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Herleitung Hall-Spannung beim Hall-Effekt

Hall-Plättchen mit Löchern
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Hall-Effekt und seine einfachste Erklärung, die JEDER versteht

In der Lektion über den Hall-Effekt hast du gelernt, wie Hall-Spannng entsteht. Im Folgenden wollen wir eine Formel für die Hall-Spannung \( U_{\text H} \) herleiten, die nur von den Größen abhängt, die wir im Experiment bestimmen können.

Illustration : Rechteckiges Hall-Plättchen und seine Abmessungen.

Wir betrachten ein Hall-Plättchen der Breite \( h \), Dicke \( d \) und Länge \( L \). Es kann aus einem Metall oder einem Halbleiter-Material bestehen. Dann schicken wir einen elektrischen Strom \( I \) durch das Hall-Plättchen.

Elektrischer Strom \( I \) bedeutet, dass sich im Material - positive oder negative Ladungsträger mit einer Geschwindigkeit \( v \) in eine bestimmte Richtung bewegen können. Diese Ladungsträger sind entweder negativ geladen (Elektronen mit der Ladung \( q = -e\)) oder positiv geladen (sogenannte Löcher mit der Ladung \( q = +e\)).

Senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen (\(v \perp \class{violet}{B}\)) durchdringt ein Magnetfeld mit konstanter magnetischer Flussdichte \( \class{violet}{B} \) das Hall-Plättchen.

Illustration : Hallspannung aufgrund der Lorentzkraft auf Elektronen.
Illustration : Hallspannung aufgrund der Lorentzkraft auf Löcher (positive Quasiteilchen).

Elektrische und magnetische Kraft im Hall-Plättchen

Illustration : Ein bewegtes Elektron im Hall-Plättchen erfährt eine magnetische und elektrische Kraft.

Auf die bewegten Ladungsträger, wirkt stets Lorentzkraft \( F_{\text m} \) (als magnetische Kraft), welche die Ladungsträger senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Bewegungsrichtung ablenkt. In diesem Fall lautet der Betrag der Lorentzkraft:

Formel für magnetische Kraft
Anker zu dieser Formel

Bedenke! Lorentzkraft hat unterschiedliche Richtung, je nach dem, ob Du für \( q \) negative Elementarladung \( -e \) (für Elektronen) oder positive Elementarladung \( +e \) (für Löcher) einsetzt.

Aufgrund der Ablenkung der Ladungsträger durch die Lorentzkraft, entsteht ein Potentialunterschied zwischen der oberen und unteren Hälfte des Plättchens. Deshalb bildet sich ein elektrisches Feld mit der elektrischen Feldstärke \( E \) aus, welches eine - entgegen der Lorentzkraft wirkende - elektrische Kraft \( F_{\text e} \) ausübt. Die durch Lorentzkraft getrennten Ladungen wollen ja wieder zusammenkommen...

Die elektrische Kraft kannst Du durch folgende Formel beschreiben:

Formel für elektrische Kraft
Anker zu dieser Formel

Sich einstellendes Kräftegleichgewicht

Die elektrische Kraft ist nicht nur entgegengesetzt der magnetischen Kraft gerichtet; sie wird außerdem größer, je weiter die Ladungsträger von der magnetischen Kraft abgelenkt wurden. Nach kurzer Zeit stellt sich ein Kräftegleichgewicht zwischen der magnetischen und elektrischen Kraft ein, weshalb Du die Formeln 1 und 2 gleichsetzen darfst: 3\[ q \, v \, \class{violet}{B} ~=~ q \, E \]

Mit dem Kräftegleichgewicht stabilisiert sich das elektrische Feld bei einer bestimmten Feldstärke. An den Rändern des Plättchens lässt sich diese als Hall-Spannung \( U_{\text H} \) messen - denn elektrische Feldstärke lässt sich auch als Spannung zwischen zwei Punkten (hier den Rändern des Plättchens mit dem Abstand \( h \) beschreiben und mithilfe der Formel \(E = \frac{U_{\text H}}{h} \) berechnen. Setze sie in die vorherige Formel ein. Ladung \( q \) kürzt sich weg, sodass dann nach Umformen steht: 4 \[ U_{\text H} ~=~ h \, v \, \class{violet}{B} \]

Du kannst die mittlere Geschwindigkeit \( v \) der Ladungsträger nicht direkt messen, also ersetze sie mithilfe der Formel für gleichförmige Bewegung: Innerhalb einer bestimmten Zeit \( t \) legen ein Ladungsträger die Strecke \( L \) zurück, die der Länge des Plättchens entspricht:5\[ v ~=~ \frac{L}{t} \]

Die Zeit \( t \) lässt sich dann mithilfe der Fomel für elektrische Stromstärke ermitteln: 6\[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Forme 6 nach der Zeit um7\[ t ~=~ \frac{Q}{I} \]und setze 7 in die Gleichung 5 ein:8\[ v ~=~ \frac{L \, I}{Q} \]

Dabei ist die Ladungsmenge \( Q \), die insgesamt fließt, einfach das Produkt aus der Anzahl \( N \) der fließenden Ladungsträger und deren Einzelladung \( q \), welche je nach Ladungsträgerart entweder positiv oder negativ sein kann: 9\[ Q ~=~ N \, q \]

Setze 9 in 8 ein, um folgende Formel für Geschwindigkeit herauszubekommen10\[ v ~=~ \frac{L \, I}{N \, q} \]Einsetzen von 9 in die noch nicht fertige Hall-Spannung-GLeichung 4, liefert: 10\[ U_{\text H} ~=~ \frac{L\, I \, h \, \class{violet}{B}}{N \, q} \]

Du bist noch nicht am Ziel: Anzahl der Ladungsträger \( N \) ist abhängig vom Material des Leiters, welches eine bestimmte Ladungsträgerdichte \( n \) aufweist. Ladungsträgerdichte ist definiert als Anzahl der Ladungsträger \( N \) pro Volumen \( V \) des Leiters: 11\[ n ~=~ \frac{N}{V} \]

Ersetze deshalb Ladungsträgeranzahl \( N \) in der Gleichung 10 mittels Gleichung 11, die Du nach der Anzahl \( N \) umgeformt hast:12\[ U_{\text H} ~=~ \frac{L\, I \, h \, \class{violet}{B}}{n \, V \, q} \]

Jetzt kannst Du die Formel 12 noch etwas vereinfachen. Das Volumen ist nichts anderes als das Produkt aus Höhe \( h \), Länge \( L \) und Dicke \( d \) des Leiters: 13\[ V ~=~ h \, L \, d \]

Setze 13 in 12 ein und kürze \( L \) und \( h \) weg:14\[ U_{\text H} ~=~ \frac{I \, \class{violet}{B}}{n \, d \, q} \]

Sortiere nun die Formel etwas um, sodass alle Größen, die von den Leitungseigenschaften des Materials abhängen, in einem extra Faktor vorne stehen. Du erhälst: 15\[ U_{\text H} ~=~ \frac{1}{n \, q} ~ \frac{I \, \class{violet}{B}}{d} \]

Der Koeffizient \( \frac{1}{n \, q} \) ist dabei als sogenannte Hall-Konstante \( A_{\text H} \) definiert. Setze sie ein und Du bist fertig!

Formel: Hallspannung\[U_{\text H} ~=~ A_{\text H} ~ \frac{I \, \class{violet}{B}}{d} \]