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Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Herleitung: Lorentzkraft auf stromdurchflossene Leiter

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter (Magnetfeld senkrecht)

Ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld.
  • Durch einen geraden elektrischen Leiter (Draht) fließt ein elektrischer Strom \( \class{blue}{I} \). Dabei ist es egal, ob \(\class{blue}{I}\) ein Strom positiver oder negativer Ladungen ist.
  • Der Leiter hat die Länge \(L\).
  • Der Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld \( \class{violet}{B} \), das senkrecht zum Strom \( \class{blue}{I} \) verläuft.

Dieser Aufbau hat zur Folge, dass elektrische Ladungen, die durch den Leiter wandern, eine magnetische Kraft (Lorentzkraft) \(\class{green}{F}\) erfahren. Wenn durch den Leiter die Ladungsmenge \(\class{blue}{Q}\) wandert, dann erfährt jede Ladung, die zur dieser gesamten Ladungsmenge \(\class{blue}{Q}\) beiträgt, eine Lorentzkraft. Die gesamte Lorentzkraft, die auf den Leiter wirkt, ist dann gegeben durch:1\[ \class{green}{F} ~=~ \class{blue}{Q}\, \class{blue}{I} \, \class{violet}{B} \]

Hierbei ist \(\class{blue}{v}\) die durchschnittliche Geschwindigkeit der einzelnen Ladungen, die durch den Leiter wandern. Da wir die Geschwindigkeit \(\class{blue}{v}\) nicht konkret kennen, wollen wir sie stattdessen mit dem Strom \(\class{blue}{I}\) ausdrücken. Den Stromwert können wir ja schließlich mit einem Strommessgerät ganz einfach herausfinden. Der Strom \(\class{blue}{I}\) ist hier die gesamte Ladungsmenge \(\class{blue}{Q}\), die pro Zeit \(t\), die Strecke \(L\) durchfläuft:1.1\[ \class{blue}{I} ~=~ \frac{\class{blue}{Q}}{t} \]

Ein geladenes Teilchen legt die Länge \(L\) des Leiters, innerhalb der Zeit \(t\) zurück. "Strecke pro Zeit" ist genau die Definition der Geschwindigkeit. In diesem Fall ist es die Geschwindigkeit mit der eine Ladung durch den Leiter wandert:1.2\[ \class{blue}{v} ~=~ \frac{L}{t} \]

Stellen wir nun die Geschwindigkeit 1.2 nach der Zeit \(t\) um: \(t ~=~ \frac{L}{\class{blue}{v}}\) und setzen die Zeit in die Definition 1.1 des Stroms ein:1.3\begin{align} \class{blue}{I} &~=~ \frac{\class{blue}{Q}}{\frac{L}{\class{blue}{v}}} \\\\ &~=~ \frac{\class{blue}{Q} \, \class{blue}{v}}{L} \end{align}

Dann stellen wir den Strom 1.3 nach der unbekannten Geschwindigkeit \(\class{blue}{v}\) um:1.4\[ \class{blue}{v} ~=~ \frac{\class{blue}{I} \, L}{\class{blue}{Q}} \]

Sehr schön, denn jetzt können wir diese Beziehung in die Lorentzkraft-Formel 1 einsetzen und damit die Geschwindigkeit eliminieren:1.5\begin{align} \class{green}{F} &~=~ \class{blue}{Q}\, \class{blue}{v}\, \class{violet}{B} \\\\ &~=~ \class{blue}{Q}\, \frac{\class{blue}{I} \, L}{\class{blue}{Q}} \, \class{violet}{B} \end{align}

Ein stromdurchflossener Leiter - im senkrecht dazu angelegten Magnetfeld - erfährt eine magnetische Kraft, die den Leiter ablenkt.

Die unbekannte Ladung \(\class{blue}{Q}\) kürzt sich dabei auch weg:

Lorentzkraft auf einen Leiter (B-Feld senkrecht)1.6\[ \class{green}{F} ~=~ \class{blue}{I} \, L \, \class{violet}{B} \]

Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter (Magnetfeld nicht senkrecht)

Wenn das Magnetfeld \(\class{violet}{B}\) nicht senkrecht zum Strom \(\class{blue}{I}\) verläuft, dann müssen wir ledglich eine kleine kosmetische Korrektur durchführen. Die Lorentzkraft \( \class{green}{F} \) auf die Ladung \(\class{blue}{Q}\), die sich nicht senkrecht zum homogenen Magnetfeld bewegt, lautet:2\[ \class{green}{F} ~=~ \class{blue}{Q}\, \class{blue}{v}\, \class{violet}{B} \, \sin(\alpha) \]Hierbei ist \(\alpha\) der Winkel zwischen der Geschwindigkeitsrichtung (Geschwindigkeitsvektor) und der Magnetfeldrichtung (Magnetfeldvektor).

Einsetzen der umgeschriebenen Geschwindigkeit 1.4 ergibt:

Lorentzkraft auf einen Leiter (B-Feld unter einem Winkel)2.1\[ \class{green}{F} ~=~ \class{blue}{I} \, L \, \class{violet}{B} \, \sin(\alpha) \]

Lorentzkraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern

Bei einem einzigen Leiter wurde das Magnetfeld \(\class{violet}{B}\) durch irgendeine externe Quelle erzeugt. Wenn wir nun einen zweiten stromdurchflossenen Leiter dazu nehmen, so können wir das von diesem Leiter erzeugte Magnetfeld benutzen und schauen, wie sich ein anderer stromdurchflossener Leiter in diesem Magnetfeld verhält. Wir haben also folgenden Aufbau:

Ein stromdurchflossener Leiter, der sich im Magnetfeld des anderen Leiters befindet und andersherum.

  • Der erste elektrische Leiter hat die Länge \(L\) und durch diesen fließt ein Strom \(\class{blue}{I_1}\). Der Leiter erzeugt ein kreisförmiges Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\) konzentrisch um den Leiter herum.
  • Der zweite elektrische Leiter hat ebenfalls die Länge \(L\) und durch diesen fließt ein möglicherweise ein anderer Strom \(\class{blue}{I_2}\). Dieser kann beispielsweise entgegengesetzt fließen oder einen anderen Betrag haben. Der zweite Leiter erzeugt auch ein kreisförmiges Magnetfeld \(\class{violet}{B_2}\) konzentrisch um sich selbst herum.

Das Magnetfeld eines geraden Leiters lässt sich mit dem Ampere-Gesetz herleiten. Wir nehmen die dazugehörige Formel als gegeben an. Der erste Leiter erzeugt damit folgendes Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\):3\[ \class{violet}{B_1} ~=~ \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{\class{blue}{I_1}}{r} \]Hierbei ist \(\mu_0\) die magnetische Feldkonstante, deren Wert du in jeder Formelsammlung findest. Und \(\pi\) ist einfach die Kreiszahl. Wichtiger ist hier der Abstand \(r\) vom Leiter. Das Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\), das von dem ersten Leiter erzeugt wird, hängt also von der Größe des Stroms \(\class{blue}{I_1}\) und vom Abstand \(r\) zum Leiter ab.

Wenn wir nun den zweiten Leiter in das Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\) senkrecht dazu platzieren (d.h. \(\class{violet}{B_1}\) und \(\class{blue}{I_2}\) verlaufen senkrecht zueinander), dann können wir die zuvor hergeleitete Formel 1.6 für die Lorentzkraft benutzen, die auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt:3.1\[ \class{green}{F} ~=~ \class{blue}{I} \, L \, \class{violet}{B} \]

Wir müssen sie ledglich etwas anpassen. Die Lorentzkraft \(\class{green}{F}\) entspricht in diesem Fall der Lorentzkraft \(\class{green}{F_2}\) auf den zweiten Leiter. Der Strom \(\class{blue}{I}\) ist hier der Strom \( \class{blue}{I_2}\), der eben durch den zweiten Leiter fließt. Außerdem platzieren wir den zweiten Leiter im Abstand \(r\) zum ersten Leiter. In diesem Abstand \(r\) herrscht das Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\) des ersten Leiters:3.2\[ \class{green}{F_2} ~=~ \class{blue}{I_2} \, L \, \class{violet}{B_1} \]

Nun können wir die Formel 3 für das Magnetfeld \(\class{violet}{B_1}\) in die Lorentzkraft-Formel 3.2 einsetzen:3.3\begin{align} \class{green}{F_2} &~=~ \class{blue}{\class{blue}{I_2}} \, L \, \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{\class{blue}{I_1}}{r} \\\\ &~=~ \frac{\mu_0 \, L}{2\pi} \frac{\class{blue}{I_1} \, \class{blue}{I_2} }{r} \end{align}

Wir können analog die Lorentzkraft \(\class{green}{F_1}\) auf den ersten Leiter bestimmen, der sich im Magnetfeld \(\class{violet}{B_2}\) des zweiten Leiters befindet. Als Ergebnis würde der gleiche Betrag der Lorentzkraft herauskommen: \( \class{green}{F_2} ~=~ \class{green}{F_1}\). Daher können wir die Nummerierung der Kräfte auch weglassen:

Lorentzkraft auf einen der beiden Leiter3.4\[ \class{green}{F} ~=~ \frac{\mu_0 \, L}{2\pi} \frac{\class{blue}{I_1} \, \class{blue}{I_2}}{r} \]
Zwei Elektronenströme, die in die gleiche Richtung fließen, üben eine anziehnde Lorentzkraft aufeinander aus.
Zwei entgegengesetzte Elektronenströme üben eine abstoßende Lorentzkraft aufeinander aus.
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