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Herleitung Unbestimmtheitsrelation am Einzelspalt

Einzelspalt - Impuls eines Elektrons (rechtwinkliges Dreieck)
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Im Folgenden leiten wir die Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation anhand eines Einzelspalts her.

Betrachte einen Einzelspalt mit der Breite \( \Delta x \). Auf diesen Einzelspalt wird ein gerader Elektronenstrahl geschickt. Jedes Elektron im Strahl hat einen Impuls \( p_{\text y} \) in \(y\)-Richtung, der genau auf den Einzelspalt gerichtet ist. Auf diese Weise können die Elektronen den Spalt durchqueren.

Wir wählen die Spaltbreite \( \Delta x \) so, dass es Elektronenbeugung am Einzelspalt stattfindet. Das hat zur Folge, dass wir auf dem Detektorschirm hinter dem Einzelspalt ein Interferenzmuster beobachten können. Dieses hat ein Hauptmaximum in der Mitte und kleinere Nebenmaxima drumherum. Offensichtlich haben die Elektronen nach dem Durchdringen des Spalts einen Impuls in \(x\)-Richtung bekommen. Wäre dies nicht der Fall, dann würden wir nur einen Streifen genau in der Mitte des Detektorschirms beobachten.

Wie groß die Impulskomponente des Elektrons in \(x\)-Richtung ist, wissen wir nicht, denn wir wissen ja nicht, wo das Elektron auf dem Schirm genau landen wird, sobald es den Einzelspalt durchquert hat.

Impuls \(p\) des Elektrons nach der Beugung und seine Impulskomponenten bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Wir können uns den Detektorschirm anschauen und feststellen, dass je weiter die Elektronenstreifen auf dem Schirm sind, desto größer muss die Impulsabweichung \( \Delta p_{\text x} \) sein. Das ist die \(x\)-Komponente des Impulses \(p\), die VOR dem Durchqueren des Spalts nocht nicht vorhanden war. Die Abweichung von \( p_{\text y} \) bezeichnen wir als \( \Delta p_{\text x} \) (Impulsunschärfe).

Mithilfe der Abbildung 1 können wir die erste der zwei Gleichungen aufstellen, die uns zur Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation führen werden.

Bedingung #1

Schauen wir uns die Abweichung \( \Delta p_{\text x} \) bis zum 1. Minimum an. Dann können wir folgendes rechtwinkliges Dreieck in der Illustration konstruieren:

  • Die Hypotenuse \(p\) - als Gesamtimpuls des Elektrons nach dem Durchqueren des Einzelspalts.
  • Die Gegenkathete \( \Delta p_{\text x} \) - als Abweichung von der Impulskomponente \( p_{\text y} \).
  • Die Ankathete \( p_{\text y} \) - als ursprünglicher Gesamtimpuls des Elektrons vor dem Durchqueren des Einzelspalts.

Der zwischen \(p\) und \( p_{\text y} \) eingeschlossene Winkel ist \( \theta \). Es gilt die trigonometrische Beziehung (Sinus des Winkels ist Gegenkathete durch Hypotenuse):

1\[ \sin(\theta) ~=~ \frac{ \Delta p_{\text x} }{ p } \]

Bedingung #2

Lass uns noch den Winkel \( \theta \) in 1 eliminieren und die Spaltbreite \( \Delta x \) ins Spiel bringen, weil sie den Ort der Elektronen auf den Bereich \(\Delta x\) einschränkt und wichtig für die Unbestimmtheitsrelation ist.

Mit zwei parallel verlaufenden Elektronenwellen in der Nähe des Einzelspalts lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck bilden.

Dazu benutzen wir das rechtwinklige Dreieck in der Illustration 2. Dabei ist \(n\lambda\) der Gangunterschied (Phasendifferenz) zweier Elektronenwellen am Einzelspalt, die in unserem Fall zum 1. Minimum führen. Beachte, dass beim Einzelspalt die Bedingung für destruktive Interferenz (also ein Minimum auf dem Schirm) ein Vielfaches der Wellenlänge \(n \, \lambda\) beträgt. Beim Doppelspalt war \(n\,\lambda\) eine Bedingung für konstruktive Interferenz. Hierbei nimmt \(n\) die Werte 1, 2, 3, ... und so weiter an und steht für das 1. Minimum, 2. Minimum und so weiter.

Wir lesen folgenden Zusammenhang aus der Illustration 2 ab (wieder: Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse):

2\[ \sin(\theta) ~=~ \frac{ n\, \lambda }{ \Delta x } \]

Verknüpfen wir die beiden Bedingungen miteinander, indem wir den Sinus 1 in Gleichung 2 einsetzen:3\[ \frac{ \Delta p_{\text x} }{ p } ~=~ \frac{ n\, \lambda }{ \Delta x } \]

Jetzt müssen wir noch irgendwie das Wirkungsquantum \(h\) einbringen, weil es in der Unbestimmtheitsrelation vorkommt. Das machen wir über die Materiewellenlänge \(\lambda\) (de-Broglie-Wellenlänge) der Elektronen:4\[ \lambda ~=~ \frac{h}{p}\]

Ersetzen wir mithilfe der de-Broglie-Beziehung 4 die Wellenlänge \(\lambda\) in 3:5\[ \frac{ \Delta p_{\text x} }{ p } ~=~ \frac{ n\, h }{ \Delta x \, p} \]

Damit haben wir den Winkel \(\theta\) eliminiert. Der Impuls \(p\) kürzt sich auch weg:6\[ \Delta p_{\text x} ~=~ \frac{ n\, h }{ \Delta x } \]

Wir sind fast am Ziel. Bringe \(\Delta x \) und \(n\) auf die andere Seite:7\[ \frac{ \Delta p_{\text x} \, \Delta x }{ n } ~=~ h \]

Um eine Ungleichung zu bekommen, vergleichen wir 7 mit dem folgenden Term für das 1. Minimum (\(n=1\)):8\[ \Delta p_{\text x} \, \Delta x \]

Offensichtlich ist 7 kleiner als 8 (oder gleich, wenn \(n=1\) ist). Wir teilen ja durch eine Zahl \(n\), die größer gleich 1 ist. Also können wir schreiben:9\[ \Delta p_{\text x} \, \Delta x ~\geq~ \frac{ \Delta p_{\text x} \, \Delta x }{ n } ~=~ h \]

Oder ohne den mittleren Term:

Unbestimmtheitsrelation10\[ \Delta p_{\text x} \, \Delta x ~\geq~ h \]

Aus 10 können wir beispielsweise direkt ablesen, was passiert, wenn wir die Spaltbreite \(\Delta x\) verkleinern. Wenn die Spaltbreite kleiner gemacht wird, muss die Impulsabweichung \( \Delta p_{\text x} \) zunehmen, damit die rechte Seite in 10 stets größer bleibt als \(h\). Das wiederum bedeutet, dass das Interferenzmuster ausgedehnter wird. Die Elektronenimpulse nach dem Durchqueren des Spalts, weichen stärker von dem Anfangsimpuls \( p_{\text y} \) ab.

Machtst du dagegen den Spalt breiter, so ist der Ort der Elektronen weniger bestimmt, und die Impulsunsicherheit \(\Delta p_{\text x}\) nimmt ab. Das Interferenzmuster wird schmaler. Bei ausreichend großer Spaltbreite \( \Delta x\) verschwindet das Interferenzmuster und alle Elektronen landen, wie klassische Teilchen, in der Mitte des Schirms.

Beachte außerdem, dass die hergeleitete Heisenberg-Unbestimmtheitsrelation 10 mit einem etwas anderen Faktor auf der rechten Seiten vorkommt als mit dem üblichen Faktor \(h/4\pi\). Entscheidend ist hier die Größenordnung. Während \( h \) in der Größenordnung \( 10^{-34}\) liegt, liegt \(h/4\pi\) in der Größenordnung \( 10^{-35}\).