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Herleitung Kapazität - Reihenschaltung & Parallelschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung zweier Kondensatoren mit Strömen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren Hier leiten wir eine Formel für die Gesamtkapazität (Ersatzkapazität) her, wenn Kondensatoren in Reihe geschaltet sind.
  2. Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren Hier leiten wir eine Formel für die Gesamtkapazität (Ersatzkapazität) her, wenn Kondensatoren parallel geschaltet sind.

Hier wollen wir die Gesamtkapazität \(C\) von einer Schaltung herleiten, in der zwei Kondensatoren einmal in Reihe und einmal parallel geschaltet sind. Der eine Kondensator hat die Kapazität \(C_1\) und der andere Kondensator hat die Kapazität \(C_2\).

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren

Reihenschaltung zweier Kondensatoren - Einzelspannungen
Reihenschaltung zweier Kondensatoren.

Betrachten wir eine Schaltung mit einem Wechselstromkreis. Dazu nehmen wir zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten \(C_1\) und \(C_2\). An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Wechselspannung \( U(t) \) an, so wie in der Illustration 1 gezeigt. Auf diese Weise haben wir eine Reihenschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:
Aufgrund der angelegten Wechselspannung entsteht ein elektrischer Wechselstrom \( \class{red}{I(t)} \), der die beiden Kondensatoren auflädt und wieder entlädt. Da die Reihenschaltung keine Knoten hat, an denen der Strom sich aufteilen könnte, fließt durch die beiden Kondensatoren der gleiche Strom \( \class{red}{I}(t) \). Der Strom ist definiert als Ladung \(\class{red}{Q(t)}\) pro Zeit \(t\):

Definition des elektrischen Stroms
Anker zu dieser Formel

Das heißt, zum Zeitpunkt \(t\), ist in beiden Kondensatoren die Ladungsmenge \(\class{red}{Q(t)} ~=~ \class{red}{I(t)} \, t \) gespeichert. Da der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist, ist auch die Ladungsmenge \( \class{red}{Q(t)} \) zum Zeitpunkt \(t\) auf beiden Kondensatoren gleich.

Spannung an den Kondensatoren:
Die angelegte Wechselspannung \( U(t) \) ist die Gesamtspannung, die an beiden Kondensatoren abfällt. Sie setzt sich zusammen aus der Spannung \(U_1(t)\), die zwischen den Elektroden des ersten Kondensators anliegt und aus der Spannung \(U_2(t)\), die zwischen den Elektroden des zweiten Kondensators anliegt:

Gesamtspannung ist Summe der Einzelspannungen
Anker zu dieser Formel

Die Kapazität bringen wir ins Spiel, indem wir den Zusammenhang zwischen der Ladung und der Spannung benutzen (\(\class{red}{Q} = C\, U\)). Für den ersten und zweiten Kondensator also:

Gleichungen für Ladung an den Kondensatoren
Anker zu dieser Formel

Die Gesamtkapazität \(C\) der Reihenschaltung hängt genauso mit der Gesamtspannung \( U(t) \) zusammen, wie die Einzelkapazitäten in 3:

Gesamtladung ist proportional zur Gesamtspannung
Anker zu dieser Formel

Diese Gleichungen besagen, dass die Ladungsmenge \( \class{red}{Q(t)} \) auf den Kondensatorplatten proportional zur jeweiligen Spannung zwischen den Kondensatorplatten ist, wobei die Proportionalitätskonstante die Kapazität ist. Stelle beide Gleichungen in 3 und in 4 nach den Spannungen um:

Gleichungen für alle Spannungen
Anker zu dieser Formel

Nun kannst du die Spannungen in 3 und 4 mit denen in 5 ersetzen:

Gleichungen für Gesamtspannung und Ladung pro Gesamtkapazität
Anker zu dieser Formel

Teile nur noch beide Seiten durch die Ladung \(\class{red}{Q(t)}\), um sie zu eliminieren:

Reziproke Gesamtkapazität ist die reziproke Summe zweier Einzelkapazitäten
Anker zu dieser Formel

Diese Gleichung lässt sich nach \(C\) umformen:

Formel: Ersatzkapazität zweier in Reihe geschalteter Kondensatoren
Anker zu dieser Formel

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten:

Anker zu dieser Formel

Hierbei bezeichnet \(C_n\) die Kapazität des \(n\)-ten Kondensators.

Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung zweier Kondensatoren mit Strömen
Parallelschaltung zweier Kondensatoren.

Betrachten wir eine etwas andere Schaltung. Dazu nehmen wir wieder zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten \(C_1\) und \(C_2\). An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Wechselspannung \( U(t) \) an, diesmal jedoch wie in der Illustration 2 gezeigt. Auf diese Weise haben wir eine Parallelschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Strom durch den Kondensator:
Bei einer Parallelschaltung spaltet sich der Gesamtstrom \( \class{red}{I(t)} \) an den Knoten zu den Kondensatoren auf. Jetzt dürfen wir nicht mehr annehmen, dass der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist. Daher bezeichnen wir den Strom durch den ersten Kondensator mit \( \class{red}{I_1(t)} \) und durch den zweiten Kondensator mit \( \class{red}{I_2(t)} \). Der Gesamtstrom muss natürlich wegen der Ladungserhaltung die Summe der beiden Einzelströme sein:

Gesamtstrom ist Summe der Einzelströme
Anker zu dieser Formel

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:
Wir können die Definition des Stroms (als Ladung pro Zeit) in 2 benutzen, um eine Gleichung für die Gesamtladung \(\class{red}{Q(t)}\) zu bekommen:

Gesamtladung pro Zeit ist Summe der Einzelladungen pro Zeit
Anker zu dieser Formel

Teile beide Seiten nur noch durch die Zeit \(t\):

Gesamtladung ist die Summe der Einzelladungen
Anker zu dieser Formel

Im Gegensatz zu einer Reihenschaltung ist bei einer Parallelschaltung die Ladungsmenge in den Kondensatoren unterschiedlich.

Nutze nun den Zusammenhang \(\class{red}{Q} = C\, U\) zwischen der Ladung und der Spannung, um die Kapazität ins Spiel zu bringen:

Gleichungen für Einzelladungen
Anker zu dieser Formel

Ersetze die Ladungen in 12 mit denen aus 13:

Gleichung: Gesamtkapazität mal Gesamtspannung
Anker zu dieser Formel

Teile beide Seiten durch die Spannung \(U(t)\), um sie zu eliminieren:

Formel: Gesamtkapazität ist die Summe zweier Einzelkapazitäten
Anker zu dieser Formel

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten:

Anker zu dieser Formel

Hierbei bezeichnet \(C_n\) die Kapazität des \(n\)-ten Kondensators.