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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Herleitung: Euler-Lagrange-Gleichung in 14 Schritten

Im Folgenden wird die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet. Zuerst wird angenommen, dass eine Funktion \( F(y,y',x) \) (z.B. die Lagrange-Funktion) und die Randwerte \( y(x_1) ~=~ y_1 \) und \( y(x_2) ~=~ y_2 \) bekannt sind.

Gesucht ist eine Funktion \(y\), die das Funktional \(J[y]\) minimal macht.

Dann ist eine Funktion \( y(x) \) gesucht, die das folgende Funktional \( J[y] \) stationär macht (d.h. \( J[y] \) ist für \( y(x) \) entweder minimal, maximal oder ein Sattelpunkt):1\[ J[y] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, F(y,y',x) \]

WENN die Funktion \( y \) das Funktional \( J[y] \) stationär macht, dann MUSS ein Funktional \( J[y ~+~ \delta y] \), mit der Abweichung \( \delta y \) (\( \delta \) ist positiv) größer als \( J[y] \) sein.

Die Abweichung \( \delta y \) (genannt: Variation von \(y\)) definierst Du als2\[ \delta y ~:=~ \epsilon \eta \]wobei \( \epsilon \) infinitesimal klein ist und \( \eta \) eine belibige Funktion ist, die folgende Rangbedingungen erfüllt:3\[ \eta(x_1) ~=~ \eta(x_2) ~=~ 0 \]

\( \eta \) stimmt also an den Randpunkten \(x_1\) und \(x_2\) mit \( y \) überein, damit \( y ~+~ \delta y \) durch die Randpunkte geht.

\( \eta \) muss außerdem zwischen \(x_1\) und \(x_2\) in jedem Punkt definiert und differenzierbar sein, damit Du - weiter in der Herleitung - nach \( \epsilon \) ohne Probleme ableiten darfst.

Du wählst also eine feste, aber beliebige Funktion \( \eta \) zur gesuchten Funktion \( y \), die \( J[y] \) stationär macht.

Das Funktional \( J[y ~+~ \epsilon \eta] \) ist dann wie eine "übliche" Funktion in Abhängigkeit von \( \epsilon \):4\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~:=~ J(\epsilon) \]

Also muss \( J(\epsilon) \) bei \( \epsilon ~=~ 0 \) - für beliebige Funktion \( \eta \) - stationär sein, weshalb die Ableitung nach \( \epsilon \) Null sein muss:5\[ \frac{\partial J(\epsilon)}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Nun hast Du eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum gefunden. Diese Bedingung muss also in jedem Fall erfüllt sein, damit das Funktional \( J[y] \) für \( y \) stationär wird!

Schreibe nun das Funktional \( J(\epsilon) \) aus:6\[ J(\epsilon) ~=~ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, F(y ~+~ \epsilon \eta,y' ~+~ \epsilon \eta',x) \]

Ersetze den Integranden \(F(y ~+~ \epsilon \eta,y' ~+~ \epsilon \eta',x)\) druch die Taylor-Reihe an der Stelle \( \epsilon ~=~ 0 \):7\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \underset{n\,=\,0}{\overset{\infty}{\boxed{+}}} ~ \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{n} F}{\text{d} \epsilon^{n}}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} \, (\epsilon ~-~ 0)^n \]

Schreibe die Taylor-Reihe in 7 bis zur 1. Ordnung (\( n ~=~ 1 \)) aus:8\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \epsilon \, \frac{\text{d} F}{\text{d} \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~+~ \mathcal{O}(\epsilon^2) \right) \]

Die Terme höherer Ordnungen \(\mathcal{O}(\epsilon^2)\) vernachlässigen wir ab jetzt, d.h. wir lassen \(\mathcal{O}(\epsilon^2)\) weg. Außerdem haben wir \( F(y,y',x) \) kurz als \(F\) geschrieben.

Bilde nun die Totalableitung von \(F(y + \epsilon \eta,~y' + \epsilon \, \eta',~ x)\) an der Stelle \( \epsilon ~=~ 0 \). Berechne dazu \( \frac{\text{d} F}{\text{d} \epsilon} \) und setze \( \epsilon ~=~ 0 \) ein. Dann wird das Integral 8 zu:9\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \epsilon\,\frac{\partial F}{\partial y}\, \frac{\text{d} (y~+~\epsilon \eta)}{\text{d} \epsilon} ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \frac{\text{d} (y'~+~\epsilon \eta')}{\text{d} \epsilon} ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial x} \, \frac{\text{d} x}{\text{d} \epsilon} \right) \]

Dabei sind die Ableitungen \(\frac{\text{d} (y~+~\epsilon \eta)}{\text{d} \epsilon} = \eta\) und \(\frac{\text{d} (y'~+~\epsilon \eta')}{\text{d} \epsilon} = \eta'\) sowie \(\frac{\text{d} x}{\text{d} \epsilon} = 0 \). Damit wird 9 zu:10\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial y} \, \eta ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta' \right) \]

Nun benutzt Du die notwendige Bedingung 5 für die Stationarität. Das heißt die Ableitung der Gleichung 10 nach \(\epsilon\) muss Null sein:11\begin{align} \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} &~=~ \frac{\partial}{\partial \epsilon} \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial y} \, \eta ~+~ \epsilon \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta' \right) \\\\ &~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( \frac{\partial F}{\partial \epsilon} ~+~ \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} \, \frac{\partial F}{\partial y} \, \eta ~+~ \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta' \right) \\\\ &~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( \frac{\partial F}{\partial y}\eta ~+~ \frac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right) \\\\ &~\stackrel{!}{=}~ 0 \end{align}

Hierbei wurde im zweiten Schritt die Ableitung \(\frac{\partial}{\partial \epsilon}\) in das Integral reingezogen. Die Ableitung der 0. Ordnung \(\frac{\partial F}{\partial \epsilon}\) fällt weg, da \(F\) unabhängig von \(\epsilon\) ist. Wir haben ja vorher in der Taylor-Entwicklung das Funktional \(F\) an der Stelle \( \epsilon = 0 \) betrachtet. Und \( \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} \) ergibt 1. Denk dran, dass andere Terme reine Konstanten sind, da sie aus dem selben Grund wie der Term 0. Ordnung, nicht von \(\epsilon\) abhängen.

Die Ableitung des Funktionals 11 wird genau dann Null, wenn der Integrand auf der rechten Seite verschwindet. Blöderweise hängt dieser noch von \(\eta\) und \(\eta'\) ab. Diese können wir durch partielle Integration eliminieren. Dazu wenden wir partielle Integration auf den zweiten Summanden in 11 an:12\begin{align} \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} &~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\partial F}{\partial y} \, \eta ~+~ \left[ \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta \right]_{x_1}^{x_2} ~-~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta \\\\ &~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\partial F}{\partial y} \, \eta ~-~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\text{d}}{\text{d}x} \, \frac{\partial F}{\partial y'} \, \eta \\\\ &~\stackrel{!}{=}~ 0 \end{align}

Auf diese Weise haben wir die Ableitung von \(\eta\) auf \(\frac{\partial F}{\partial y'}\) übertragen. Der Preis, den wir für diese Übertragung bezahlen müssen, ist ein zusätzlicher Term im Integranden (der in der Mitte). Das Gute ist jedoch, dass wegen der Voraussetzung \( \eta(x_1) ~=~ \eta(x_2) ~=~ 0 \), der mittlere Term wegfällt.

Klammere das Integral und \( \eta \) aus:13\[ \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \left(\frac{\partial F}{\partial y}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'} \right)\eta ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Da \( \eta \) beliebig sein darf (also auch ungleich Null), muss der Ausdruck in der Klammer verschwinden. Als Ergebnis bekommen wir:

Euler-Lagrange-Gleichung14\[ \frac{\partial F}{\partial y}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'} ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Wenn die Euler-Lagrange-Gleichung 14 für die Funktion \( y \) erfüllt ist, dann wird das Funktional \( J[y] \) in 1 stationär.

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