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Herleitung Hall-Spannung beim Hall-Effekt

Hall-Plättchen mit Löchern
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Hall-Effekt und seine einfachste Erklärung, die JEDER versteht

In der Lektion über den Hall-Effekt hast du gelernt, wie Hall-Spannng entsteht. Im Folgenden wollen wir eine Formel für die Hall-Spannung \( U_{\text H} \) herleiten, die nur von den Größen abhängt, die wir im Experiment bestimmen können.

Quadratisches Hall-Plättchen mit Dimensionen
Illustration : Rechteckiges Hall-Plättchen und seine Abmessungen.

Wir betrachten ein Hall-Plättchen der Breite \( h \), Dicke \( d \) und Länge \( L \). Es kann aus einem Metall oder einem Halbleiter bestehen. Dann schicken wir einen elektrischen Strom \( I \) durch das Hall-Plättchen.

Elektrischer Strom \( I \) bedeutet, dass sich im Material - positive oder negative Ladungsträger mit einer Driftgeschwindigkeit \( v \) in eine bestimmte Richtung bewegen können. Diese Ladungsträger sind entweder negativ geladen (Elektronen mit der Ladung \( q = -e\)) oder positiv geladen (sogenannte Löcher mit der Ladung \( q = +e\)).

Senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen (\(v \perp \class{violet}{B}\)) durchdringt ein Magnetfeld mit konstanter magnetischer Flussdichte \( \class{violet}{B} \) das Hall-Plättchen.

Elektrische und magnetische Kraft im Hall-Plättchen

Kräfte auf ein Elektron beim Hall-Effekt
Illustration : Ein bewegtes Elektron im Hall-Plättchen erfährt eine magnetische und elektrische Kraft.

Auf die bewegten Ladungsträger wirkt stets eine magnetische Kraft \( F_{\text m} \) (Lorentzkraft) , die die Ladungsträger senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur Bewegungsrichtung ablenkt. In diesem Fall lautet der Betrag der Lorentzkraft:

Formel für magnetische Kraft
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Bedenke! Lorentzkraft hat eine andere Richtung, je nach dem, ob Du für \( q \) negative Elementarladung \( -e \) (für Elektronen) oder positive Elementarladung \( +e \) (für Löcher) einsetzt.

Aufgrund der Ablenkung der Ladungsträger durch die Lorentzkraft, entsteht an einem Rand des Plättchens eine negativer Ladungsüberschuss und am anderen Rand ein positiver Ladungsüberschuss. Dieser Ladungsunterschied erzeugt ein elektrisches Feld \( E \), die auf alle nachfolgenden Ladungen eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \) ausübt. Sie wirkt entgegen der magnetischen Kraft.

Der obere und untere Rand des Plättchens können ein Platten eines Plattenkondensators betrachtet werden. Die elektrische Kraft zwischen den Platten ist gegeben durch:

Formel für elektrische Kraft in einem Plattenkondensator
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Die elektrische Kraft ist nicht nur entgegengesetzt der magnetischen Kraft gerichtet; sie wird außerdem größer, je mehr die Ladungsträger von der magnetischen Kraft abgelenkt wurden. Nach kurzer Zeit stellt sich ein Kräftegleichgewicht zwischen der magnetischen und elektrischen Kraft ein, weshalb Du die Formeln 1 und 2 gleichsetzen darfst:

Elektrische Kraft mit der magnetischen Kraft gleichgesetzt
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Mit dem Kräftegleichgewicht stabilisiert sich das elektrische Feld bei einem bestimmen Wert. An den Rändern des Plättchens lässt sich dieses E-Feld als Hall-Spannung \( U_{\text H} \) messen. Elektrisches Feld hängt mit der Spannung über den Abstand \( h \) zwischen den Rändern des Plättchens zusammen: \(E = \frac{U_{\text H}}{h} \). Setze die Gleichung in die Formel 3 für das E-Feld ein. Ladung \( q \) kürzt sich auch weg:

Formel für Hall-Spannung mittels Driftgeschwindigkeit
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Du kannst die mittlere Geschwindigkeit \( v \) der Ladungsträger nicht direkt messen, also ersetze sie mithilfe der Formel für gleichförmige Bewegung. Wenn ein Ladungsträger innerhalb der Zeit \( t \) die Strecke \( L \) (Länge des Plättchens) zurück legt, dann können wir die Geschwindigkeit folgendermaßen schreiben:

Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit
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Die Zeit \( t \) lässt sich dann mithilfe der Formel für elektrischen Strom ermitteln:

Strom ist Ladung pro Zeit
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Forme Gl. 6 nach der Zeit um:

Zeit ist gleich Ladung pro Strom
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Setze Gleichung 7 in die Gleichung 5 ein:

Geschwindigkeit ist gleich Abstand mal Strom durch Ladung
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Dabei ist die Ladungsmenge \( Q \), die insgesamt fließt, einfach das Produkt aus der Anzahl \( N \) der fließenden Ladungsträger und deren Einzelladung \( q \) (je nach Art der Ladung kann \(q\) positiv oder negativ sein):

Gesamtladung ist Anzahl der Ladungen miltipliziert mit Einzelladung
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Setze Gl. 9 in Gl. 8 ein, um folgende Formel für die Driftgeschwindigkeit herauszubekommen:

Geschwindigkeit ist Abstand mal Strom pro Anzahl mal Ladung
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Einsetzen der Geschwindigkeit 10 in die Hall-Spannung-Formel 4 liefert:

Formel für Hall-Spannung mittels Abstand, Strom, Dicke, Magnetfeld, Ladungsanzahl und Ladung
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Anzahl der Ladungsträger \( N \), die zum Strom beitragen, können wir mit der Ladungsträgerdichte \( n \) ausdrücken. Ladungsträgerdichte ist definiert als Anzahl der Ladungsträger \( N \) pro Volumen \( V \) des Leiters (hier: Plättchens):

Ladungsträgerdichte ist Ladungsanzahl pro Volumen
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Ersetze deshalb Ladungsträgeranzahl \( N \) in der Gleichung 11 mittels Gl. 12, indem du 12 nach \(N\) umstellst:

Formel für Hall-Spannung mittels Abstand, Strom, Dicke, Magnetfeld, Ladungsträgerdichte, Volumen und Ladung
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Jetzt kannst Du die Formel 13 noch etwas vereinfachen. Das Volumen \(V= h \, L \, d\) ist das Produkt aus Höhe \( h \), Länge \( L \) und Dicke \( d \) des Plättchens. Setze es in Gl. 13 ein und kürze dann \(L\) und \(h\):

Formel für Hall-Spannung mittels Ladungsträgerdichte
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Der Koeffizient \( \frac{1}{n \, q} \) wird als Hall-Konstante bezeichnet und mit \( A_{\text H} \) abgekürzt:

Formel für Hall-Spannung mittels Hall-Konstante
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