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Herleitung Energieerhaltungssatz im Gravitationsfeld

Das Ziel ist es zu beweisen, dass die Energie eines frei fallenden Körpers stets erhalten ist. Für die Herleitung brauchst Du Formeln für kinetische und potentielle Energie, die zusammen die mechanische Gesamtenergie darstellen.

Formel: Kinetische Energie\[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]
Potentielle Energie (hier eines Apfels) - nahe der Planetoberfläche.
Formel: Potentielle Energie\[ W_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h \]

Du musst prüfen, ob die Gesamtenergie von einem - im Gravitationsfeld fallenden - Objekt zeitlich gleich bleibt:\[ W ~=~ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} ~=~ \text{const.} \]

Die Energieerhaltung bedeutet also: Erhöht sich die potentielle Energie des Körpers, dann muss die kinetische Energie um den gleichen Betrag abnehmen, damit die Gesamtenergie \( W\) konstant bleibt.

Wie Du beim Lesen hoffentlich bereits erfahren hast: Die Reibungskraft muss für die Erhaltung der Energie vernachlässigt werden, denn sie ist eine dissipative Kraft und für dissipative Kräfte gilt die Energieerhaltung nicht!

So fängst Du an: Lasse ein beliebiges Objekt mit der Masse \( m \) und der Anfangsgeschwindigkeit \( v_{\text{start}} \) von einer nicht zu großen Höhe \( h_{\text{start}} \) zum Erdboden fallen.

Damit beträgt seine Gesamtenergie \(W\) im Gravitationsfeld der Erde:\[ W ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{start}}^2 ~+~ m \, g \, h_{\text{start}} \]

Die Gesamtenergie ist gleichzeitig auch die Anfangsenergie, die der Körper bei der Höhe \( h_{\text{start}} \) bekommt und - im Allgemeinen Fall - auch noch mit einer Geschwindigkeit \( v_{\text{start}} \) heruntergeworfen wird. Das ist der maximale Vorrat an Energie von diesem Objekt. WENN Energieerhaltung im Schwerefeld gilt, dann darf dieser Wert \( W \) (der durch die obige Gleichung gegeben ist) zu keiner Zeit kleiner oder größer werden! Prüfe das, in dem Du das Objekt herunterwirfst...

Beim Fallen verliert das Objekt an Höhe, d.h. potentielle Energie \( W_{\text{pot}} \) nimmt mit sinkender Höhe \( h \) ab. Währenddessen wird das Objekt im Gravitationsfeld beschleunigt, weshalb natürlich seine Geschwindigkeit \( v \) und somit auch kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \) zunehmen.

Du musst zeigen, dass der Betrag, um den sich die potentielle Energie verringert hat \( \Delta W_{\text{pot}} \), genau gleich dem Betrag ist, um den sich die kinetische Energie erhöht hat \(\Delta W_{\text{kin}}\). Denn nur so bleibt die Gesamtenergie konstant!

Die Gesamtänderung \(\Delta W\) der anfangs vorgegebenen Energie muss also Null sein, wenn Energieerhaltungssatz tatsächlch gilt:\[ \Delta W ~=~ \Delta W_{\text{kin}} ~+~ \Delta W_{\text{pot}} \stackrel{!}{=} 0 \](Das Ausrufezeichen über dem Gleichheitszeichen bedeutet, dass die Summe der Differenzen Null sein MUSS, falls Energieerhaltung gilt!)

Differenz der potentiellen Energien umschreiben

Die Differenz \(\Delta W_{\text{pot}}\) ist der Unterschied zwischen zweier Höhenenergien an zwei unterschiedlichen Höhen. Diese kannst Du frei wählen. Hier wählst Du aber die Start- und Endhöhe, weil dadurch ein Summand dann wegfällt und die Gleichungen sich vereinfachen. Die Starthöhe - von der das Objekt fallen gelassen wird - ist \( h_{\text{start}} \), und die Endhöhe bezeichnest Du mal mit \( h_{\text{end}} \).

Die Differenz lautet mit diesen Festlegungen also: \[ \Delta W_{\text{pot}} ~=~ m \, g \, h_{\text{start}} ~-~ m \, g \, h_{\text{end}} \]

Die Erdbeschleunigung \( g \) ist konstant, weshalb Du \( h_{\text{start}} \) mit einer Formel für Strecke (aus der Kinematik) \( \frac{1}{2} \, g \, t_{start}^2 \) ersetzen kannst. Du kannst ohne Bedenken die Startzeit auf Null setzen (so wie bei einer Stoppuhr). Damit fällt natürlich \( m \, g \, h_{\text{start}} \) wegen \( h_{\text{start}} ~=~ \frac{1}{2} \, g \, 0^2 ~=~ 0\) weg.

Bis die Endhöhe \( h_{\text{end}} \) vom - zur Erde hin beschleunigten - Objekt erreicht wurde, ist während des Fallens eine bestimmte Zeit \( t_{\text{end}} \) vergangen. In dieser Zeit wurde die Strecke \( h_{\text{end}} ~=~ \frac{1}{2} \, g \, t_{\text{end}}^2 \) zurückgelegt.

Übrig bleibt für die Änderung der potentiellen Energie (nach dem Einsetzen von \( h_{\text{end}} \)): \[ \Delta W_{\text{pot}} ~=~~-~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{\text{end}}^2 \]

Differenz der kinetischen Energien umschreiben

Auf der Endhöhe hat das Objekt eine andere - größere - Geschwindigkeit als beim Start (da es ja durch Gewichtskraft beschleunigt wurde). Damit hat sich die kinetische Energie um folgenden Betrag geändert: \[ \Delta W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{end}}^2 ~-~ \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{start}}^2 \]

Da Objekte im Gravitationsfeld konstant beschleunigt werden, darfst Du die Geschwindigkeit schreiben als \( v = g \, t \). Hierbei ist \(g\) die Fallbeschleunigung mit dem Wert \( g = 9.8 \, \text{m}/\text{s}^2 \).

Die Startzeit \( t_{\text{start}} \) hast Du ja wie bei potentieller Energie auf Null gesetzt. Damit fällt der Term \( \frac{1}{2} \, m \, v_{\text{start}}^2 \) weg.

Nach der Zeit \( t_{\text{end}} \) hat das Objekt die Geschwindigkeit \( v_{\text{end}} \) erreicht. Ersetze die Endgeschwindigkeit \( v_{\text{end}} \) mit \( g \, t_{\text{end}} \).

Die kinetischen Energie hat sich also um folgenden Wert von \( t_{\text{start}} \) bis \( t_{\text{end}} \) geändert: \[ \Delta W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{\text{end}}^2 \]

Wie Du wahrscheinlich schon siehst, die Änderung der potentiellen \( \Delta W_{\text{pot}} \) und kinetischen Energie \( \Delta W_{\text{kin}} \), die Du oben ausgerechnet hast hebt sich gegenseitig weg: \[ \Delta W ~=~ \Delta W_{\text{pot}} ~+~ \Delta W_{\text{kin}} ~=~ -\frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{\text{end}}^2 ~+~ \frac{1}{2} \, m \, g^2 \, t_{\text{end}}^2 ~=~ 0 \]

Damit hast Du den Energieerhaltungsatz für frei fallende Körper gezeigt!

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