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Herleitung Millikan-Experiment: Ladung & Radius mit 2 Methoden

Was du hier lernst...
  1. Ladung und Radius mittels SchwebemethodeHier lernst du, wie die Ladung eines Öltröpfchens und sein Radius mittels Schwebemethode hergeleitet werden.
  2. Ladung und Radius mittels GleichfeldmethodeHier lernst du, wie die Ladung eines Öltröpfchens und sein Radius mittels Gleichfeldmethode hergeleitet werden.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Hier lernst Du alle notwendigen Herleitungen zum Millikan-Versuch:
Ladung des Öltröpfchens und Radius des Öltröpfchens.

Je nachdem ob Du beim Millikan-Versuch die Gleichfeldmethode oder die Schwebemethode benutzt hast, verwendest Du andere Herleitung.

Ladung und Radius mit Schwebemethode herleiten

Mit dieser Methode hast Du 2 Kräftegleichungen, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst:

Gleichung: Fallen des Öltröpfchensbei ausgeschalteter Spannungsquelle\[ F_{\text g} ~=~ F_{\text r} ~+~ F_{\text a} \]
  • \(F_{\text g}\): Gewichtskraft
  • \(F_{\text r}\): Reibungskraft
  • \(F_{\text a}\): Auftriebskraft
Gleichung: Schweben des Öltröpfchens\[ F_{\text g} ~=~ F_{\text e} ~+~ F_{\text a} \]

\(F_{\text e}\): Elektrische Kraft

Betrachtung des Öltröpfchens im Mikroskop. Es herrscht Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft, Auftriebskraft und Reibungskraft. Elektrische Kraft ist bei ausgeschalteter Spannungsquelle - Null.
Kräftegleichgewicht zwischen elektrischer Kraft, Auftriebskraft und Gewichtskraft. Du hast durch das Erhöhen der Spannung den Schwebezustand einsgellt, weshalb Reibungskraft - Null ist.

Schwebemethode: RADIUS in 7 Schritten hergeleitet

  1. Setze in die Gleichung fürs Fallen die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein:\[ \rho_{\text O} V g ~=~ 6 \pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} V g \]
  2. Forme nach dem Radius um:\[ r ~=~ \frac{\rho_{\text O} V g ~-~ \rho_{L} V g}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  3. Klammere \( V g \) aus:\[ r ~=~ \frac{V g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  4. Setze für \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \) ein. Dies ist das Kugelvolumen, weil Du annimmst, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind:\[ r ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, r^3 g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  5. Teile die Gleichung durch den Radius. Dadurch erreichst Du, dass der Radius nur auf einer Seite der Gleichung steht:\[ \frac{1}{r^2} ~=~ \frac{\frac{4}{3} \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)}{6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}} \]
  6. Damit Du nicht \( \frac{1}{r^2} \), sondern \( r^2 \) stehen hast, musst Du einfach auf beiden Seiten der Gleichung den Nenner und Zähler vertauschen: \[ r^2 ~=~ \frac{3*6\pi \, \eta \, v_{\downarrow}}{4 \pi \, g\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  7. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten, um aus \( r^2 \) ein \( r \) zu machen. Fasse außerdem \( 6*3=18 \) im Zähler zusammen und kürze mit der \( 4 \) im Nenner. Kürze das \( \pi \). Dann bekommst Du den Radius des Öltröpfchens - hergeleitet mit Schwebemethode!
Formel: Radius vom Öltröpfchenhergeleitet mittels Schwebemethode\[ r ~=~ \sqrt{ \frac{ 9\eta \, v_{\downarrow} }{2g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{\text L} \right)} } \]
Mehr zur Formel...
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung \(9.8\,\text{m/s}^2\)
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit. Beim Millikan-Experiment hast Du die Fallzeit \( t_{\downarrow} \) (das Pfeilchen soll das Fallen andeuten) gemessen, die das Öltröpfchen braucht, um eine Strecke \( s_{\downarrow} \) beim Fallen zurückzulegen. Du kannst also Geschwindigkeit ersetzen als Strecke pro Zeit.
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

Schwebemthode: LADUNG in 10 Schritten hergeleitet

  1. Setze in die Gleichung fürs Schweben die jeweiligen Formeln für die Kräfte ein: \[ \rho_{\text O}\,V\,g ~=~ q \, E ~+~ \rho_{L}\,V\,g \]
  2. Forme die Gleichung nach der Ladung um:\[ q ~=~ \frac{\rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g}{E} \]
  3. Klammere \( V \, g \) aus: \[ q ~=~ \frac{V \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
  4. Du kannst annehmen, dass die Öltröpfchen näherungsweise kugelförmig sind, d.h. schreibe das Volumen \( V \) als Kugelvolumen:\[ q ~=~ \frac{\frac{4}{3}\pi \, r^3 \, g \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{E} \]
  5. Schreibe elektrische Feldstärke als Spannung \(U\) pro Abstand \(d\) der Kondensatorplatten \( E=\frac{U}{d} \). Spannung misst Du mit einem Spannungsmessgerät und den Abstand zum Beispiel mit einem Lineal:\[ q ~=~ \frac{d \, \frac{4}{3}\pi \, r^3 g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)}{U} \]
  6. Setze den vorher - mit Schwebemethode - hergeleiteten Radius für \( r \) ein. Ziehe \( \frac{d}{U} \) vor den Bruch und erschrecke Dich nicht:\[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9 \, \eta \, v _{\downarrow}}{2 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)} }^3 \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  7. Ob Du zuerst Wurzel ziehst und dann hoch 3 nimmst, oder andersrum – ist egal, deswegen schreibe das Hochdrei in die Wurzel hinein, rechne auch 23=8 aus:\[ q ~=~ \frac{4d\,\pi}{3U} \, \sqrt{ \frac{9^3 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  8. Wenn Du \( \frac{4}{3} \) in die Wurzel reinziehst, wird es zu \( \frac{16}{9} \) in der Wurzel. Deshalb kürzt sich in der Wurzel \( \frac{16*9^3}{9} \) zu \( 16*9^2 \)\[ q ~=~ \frac{d\,\pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16*9^2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \, g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right) \]
  9. Ziehe \(g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)\) in die Wurzel hinein und ziehe \( 9^2 \) aus der Wurzel heraus: \[ q ~=~ \frac{9 \, d \, \pi}{U} \, \sqrt{ \frac{16 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3 \, g^2 \, \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^2 }{ 8 \, g^3 \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L}\right)^3} } \]
  10. Kürze den Bruch und Du bekommst die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet aus der Schwebegleichung.
Formel: Ladung vom Öltröpfchenmittels Schwebemethode\[ q ~=~ \frac{9 \, \pi \, d}{U} \, \sqrt{ \frac{2 \, \eta^3 \, v _{\downarrow}^3}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{\text L}\right)} } \]
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung \(9.8\,\text{m/s}^2\)
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

Die hergeleitete Formel für Ladung enthält nur Größen, welche Du im Millikan-Versuch messen (Spannung, Abstand, Fallgeschwindigkeit) oder in einer Tabelle (Luftdichte, Öldichte, Viskosität) nachgucken kannst!

Wenn Du Deine Messwerte einsetzen willst, schreibe die Fallgeschwindigkeit \( v_{\downarrow} \) als Fallstrecke \( s_{\downarrow} \) pro Fallzeit \( t_{\downarrow} \).

Ladung und Radius mit Gleichfeldmethode herleiten

Mit dieser Methode hast Du ebenfalls Fallgleichung und Steiggleichung, aus denen Du die Ladung und Radius bestimmst; nur, dass die Spannung hier auf einem festen Wert gehalten wird:

Fallen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, elektrische Kraft und Auftriebskraft.

Gleichung: Fallen des Öltröpfchens im E-Feld
d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_{\text g} ~+~ F_{\text e} ~=~ F_{\text{R}\downarrow} ~+~ F_{\text a} \]

\( F_{\text{R}\downarrow} \): Reibungskraft engegen des Fallens

Steigen des Öltröpfchens bei fest eingestellter Spannung. Es wirken Gewichtskraft, Reibungskraft, Elektrische Kraft und Auftriebskraft.
Gleichung: Steigen des Öltröpfchens im E-Feld
d.h. Spannung ist nicht Null:
\[ F_{\text g} ~+~ F_{R\uparrow} ~=~ F_{\text e} ~+~ F_{\text a} \]

\( F_{\text{R}\uparrow} \): Reibungskraft engegen des Steigens

Gleichfeldmethode: RADIUS in 4 Schritten hergeleitet

  1. Ziehe die Gleichung fürs Steigen von der Gleichung fürs Fallen ab. Sowohl die Gewichtskraft als auch die Auftriebskraft fallen dabei heraus, was übrig bleibt ist:\[ 2F_{\text e} ~=~ F_{R\uparrow} ~+~ F_{\text{R}\downarrow} \]
  2. Setze die jeweiligen Kräfte konkret ein:\[ 2 \, q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\uparrow} ~+~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} \]
  3. Klammere \( 6\pi \, \eta \, r \) aus und schreibe elektrisches Feld \( E \) als Spannung pro Abstand \( \frac{U}{d} \):\[ 2 \, q \, \frac{U}{d} ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
  4. Stelle nach dem Radius \( r \) des Öltröpfchens um und Du hast die gesuchte Formel.
Formel: Radius vom Öltröpfchen
mittels Gleichfeldmethode hergeleitet
\[ r ~=~ \frac{q \, U}{3\pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)} \]
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \( v_{\uparrow} \): Steiggeschwindigkeit
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(q \): Ladung des Öltröpfchens

Ladung aus der Steig- oder Fallgleichung herleiten

  1. Nimm beispielsweise die Gleichung fürs Fallen des Öltröpfchens im E-Feld und setze die bekannten Zusammenhänge ein:\[ \rho_{\text O} \, V \, g ~+~ q \, E ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~+~ \rho_{L} \, V \, g \]
  2. Bringe alle Summanden, die \( Vg \) enthalten, auf die linke und alles andere auf die rechte Seite:\[ \rho_{\text O} \, V \, g ~-~ \rho_{L} \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
  3. Klammere dann \( Vg \) aus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \, V \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, E \]
  4. Du nimmst an, dass das Öltröpfchen eine Kugelform hat, weshalb Du das Volumen als Kugelvolumen \( \frac{4}{3}\pi \, r^3 \) schreibst. Schreibe außerdem \( E \) in \( \frac{U}{d} \) um:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, r^3 \,g ~=~ 6\pi \, \eta \, r \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \]
  5. Teile die ganze Gleichung durch \( r^3 \):\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \, g ~=~ 6\pi \, \eta \, \frac{1}{r^2} \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \, \frac{1}{r^3} \]
  6. Klammere dann \( \frac{1}{r^2} \) aus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{1}{r^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d}\frac{1}{r} \right) \]
  7. Setze nun die Formel für den Radius \( r \) ein, den Du mittels Gleichfeldmethode hergeleitet hast. Bedenke beim Einsetzen (z.B. in \( \frac{1}{r^2} \)), dass der Zähler und Nenner vom Radius-Bruch vertauscht werden. ERSCHRECKE DICH NICHT:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 6\pi \, \eta \, v_{\downarrow} ~-~ q \, \frac{U}{d} \frac{3 \pi \, d \, \eta \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{q \, U} \right) \]
  8. Kürze in der Klammer das \( \frac{qU}{d} \). Ziehe dann \( 3\pi \, \eta \) aus der Klammer heraus:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \right) \]
  9. Jetzt kannst Du easy \( 2 \, v_{\downarrow} ~-~ \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \) zusammenrechnen:\[ \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right) \frac{4}{3}\pi \,g ~=~ \frac{3^2 * 3 \pi^3 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{q^2 \, U^2}\left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right) \]
  10. Dein Ziel ist es ja, die Gleichung nach \( q \) aufzulösen. Also bringe erstmal alles andere auf die rechte Seite, indem Du die ganze Gleichung mit \( \frac{3}{4\pi \, g \, \left( \rho_{\text O}~-~ \rho_{L} \right) } \) multiplizierst:\[ 1 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, q^2 \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  11. Jetzt kannst Du \( q^2 \) auf die linke Seite bringen:\[ q^2 ~=~ \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \eta^3 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, g \, U^2}\frac{ \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{\left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} \]
  12. Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten und ordne den Bruch so um, dass alle Terme mit Quadraten (inkl. \( 4 \)) im linken Bruch stehen und der Rest im rechten. Positioniere dazu einfach \( \frac{\eta^3}{g} \) in den rechten Bruch:\[ q ~=~ \sqrt { \frac{3^2 * 3^2 \pi^2 \, d^2 \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right)^2 }{4 \, U^2}\frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]
  13. Die Wurzel kannst Du auf die beiden Brüche aufteilen; mach das und ziehe dann die geile Wurzel aus dem linken Bruch und rechne dann \( 3*3=9 \) zusammen:\[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \]Bisschen umstukturieren, wenn Du magst und FERTIG ist die Ladung des Öltröpfchens - hergeleitet mit Gleichfeldmethode!
Formel: Ladung vom Öltröpfchen
mittels Gleichfeldmethode:
\[ q ~=~ \frac{9 \pi \, d }{ 2U } \sqrt { \frac{ \eta^3 \left( \, v_{\downarrow} ~-~ v_{\uparrow} \right)}{ g \left( \rho_{\text O} ~-~ \rho_{L} \right)} } \, \left( v_{\uparrow} ~+~ v_{\downarrow} \right) \]
Mehr zur Formel...
  • \(d\): Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U\): Spannung am Plattenkondenator
  • \(\eta\): *Eta* Viskosität des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)
  • \(g\): Fallbeschleunigung 9.8 m/s2
  • \( v_{\uparrow} \): Steiggeschwindigkeit
  • \( v_{\downarrow} \): Fallgeschwindigkeit
  • \( \rho_{\text O} \): Dichte des Öls
  • \( \rho_{\text L} \): Dichte des Mediums im Plattenkondensator (hier Luft)

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