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Herleitung Kapazität - Reihenschaltung & Parallelschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung zweier Kondensatoren mit Strömen
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Hier wollen wir die Gesamtkapazität \(C\) von einer Schaltung herleiten, in der zwei Kondensatoren einmal in Reihe und einmal parallel geschaltet sind. Der eine Kondensator hat die Kapazität \(C_1\) und der andere Kondensator hat die Kapazität \(C_2\).

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung von Kondensatoren

Reihenschaltung zweier Kondensatoren

Betrachten wir eine Schaltung mit einem Wechselstromkreis. Dazu nehmen wir zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten \(C_1\) und \(C_2\). An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Wechselspannung \( U(t) \) an, so wie in der Illustration 1 gezeigt. Auf diese Weise haben wir eine Reihenschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:
Aufgrund der angelegten Wechselspannung entsteht ein elektrischer Wechselstrom \( \class{red}{I(t)} \), der die beiden Kondensatoren auflädt und wieder entlädt. Da die Reihenschaltung keine Knoten hat, an denen der Strom sich aufteilen könnte, fließt durch die beiden Kondensatoren der gleiche Strom \( \class{red}{I}(t) \). Der Strom ist definiert als Ladung \(\class{red}{Q(t)}\) pro Zeit \(t\): $$ \class{red}{I(t)} ~=~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{t} $$Das heißt, zum Zeitpunkt \(t\), ist in beiden Kondensatoren die Ladungsmenge \(\class{red}{Q(t)} ~=~ \class{red}{I(t)} \, t \) gespeichert. Da der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist, ist auch die Ladungsmenge \( \class{red}{Q(t)} \) zum Zeitpunkt \(t\) auf beiden Kondensatoren gleich.

Spannung an den Kondensatoren:
Die angelegte Wechselspannung \( U(t) \) ist die Gesamtspannung, die an beiden Kondensatoren abfällt. Sie setzt sich zusammen aus der Spannung \(U_1(t)\), die zwischen den Elektroden des ersten Kondensators anliegt und aus der Spannung \(U_2(t)\), die zwischen den Elektroden des zweiten Kondensators anliegt:1$$ U(t) ~=~ U_1(t) ~+~ U_2(t) $$

Die Kapazität bringen wir ins Spiel, indem wir den Zusammenhang zwischen der Ladung und der Spannung benutzen (\(\class{red}{Q} = C\, U\)). Für den ersten und zweiten Kondensator also: 1.1\begin{align} \class{red}{Q(t)} &~=~ C_1 \, U_1(t) \\\\ \class{red}{Q(t)} &~=~ C_2 \, U_2(t) \end{align}

Die Gesamtkapazität \(C\) der Reihenschaltung hängt genauso mit der Gesamtspannung \( U(t) \) zusammen, wie die Einzelkapazitäten in 1.1:1.2$$ \class{red}{Q(t)} ~=~ C \, U(t) $$

Diese Gleichungen besagen, dass die Ladungsmenge \( \class{red}{Q(t)} \) auf den Kondensatorplatten proportional zur jeweiligen Spannung zwischen den Kondensatorplatten ist, wobei die Proportionalitätskonstante die Kapazität ist. Stelle beide Gleichungen in 1.1 und in 1.2 nach den Spannungen um:1.3\begin{align} U_1(t) &~=~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C_1} \\\\ U_2(t) &~=~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C_2} \\\\ U(t) &~=~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C} \end{align}

Nun kannst du die drei Spannungen in 1.1 mit denen in 1.3 ersetzen:1.4\begin{align} U(t) &~=~ U_1(t) ~+~ U_2(t) \\\\ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C} &~=~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C_1} ~+~ \frac{\class{red}{Q(t)}}{C_2} \end{align}

Teile nur noch beide Seiten durch die Ladung \(\class{red}{Q(t)}\), um sie zu eliminieren:1.5$$ \frac{1}{C} ~=~ \frac{1}{C_1} ~+~ \frac{1}{C_2} $$

Diese Gleichung lässt sich nach \(C\) umformen:1.6$$ C ~=~ \frac{C_1\, C_2}{C_1 ~+~ C_2} $$

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten:

Gesamtkapazität einer Reihenschaltung1.7$$ \frac{1}{C} ~=~ \frac{1}{C_1} ~+~ \frac{1}{C_2} ~+~ ... ~+~ \frac{1}{C_n} $$

Hierbei bezeichnet \(C_n\) die Kapazität des \(n\)-ten Kondensators.

Gesamtkapazität einer Parallelschaltung von Kondensatoren

Parallelschaltung zweier Kondensatoren

Betrachten wir eine etwas andere Schaltung. Dazu nehmen wir wieder zwei Kondensatoren mit den Kapazitäten \(C_1\) und \(C_2\). An diese beiden Kondensatoren legen wir eine Wechselspannung \( U(t) \) an, diesmal jedoch wie in der Illustration 2. Auf diese Weise haben wir eine Parallelschaltung von Kondensatoren konstruiert.

Strom durch den Kondensator:
Bei einer Parallelschaltung spaltet sich der Gesamtstrom \( \class{red}{I(t)} \) an den Knoten zu den Kondensatoren auf. Jetzt dürfen wir nicht mehr annehmen, dass der Strom durch beide Kondensatoren gleich ist. Daher bezeichnen wir den Strom durch den ersten Kondensator mit \( \class{red}{I_1(t)} \) und durch den zweiten Kondensator mit \( \class{red}{I_2(t)} \). Der Gesamtstrom muss natürlich wegen der Ladungserhaltung die Summe der beiden Einzelströme sein:2$$ \class{red}{I(t)} ~=~ \class{red}{I_1(t)} ~+~ \class{red}{I_2(t)} $$

Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten:

Wir können die Definition des Stroms (als Ladung pro Zeit) in 2 benutzen, um eine Gleichung für die Gesamtladung \(\class{red}{Q(t)}\) zu bekommen:2.1$$ \frac{\class{red}{Q(t)}}{t} ~=~ \frac{\class{red}{Q_1(t)}}{t} ~+~ \frac{\class{red}{Q_2(t)}}{t} $$

Teile beide Seiten nur noch durch die Zeit \(t\):2.2$$ \class{red}{Q(t)} ~=~ \class{red}{Q_1(t)} ~+~ \class{red}{Q_2(t)} $$

Im Gegensatz zu einer Reihenschaltung ist bei einer Parallelschaltung die Ladungsmenge in den Kondensatoren unterschiedlich. Nutze nur noch den Zusammenhang \(\class{red}{Q} = C\, U\) zwischen der Ladung und der Spannung, um die Kapazität ins Spiel zu bringen:2.3\begin{align} \class{red}{Q_1(t)} &~=~ C_1 \, U(t) \\\\ \class{red}{Q_2(t)} &~=~ C_2 \, U(t) \\\\ \class{red}{Q(t)} &~=~ C \, U(t) \end{align}

Ersetze die Ladungen in 2.2 mit denen aus 2.3:2.4$$ C \, U(t) ~=~ C_1 \, U(t) ~+~ C_2 \, U(t) $$

Teile nur noch beide Seiten durch die Spannung \(U(t)\), um sie zu eliminieren:2.5$$ C ~=~ C_1 ~+~ C_2 $$

Wenn du mehr als zwei Kondensatoren hast, kannst du analog vorgehen, um die folgende Formel herzuleiten:

Gesamtkapazität einer Parallelschaltung2.6$$ C ~=~ C_1 ~+~ C_2 ~+~ ... ~+~ C_n $$

Hierbei bezeichnet \(C_n\) die Kapazität des \(n\)-ten Kondensators.