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Herleitung Phasengeschwindigkeit einer Welle

Phasengeschwindigkeit eines Wellenpunkts
Level 2 (für Schüler geeignet)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Phasengeschwindigkeit \( v_{\text p} \) einer Welle ist die Geschwindigkeit mit der sich ein Punkt der Welle bewegt. Hier wollen wir die Phasengeschwindigkeit mithilfe der Winkelfrequenz \(\omega\) und der Wellenzahl \(k\) ausdrücken.

Phasengeschwindigkeit eines Punkts A der Welle.

Betrachte also einen beliebigen Punkt auf der Welle, zum Beispiel die Spitze eines Wellenbergs (Punkt A in der Illustration 1). Wir wollen herausfinden, wie schnell sich dieser Punkt von A nach B bewegt. Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit. In unserem Fall ist die Strecke der Abstand von A und B. Dieser Abstand entspricht aber definitionsgemäß der Wellenlänge \(\lambda\). Und die Zeit, nach der der Punkt \(A\) bei \(B\) ankommt, ist definitionsgemäß die Periodendauer \(T\). Damit ist die Phasengeschwindigkeit:1\[ v_{\text p} ~=~ \frac{\lambda}{T} \]

Die Wellenzahl \(k\) ist der zurückgelegte Winkel pro Länge. Innerhalb einer Wellenlänge \(\lambda\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \). Umgestellt nach der Wellenlänge ergibt das:1.1\[ \lambda ~=~ \frac{2\pi}{k} \]

Die Winkelfrequenz \(\omega \) ist der zurückgelegte Winkel pro Zeit. Innerhalb einer Periodendauer \(T\) wird der Winkel \(2\pi\) zurückgelegt: \(\omega = \frac{2\pi}{T} \). Umgestellt nach der Periodendauer ergibt das:1.2\[ T ~=~ \frac{2\pi}{\omega} \]

Setze die Wellenlänge 1.1 und die Periodendauer 1.2 in die Phasengeschwindigkeit 1 ein, um sie mit der Wellenzahl \(k\) und Winkelfrequenz \(\omega\) auszudrücken:2\[ v_{\text p} ~=~ \frac{2\pi}{k} \, \frac{\omega}{2\pi} \]

Hierbei kürzt sich \(2\pi\) weg und du bekommst:

Phasengeschwindigkeit mittels Winkelfrequenz und Wellenzahl3\[ v_{\text p} ~=~ \frac{\omega}{k} \]