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Herleitung Kinetische Energie (klassisch)

Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Ein Raumschiff wird solange mit einer Kraft beschleunigt, bis es die Geschwindigkeit \( v \) erreicht hat. Dabei legt es eine Strecke \( s \) zurück.

Nachdem ein Körper der Masse m - vom Ruhezustand aus \( v = 0 \) - auf Geschwindigkeit \( v \) beschleunigt hat, indem der Körper eine Kraft \( F \) entlang der Strecke \( s \) erfahren hat, hat er eine Arbeit ("Kraft MAL Weg") verrichtet und damit eine kinetische Energie \( W_{\text{kin}} \) gewonnen. Diese entspricht genau der verrichteten Arbeit:1\[ W_{\text{kin}} ~=~ F ~\cdot~ s \]

Raumschiff startet bei \(s_0\) mit der Geschwindigkeit \(v_0\) und beschleunigt mit \(a\).

Unter der Voraussetzung, dass der Körper gleichmäßig mit einer Beschleunigung \( a \) beschleunigt wurde, kann die Strecke \( s \) allgemein geschrieben werden als:2\[ s ~=~ s_0 ~+~ v_0 \, t ~+~ \frac{1}{2} \, a \, t^2 \]dabei ist \( v_0 \) die konstante Anfangsgeschwindigkeit, die der Körper vor der Beschleunigungsphase besaß (also seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt \( t ~=~ 0\)). Und \( s_0 \) ist der Anfangsort, von dem der Körper gestartet ist (also sein Ort zum Zeitpunkt \( t ~=~ 0\)). Gleichung 2 bezeichnet man als Weg-Zeit-Gesetz, welches man durch Integration der zeitabhängigen Beschleunigung \( a(t) \) herleiten kann.

Da es egal ist, wo Du den Koordinatenursprung legst, verschiebst Du den Ursprung (Nullpunkt) einfach in den Anfangsort, weshalb \( s_0 ~=~ 0 \) wird. Lass uns auch die Anfangsgeschwindigkeit \( v_0 ~=~ 0 \) setzen, damit der Körper vor der Beschleunigungsphase keine kinetische Energie besitzt. Die Gleichung 2 vereinfacht sich dann zu:3\[ s ~=~ \frac{1}{2} \, a \, t^2 \]

Dabei ist a die gleichmäßige Beschleunigung des Körpers, die in der Zeit t passierte, bis der Körper die Geschwindigkeit v erreicht hat und dabei die Strecke s zurückgelegt hat.

Geschwindigkeit - ist Beschleunigung multipliziert mit der Zeit: \( v ~=~ a \, t \). Die Geschwindigkeit kannst Du in die Gleichung 3 einsetzen:4\[ s ~=~ \frac{1}{2} \, v \, t \]

Die Kraft F lautet allgemein: 5\[ F ~=~ m \, a \]

Setze sowohl die Gleichung 5 für Kraft als auch Gleichung 4 für Strecke, in die Gleichung 1 ein, dann bekommst Du: 6\[ W_{\text{kin}} ~=~ m \, a ~\cdot~ \frac{1}{2} \, v \, t \]

Wie Du siehst, steckt in 6 \( a \, t \) drin. Das entspricht ja genau der Geschwindigkeit \( v ~= a \, t \). Setze es ein und Du bekommst die Formel, die Du herleiten wolltest:

Kinetische Energie\[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} \, m \, v^2 \]
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