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Beweis Erste und zweite Greensche Identität (Formel)

Divergenz-Integraltheorem
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Hier werden die beiden Formeln, die sogenannten Greensche Identitäten, mithilfe des Gauß-Integraltheorems hergeleitet. Das sind nützliche Identitäten zur Umwandlung von Integralen mit Gradienten und Divergenzen in Integrale mit Normalableitungen. Sie werden beispielsweise in der Elektrostatik eingesetzt, um elektrische Potentiale zu berechnen.

Betrachte ein Vektorfeld \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) (z.B. könnte das ein elektrische Feld sein), das von der Ortskoordinate \(\boldsymbol{r} = (x,y,z)\) abhängt und folgendermaßen definiert ist:1\[ \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) ~=~ \Phi(\boldsymbol{r}) \, \nabla \, \Psi(\boldsymbol{r}) \]

Hierbei sind \(\Phi(\boldsymbol{r})\) und \( \Psi(\boldsymbol{r}) \) stetig differentierbare Skalarfunktionen (z.B. könnten sie zwei elektrische Potentialfunktionen sein). Und das Symbol \(\nabla\) ist der Nabla-Operator, der auf die Skalarfunktion \( \Psi(\boldsymbol{r}) \) angewendet wird. Das Ergebnis ist der Gradient der Skalarfunktion: \(\nabla \, \Psi(\boldsymbol{r})\). Im Folgenden notieren wir die Abhängigkeit von \(\boldsymbol{r}\) nicht, um die Gleichungen etwas kompakter zu machen. Die entsprechenden Funktionen hängen natürlich weiterhin von \(\boldsymbol{r}\) ab.

Wir wollen den Gauß-Integralsatz auf das Vektorfeld anwenden \(\boldsymbol{F}\). Der Gauß-Integralsatz lautet folgendermaßen:

Gauß-Integralsatz2\[ \int_{V} \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]
Gauß-Integralsatz veranschaulicht.

Hierbei ist \(V\) ein beliebiges Volumen und \(A\) die dazugehörige, geschlossene Oberfläche des eingeschlossenen Volumens. Mit dem Gauß-Integralsatz können wir ein Volumenintegral (linke Seite von 2) in ein Flächenintegral (rechte Seite von 2) umwandeln und andersherum.

Wie du siehst, kommt auf der linken Seite des Gauß-Integralsatzes die Divergenz des Vektorfeldes \( \boldsymbol{F} \) vor, nämlich \( \nabla \cdot \boldsymbol{F} \). Daher wollen wir als erstes die Divergenz unseres in 1 definierten Vektorfeld \(\boldsymbol{F}\) bilden:3\begin{align} \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{F} &~=~ \nabla ~\cdot~ \left( \Phi \, \nabla \, \Psi \right)\\\\ &~=~ \Phi \, \nabla^2 \Psi ~+~ \nabla \Psi ~\cdot~ \nabla \Phi \end{align}

Hierbei ist \(\nabla^2\) der Laplace-Operator, also die Summe der zweiten Ableitungen nach den Ortskoordinaten \(x\), \(y\) und \(z\). Und bei dem zweiten Gleichheitszeichen haben wir die folgende Rechenregel für Divergenz ausgenutzt:4\[ \nabla ~\cdot~ (u \, \boldsymbol{v}) ~=~ u \, \nabla \cdot \boldsymbol{v} ~+~ \boldsymbol{v} \cdot \nabla u \]

Setzen wir nun das Divergenzfeld 3 in die linke Seite des Gauß-Integralsatzes 2 ein:5\[ \int_{V} \left(\Phi \, \nabla^2 \Psi ~+~ \nabla \Psi ~\cdot~ \nabla \Phi\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{F} \cdot \text{d}\boldsymbol{a} \]

Als nächstes drücken wir das Flächenelement \(\text{d}\boldsymbol{a}\) mit dem Flächennormalenvektor \(\boldsymbol{n} \) aus. Dieser Normalenvektor steht senkrecht auf dem Flächenelement. Dieser zeigt in die gleiche Richtung wie \(\text{d}\boldsymbol{a}\):6\[ \int_{V} \left(\Phi \nabla^2 \Psi ~+~ \nabla \Psi ~\cdot~ \nabla \Phi\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A}\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{n} \, \text{d}a \]

Anschließend setzen wir das von uns definierte Vektorfeld 1 in die rechte Seite des Gauß-Integralsatzes 6 ein:7\[ \int_{V} \left(\Phi \nabla^2 \Psi ~+~ \nabla \Psi ~\cdot~ \nabla \Phi\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \Phi \, \nabla \, \Psi \cdot \boldsymbol{n} \, \text{d}a \]

Hierbei ist \(\nabla \, \Psi \cdot \boldsymbol{n}\) die Richtungsableitung von \(\Psi\). Das ist die Komponente des Gradientenfeldes \(\nabla \, \Psi\) in Richtung von \(\boldsymbol{n}\) auf der Oberfläche \(A\) (auch Normalenableitung genannt). Die Normalenableitung wird manchmal auch so notiert: 8\[ \nabla \, \Psi \cdot \boldsymbol{n} ~:=~ \frac{\partial \Psi}{\partial n} \]

Damit haben wir:

1. Greensche Formel9\[ \int_{V} \left(\Phi \nabla^2 \Psi ~+~ \nabla \Psi ~\cdot~ \nabla \Phi\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \Phi \, \frac{\partial \Psi}{\partial n} \, \text{d}a \]

Wenn du \( \Phi \equiv 1 \) setzt, dann bekommst du einen nützlichen Spezialfall. Denk dran, dass der Gradient \(\nabla \Phi\) einer konstanten Funktion Null ist. Damit hast du:

Spezialfall der 1. Greenschen Formel10\[ \int_{V} \nabla^2 \Psi \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \frac{\partial \Psi}{\partial n} \, \text{d}a \]

Um die zweite Greensche Formel zu bekommen, vertauschen wir zuerst in der ersten Greenschen Formel die Skalarfunktionen \(\Psi\) und \(\Phi\):11\[ \int_{V} \left(\Psi \nabla^2 \Phi ~+~ \nabla \Phi ~\cdot~ \nabla \Psi\right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \Psi \, \frac{\partial \Phi}{\partial n} \, \text{d}a \]

Und ziehen dann von der 1. Greenschen Formel die vertauschte Version 11 ab. Dadurch fällt \( \nabla \Phi ~\cdot~ \nabla \Psi \) weg, da Divergenz-Operation \(~\cdot~\) kommutativ ist. Übrig bleibt:

2. Greensche Formel12\[ \int_{V} \left(\Phi \nabla^2 \Psi ~-~ \Psi \nabla^2 \Phi \right) \, \text{d}v ~=~ \oint_{A} \left( \Phi \, \frac{\partial \Psi}{\partial n} ~-~ \Psi \, \frac{\partial \Phi}{\partial n} \right) \, \text{d}a \]