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Herleitung Hall-Effekt: Hall-Spannung

Aufgrund der Lorentzkraft (magnetische Kraft) entsteht ein Ladungsunterschied oben und unten und dadurch eine Hallspannung.

Ausgangssituation

Ein elektrischer Strom \( I \) fließt beispielsweise durch eine Folie, die aus Metall oder Halbleiter-Material bestehen kann.

Elektrischer Strom \( I \) bedeutet, dass sich im Material - positive oder negative Ladungsträger mit einer Geschwindigkeit \( v \) in eine bestimmte Richtung bewegen können. Diese Ladungsträger sind entweder negativ geladen (Elektronen mit der Ladung \( q = -e\)) oder positiv geladen (sogenannte Löcher mit der Ladung \( q = +e\)).

Senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen (\(v \perp B\)) durchdringt ein Magnetfeld mit konstanter magnetischer Flussdichte \( B \) die Folie.

Wirkende Kräfte berücksichtigen

Auf - die den Strom erzeugenden (also bewegten) - Ladungsträger, wirkt die Lorentzkraft \( F_{\text m} \) (als magnetische Kraft), welche die Ladungsträger senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Bewegungsrichtung ablenkt. In diesem Fall lautet der Betrag der Lorentzkraft:1\[ F_{\text m} ~=~ q \, v \, B \]Bedenke! Lorentzkraft hat unterschiedliche Richtung, je nach dem, ob Du für \( q \) negative Elementarladung \( -e \) (für Elektronen) oder positive Elementarladung \( +e \) (für Löcher) einsetzt.

Aufgrund der Ablenkung der Ladungsträger durch die Lorentzkraft, entsteht ein Potentialunterschied zwischen der oberen und unteren Hälfte der Folie. Deshalb bildet sich ein elektrisches Feld mit der elektrischen Feldstärke \( E \) aus, welches eine - entgegen der Lorentzkraft wirkende - elektrische Kraft \( F_{\text e} \) ausübt. Die durch Lorentzkraft getrennten Ladungen wollen ja wieder zusammenkommen...

Die elektrische Kraft kannst Du durch folgende Formel beschreiben:2 \[ F_{\text e} ~=~ q \, E \]

Sich einstellendes Kräftegleichgewicht

Die elektrische Kraft ist nicht nur entgegengesetzt der magnetischen Kraft gerichtet; sie wird außerdem größer, je weiter die Ladungsträger von der magnetischen Kraft abgelenkt wurden. Nach kurzer Zeit stellt sich ein Kräftegleichgewicht zwischen der magnetischen und elektrischen Kraft ein, weshalb Du die Formeln 1 und 2 gleichsetzen darfst: 3\[ q \, v \, B ~=~ q \, E \]

Mit dem Kräftegleichgewicht stabilisiert sich das elektrische Feld bei einer bestimmten Feldstärke. An den Rändern der Folie lässt sich diese als Hall-Spannung \( U_{\text H} \) messen - denn elektrische Feldstärke lässt sich auch als Spannung zwischen zwei Punkten (hier den Rändern der Folie mit dem Abstand \( h \) beschreiben und mithilfe der Formel \(E = \frac{U_{\text H}}{h} \) berechnen. Setze sie in die vorherige Formel ein. Ladung \( q \) kürzt sich weg, sodass dann nach Umformen steht: 4 \[ U_{\text H} ~=~ h \, v \, B \]

Du kannst die mittlere Geschwindigkeit \( v \) der Ladungsträger nicht direkt messen, also ersetze sie mithilfe der Formel für gleichförmige Bewegung: Innerhalb einer bestimmten Zeit \( t \) legen ein Ladungsträger die Strecke \( L \) zurück, die der Länge der Folie entspricht:5\[ v ~=~ \frac{L}{t} \]

Die Zeit \( t \) lässt sich dann mithilfe der Fomel für elektrische Stromstärke ermitteln: 6\[ I ~=~ \frac{Q}{t} \]

Forme 6 nach der Zeit um7\[ t ~=~ \frac{Q}{I} \]und setze 7 in die Gleichung 5 ein:8\[ v ~=~ \frac{L \, I}{Q} \]

Dabei ist die Ladungsmenge \( Q \), die insgesamt fließt, einfach das Produkt aus der Anzahl \( N \) der fließenden Ladungsträger und deren Einzelladung \( q \), welche je nach Ladungsträgerart entweder positiv oder negativ sein kann: 9\[ Q ~=~ N \, q \]

Setze 9 in 8 ein, um folgende Formel für Geschwindigkeit herauszubekommen10\[ v ~=~ \frac{L \, I}{N \, q} \]Einsetzen von 9 in die noch nicht fertige Hall-Spannung-GLeichung 4, liefert: 10\[ U_{\text H} ~=~ \frac{L\, I \, h \, B}{N \, q} \]

Du bist noch nicht am Ziel: Anzahl der Ladungsträger \( N \) ist abhängig vom Material des Leiters, welches eine bestimmte Ladungsträgerdichte \( n \) aufweist. Ladungsträgerdichte ist definiert als Anzahl der Ladungsträger \( N \) pro Volumen \( V \) des Leiters: 11\[ n ~=~ \frac{N}{V} \]

Ersetze deshalb Ladungsträgeranzahl \( N \) in der Gleichung 10 mittels Gleichung 11, die Du nach der Anzahl \( N \) umgeformt hast:12\[ U_{\text H} ~=~ \frac{L\, I \, h \, B}{n \, V \, q} \]

Jetzt kannst Du die Formel 12 noch etwas vereinfachen. Das Volumen ist nichts anderes als das Produkt aus Höhe \( h \), Länge \( L \) und Dicke \( d \) des Leiters: 13\[ V ~=~ h \, L \, d \]

Setze 13 in 12 ein und kürze \( L \) und \( h \) weg:14\[ U_{\text H} ~=~ \frac{I \, B}{n \, d \, q} \]

Sortiere nun die Formel etwas um, sodass alle Größen, die von den Leitungseigenschaften des Materials abhängen, in einem extra Faktor vorne stehen. Du erhälst: 15\[ U_{\text H} ~=~ \frac{1}{n \, q} ~ \frac{I \, B}{d} \]

Der Koeffizient \( \frac{1}{n \, q} \) ist dabei als sogenannte Hall-Konstante \( A_{\text H} \) definiert. Setze sie ein und Du bist fertig!

Formel: Hallspannung\[U_{\text H} ~=~ A_{\text H} ~ \frac{I \, B}{d} \]

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