Geschwindigkeit \(v_2\) beibehält. Und der leichte erste Körper die doppelte Geschwindigkeit des zweiten Körpers hat: \(2 v_2\).

Spezialfall: Ein leichter Körper stößt mit schwerem ruhendem Körper

Nehmen wir an, dass der erste Körper in Ruhe ist. Setze dazu \(v_1 = 0\) in 3.5 und 4.5 ein. Das Ergebnis sind Geschwindigkeiten 7 und 8 nach dem Stoß.

Außerdem soll der erste Körper viel schwerer sein als der zweite Körper. Mathematisch ausgedrückt heißt das: \( m_1 \gg m_2 \). Die Masse \(m_2\) ist im Vergleich zur Masse \(m_1\) so klein, dass wir annehmen können, dass die zweite Masse verschwindend klein ist: \( m_2 \approx 0\). Setze das in Gleichungen 7 und 8 ein. Dann bekommst du:

An den Gleichungen 11 und 12 kannst du ablesen, dass der schwere ruhende erste Körper nach dem Stoß weiterhin in Ruhe bleibt. Der leichte zweite Körper, der auf den schweren Körper draufprallt, behält seine Geschwindigkeit bei, ändert aber seine Richtung (wegen dem Minuszeichen)!