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Herleitung Millikan-Experiment: Ladung & Radius mit 2 Methoden

Millikan-Experiment (Gleichfeldmethode): Fallendes Öltröpfchen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Hier wollen wir eine Formel für die Ladung und den Radius eines Öltröpfchens beim Millikan-Versuch herleiten. Wir werden diese auf zwei verschiedene Weisen herleiten.

Ladung und Radius mit Schwebemethode herleiten

Mit dieser Methode hast Du 2 Kräftegleichungen, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst:

Gleichung: Fallen des Öltröpfchensbei ausgeschalteter Spannungsquelle\[ F_{\text g} ~=~ F_{\text r} ~+~ F_{\text a} \]
  • \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
  • \(F_{\text r}\): Reibungskraft
  • \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
Gleichung: Schweben des Öltröpfchens\[ F_{\text g} ~=~ F_{\text e} ~+~ F_{\text a} \]

\(F_{\text e}\): Elektrische Kraft

Millikan-Experiment: Fallendes Öltröpfchen (ohne elektrische Kraft)
Betrachtung des Öltröpfchens im Mikroskop. Es herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft, Auftriebskraft und Reibungskraft. Elektrische Kraft ist bei ausgeschalteter Spannungsquelle - Null.
Millikan-Experiment: Schwebezustand des Öltröpfchens
Kräftegleichgewicht zwischen elektrischer Kraft, Auftriebskraft und Gewichtskraft. Du hast durch das Erhöhen der Spannung den Schwebezustand einsgellt, weshalb Reibungskraft - Null ist.

Schwebemethode: RADIUS in 7 Schritten hergeleitet

  1. Setze in die Gleichung fürs Fallen die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein:\[ \rho_{\text O} V g ~=~ 6 \pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} V g \]
  2. Forme nach dem Radius um:\[ r ~=~ \frac{\rho_{\text O} V g ~-~ \rho_{L} V g}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  3. Klammere \( V g \) aus:\[ r ~=~ \frac{V g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  4. Setze für \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \) ein. Dies ist das Kugelvolumen, weil Du annimmst, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind:\[ r ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, r^3 g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  5. Teile die Gleichung durch den Radius. Dadurch erreichst Du, dass der Radius nur auf einer Seite der Gleichung steht:\[ \frac{1}{r^2} ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  6. Damit Du nicht \( \frac{1}{r^2} \), sondern \( r^2 \) stehen hast, musst Du einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Nenner und Zähler vertauschen: \[ r^2 ~=~ \frac{3*6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}}{4 \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  7. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten, um aus \( r^2 \) ein \( r \) zu machen. Fasse außerdem \( 6*3=18 \) im Zähler zusammen und kürze mit der \( 4 \) im Nenner. Kürze das \( \pi \). Dann bekommst Du den Radius des Öltröpfchens - hergeleitet mit Schwebemethode!
Formel: Radius vom Öltröpfchenhergeleitet mittels Schwebemethode\[ r ~=~ \sqrt{ \frac{ 9\eta \, v_{\downarrow} }{2g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{\text L} \right)} } \]
Mehr zur Formel...
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung \(9.8\,\text{m/s}^2\)
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit. Beim Millikan-Experiment hast Du die Fallzeit \( t_{\downarrow} \) (das Pfeilchen soll das Fallen andeuten) gemessen, die das Öltröpfchen braucht, um eine Strecke \( s_{\downarrow} \) beim Fallen zurückzulegen. Du kannst also Geschwindigkeit ersetzen als Strecke pro Zeit.
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

Schwebemthode: LADUNG in 10 Schritten hergeleitet

  1. Setze in die Gleichung fürs Schweben die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O}\,V\,g ~=~ q \, E ~+~ \rho_{L}\,V\,g \]
  2. Forme die Gleichung nach der Ladung um:\[ q ~=~ \frac{\rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g}{E} \]
  3. Klammere \( V \, g \) aus: \[ q ~=~ \frac{V \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
  4. Du kannst annehmen, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind, d.h. schreibe das Volumen \( V \) als Kugelvolumen:\[ q ~=~ \frac{\frac{4}{3}\pi \, r^3 \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
  5. Schreibe elektrische Feldstärke als Spannung \(U\) pro Abstand \(d\) der Kondensatorplatten \( E=\frac{U}{d} \). Spannung misst Du mit einem Spannungsmessgerät und den Abstand zum Beispiel mit einem Lineal:\[ q ~=~ \frac{d \, \frac{4}{3}\pi \, r^3 g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{U} \]
  6. Setze den vorher - mit Schwebemethode - hergeleiteten Radius für \( r \) ein. Ziehe \( \frac{d}{U} \) vor den Bruch und erschrecke Dich nicht:\[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9 \, \eta \, v _{\downarrow}}{2 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)} }^3 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  7. Ob Du zuerst Wurzel ziehst und dann hoch 3 nimmst, oder andersrum – ist egal, deswegen schreibe das Hochdrei in die Wurzel hinein, rechne auch 23=8 aus:\[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9^3 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  8. Wenn Du \( \frac{4}{3} \) in die Wurzel reinziehst, wird es zu \( \frac{16}{9} \) in der Wurzel. Deshalb kürzt sich in der Wurzel \( \frac{16*9^3}{9} \) zu \( 16*9^2 \)\[ q ~=~ \frac{d\,\pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16*9^2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  9. Ziehe \(g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)\) in die Wurzel hinein und ziehe \( 9^2 \) aus der Wurzel heraus: \[ q ~=~ \frac{9 \, d \, \pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3 \, g^2 \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^2 }{ 8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \]
  10. Kürze den Bruch und Du bekommst die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet aus der Schwebegleichung.
Formel: Ladung vom Öltröpfchenmittels Schwebemethode\[ q ~=~ \frac{9 \, \pi \, d}{U} \, \sqrt{ \frac{2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{\text L}\right)} } \]
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung \(9.8\,\text{m/s}^2\)
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

Die hergeleitete Formel für Ladung enthält nur Größen, welche Du im Millikan-Versuch messen (Spannung, Abstand, Fallgeschwindigkeit) oder in einer Tabelle (Luftdichte, Öldichte, Viskosität) nachgucken kannst!

Wenn Du Deine Messwerte einsetzen willst, schreibe die Fallgeschwindigkeit \( v_{\downarrow} \) als Fallstrecke \( s_{\downarrow} \) pro Fallzeit \( t_{\downarrow} \).

Ladung und Radius mit Gleichfeldmethode herleiten

Mit dieser Methode hast Du ebenfalls Fallgleichung und Steiggleichung, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst; nur, dass die Spannung hier auf einem festen Wert gehalten wird:

Millikan-Experiment (Gleichfeldmethode): Fallendes Öltröpfchen
Fallen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, elektrische Kraft und Auftriebskraft.

Gleichung: Fallen des Öltröpfchens im E-Feld
d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_{\text g} ~+~ F_{\text e} ~=~ F_{\text{R}\downarrow} ~+~ F_{\text a} \]

\( F_{\text{R}\downarrow} \): Reibungskraft engegen des Fallens

Millikan-Experiment (Gleichfeldmethode): Fallendes Öltröpfchen
Steigen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, Elektrische Kraft und Auftriebskraft.
Gleichung: Steigen des Öltröpfchens im E-Feld
d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_{\text g} ~+~ F_{R\uparrow} ~=~ F_{\text e} ~+~ F_{\text a} \]

\( F_{\text{R}\uparrow} \): Reibungskraft engegen des Steigens

Gleichfeldmethode: RADIUS in 4 Schritten hergeleitet

  1. Ziehe die Gleichung fürs Steigen von der Gleichung fürs Fallen ab. Sowohl die Gewichtskraft als auch die Auftriebskraft fallen dabei heraus, was übrig bleibt ist:\[ 2F_{\text e} ~=~ F_{R\uparrow} ~+~ F_{\text{R}\downarrow} \]
  2. Setze die jeweiligen Kräfte konkret ein:\[ 2 \, q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\uparrow} ~+~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} \]
  3. Klammere \( 6\pi \, \eta \, r \) aus und schreibe elektrisches Feld \( E \) als Spannung pro Abstand \( \frac{U}{d} \):\[ 2 \, q \, \frac{U}{d} ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
  4. Stelle nach dem Radius \( r \) des Öltröpfchens um und Du hast die gesuchte Formel.
Formel: Radius vom Öltröpfchen
mittels Gleichfeldmethode hergeleitet
\[ r ~=~ \frac{q \, U}{3\pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)} \]
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \( v_{\uparrow} \): Steiggeschwindigkeit
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(q \): Ladung des Öltröpfchens

Ladung aus der Steig- oder Fallgleichung herleiten

  1. Nimm beispielsweise die Gleichung fürs Fallen des Öltröpfchens im E-Feld und setze die bekannten Zusammenhänge ein:\[ \rho_{\text O} \, V \, g ~+~ q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} \, V \, g \]
  2. Bringe alle Summanden, die \( Vg \) enthalten, auf die linke und alles andere auf die rechte Seite:\[ \rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
  3. Klammere dann \( Vg \) aus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
  4. Du nimmst an, dass das Öltröpfchen eine Kugelform hat, weshalb Du das Volumen als Kugelvolumen \( \frac{4}{3}\pi \, r^3 \) schreibst. Schreibe außerdem \( E \) in \( \frac{U}{d} \) um:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, r^3 \,g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \]
  5. Teile die ganze Gleichung durch \( r^3 \):\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, \frac{1}{r^2} \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \, \frac{1}{r^3} \]
  6. Klammere dann \( \frac{1}{r^2} \) aus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{1}{r^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d}\frac{1}{r} \right) \]
  7. Setze nun die Formel für den Radius \( r \) ein, den Du mittels Gleichfeldmethode hergeleitet hast. Bedenke beim Einsetzen (z.B. in \( \frac{1}{r^2} \)), dass der Zähler und Nenner vom Radius-Bruch vertauscht werden. ERSCHRECKE DICH NICHT:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \frac{3 \pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{q \, U} \right) \]
  8. Kürze in der Klammer das \( \frac{qU}{d} \). Ziehe dann \( 3\pi \, \eta \) aus der Klammer heraus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \right) \]
  9. Jetzt kannst Du easy \( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \) zusammenrechnen:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right) \]
  10. Dein Ziel ist es ja, die Gleichung nach \( q \) aufzulösen. Also bringe erstmal alles andere auf die rechte Seite, indem Du die ganze Gleichung mit \( \frac{3}{4\pi \, g \, \left( \rho_{\text O}~-~ \rho_{L} \right) } \) multiplizierst:\[ 1 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, q^2 \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  11. Jetzt kannst Du \( q^2 \) auf die linke Seite bringen:\[ q^2 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  12. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten und ordne den Bruch so um, dass alle Terme mit Quadraten (inkl. \( 4 \)) im linken Bruch stehen und der Rest im rechten. Positioniere dazu einfach \( \frac{\eta^3}{g} \) in den rechten Bruch:\[ q ~=~ \sqrt { \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, U^2}\frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]
  13. Die Wurzel kannst Du auf die beiden Brüche aufteilen; mach das und ziehe dann die geile Wurzel aus dem linken Bruch und rechne dann \( 3*3=9 \) zusammen:\[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]Bisschen umstukturieren, wenn Du magst und FERTIG ist die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet mit Gleichfeldmethode!
Formel: Ladung vom Öltröpfchen
mittels Gleichfeldmethode:
\[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
Mehr zur Formel...
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung 9.8 m/s2
  • \( v_{\uparrow} \): Steiggeschwindigkeit
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)