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Herleitung Phasengeschwindigkeit einer Welle

Phasengeschwindigkeit eines Wellenpunkts
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Die Phasengeschwindigkeit \( v_{\text p} \) einer Welle ist die Geschwindigkeit mit der sich ein Punkt der Welle bewegt. Hier wollen wir die Phasengeschwindigkeit mithilfe der Winkelfrequenz \(\omega\) und der Wellenzahl \(k\) ausdrücken.

Phasengeschwindigkeit eines Wellenpunkts
Illustration : Phasengeschwindigkeit eines Punkts A der Welle.

Betrachte also einen beliebigen Punkt auf der Welle, zum Beispiel die Spitze eines Wellenbergs (Punkt A in der Illustration 1). Wir wollen herausfinden, wie schnell sich dieser Punkt von A nach B bewegt.

Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit. In unserem Fall ist die Strecke der Abstand von A und B. Dieser Abstand entspricht definitionsgemäß der Wellenlänge \(\lambda\). Und die Zeit, nach der der Punkt \(A\) bei \(B\) ankommt, ist definitionsgemäß die Periodendauer \(T\). Damit ist die Phasengeschwindigkeit:

Phasengeschwindigkeit als Wellenlänge pro Periodendauer
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Die Wellenzahl \(k\) ist der zurückgelegte Winkel pro Länge. Innerhalb einer Wellenlänge \(\lambda\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \). Umgestellt nach der Wellenlänge ergibt das:

Wellenlänge ist 2Pi durch Wellenzahl
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Die Winkelfrequenz \(\omega \) ist der zurückgelegte Winkel pro Zeit. Innerhalb einer Periodendauer \(T\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \(\omega = \frac{2\pi}{T} \). Umgestellt nach der Periodendauer ergibt das:

Periodendauer ist gleich 2Pi dividiert durch Winkelfrequenz
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Setze die Wellenlänge 2 und die Periodendauer 3 in die Formel 1 ein, um die Phasengeschwindigkeit mit der Wellenzahl \(k\) und Winkelfrequenz \(\omega\) auszudrücken:

Phasengeschwindigkeit mit Wellenlänge und Wellenzahl ausgedrückt
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Hierbei kürzt sich der Faktor \(2\pi\) weg und du bekommst die herzuleitende Formel:

Phasengeschwindigkeit mittels Winkelfrequenz und Wellenzahl
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