Herleitung Phasengeschwindigkeit einer Welle
Phasengeschwindigkeit \( v_{\text p} \) einer Welle ist die Geschwindigkeit mit der sich ein Punkt der Welle bewegt. Hier wollen wir die Phasengeschwindigkeit mithilfe der Winkelfrequenz \(\omega\) und der Wellenzahl \(k\) ausdrücken.
Betrachte also einen beliebigen Punkt auf der Welle, zum Beispiel die Spitze eines Wellenbergs (Punkt A in der Illustration 1). Wir wollen herausfinden, wie schnell sich dieser Punkt von A nach B bewegt. Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit. In unserem Fall ist die Strecke der Abstand von A und B. Dieser Abstand entspricht aber definitionsgemäß der Wellenlänge \(\lambda\). Und die Zeit, nach der der Punkt \(A\) bei \(B\) ankommt, ist definitionsgemäß die Periodendauer \(T\). Damit ist die Phasengeschwindigkeit:1\[ v_{\text p} ~=~ \frac{\lambda}{T} \]
Die Wellenzahl \(k\) ist der zurückgelegte Winkel pro Länge. Innerhalb einer Wellenlänge \(\lambda\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \). Umgestellt nach der Wellenlänge ergibt das:1.1\[ \lambda ~=~ \frac{2\pi}{k} \]
Die Winkelfrequenz \(\omega \) ist der zurückgelegte Winkel pro Zeit. Innerhalb einer Periodendauer \(T\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \(\omega = \frac{2\pi}{T} \). Umgestellt nach der Periodendauer ergibt das:1.2\[ T ~=~ \frac{2\pi}{\omega} \]
Setze die Wellenlänge 1.1
und die Periodendauer 1.2
in die Phasengeschwindigkeit 1
ein, um sie mit der Wellenzahl \(k\) und Winkelfrequenz \(\omega\) auszudrücken:2\[ v_{\text p} ~=~ \frac{2\pi}{k} \, \frac{\omega}{2\pi} \]
Hierbei kürzt sich \(2\pi\) weg und du bekommst: