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Herleitung Euler-Lagrange-Gleichung in 13 Schritten

Minimierung eines Wirkungsfunktional zwischen zwei Punkten
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Euler-Lagrange-Gleichung

Im Folgenden wollen wir die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleiten, mit der wir ein System von Differentialgleichungen für die gesuchte Funktion \(q\) aufstellen können. Für die Herleitung nehmen wir an, dass die Lagrange-Funktion \( L(t, q(t), \dot{q}(t)) \) und die Randwerte \( q(t_1) ~=~ q_1 \) und \( q(t_2) ~=~ q_2 \) der gesuchten Funktion \(q\) bekannt sind. Die Lagrange-Funktion kann von der Zeit \(t\), von dem Funktionswert \(q(t)\) und von der Zeitableitung \(\dot{q}(t)\) der Funktion \(q\) an der Stelle \(t\) abhängen.

Minimierung eines Wirkungsfunktional zwischen zwei Punkten
Illustration : Die Funktion \(q(t)\) macht das Funktional \(S[q]\) zwischen zwei festen Punkten extremal (z.B. minimal).

Die Funktion \( q \) macht das folgende Wirkungsfunktional \( S[q] \) stationär. Das heißt, wenn wir \( q(t) \) benutzen, um die Wirkung \( S[q] \) zu berechnen, wird \( S[q] \) uns einen Wert der Wirkung liefern, der entweder minimal, maximal oder ein Sattelpunkt ist:

Wirkungsfunktional als Integral der Lagrange-Funktion
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Jetzt wollen eine infinitesimal kleine Variation \( \delta q \) von \(q\) betrachten. Dazu definieren wir die Variation als \( \delta q := \epsilon \, \eta \). Hierbei ist \(\epsilon\) eine sehr kleine reelle Zahl und \(\eta(t)\) eine beliebige Funktion. Sie muss zwischen \(t_1\) und \(t_2\) in jedem Punkt definiert und differenzierbar sein, damit Du - weiter in der Herleitung - nach \( \epsilon \) ohne Probleme ableiten darfst.

Kleine Variation des Wegs zwischen zwei Punkten
Illustration : Eine kleine Variation ("Störung") \(\epsilon \, \eta(t)\) des Wegs \(q(t)\) zwischen zwei festen Punkten.

Die Funktion \(\eta(t)\) muss an den Randpunkten \(t_1\) und \(t_2\) verschwinden, weil die Randpunkte fixiert sind:

Variationsfunktion an den Randpunkten verschwindet
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Anders gesagt: \( \eta(t) \) muss an den Randpunkten \(t_1\) und \(t_2\) mit \( q(t) \) übereinstimmen, damit auch die Funktion \( q(t) ~+~ \epsilon \eta(t) \) durch die Randpunkte geht.

Die Variation des Wirkungsfunktionals 1 sieht folgendermaßen aus:

Variation des Funktionals
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Hierbei haben wir in 1 einfach die Funktion \(q\) mit \(q~+~ \epsilon \, \eta \) und ihre Ableitung \(\dot{q}\) mit \(\dot{q}~+~ \epsilon \, \dot{\eta} \) ersetzt.

Eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum (Minimum, Maximum oder Sattelpunkt des Wirkungsfunktionals), ist das Verschwinden der ersten Ableitung von \( S[q ~+~ \epsilon\,\eta] \) nach \( \epsilon\). (Diese Bedingung muss in jedem Fall erfüllt sein, damit das Funktional \( S[q] \) für \( q \) stationär wird):

Erste Ableitung des Funktionals verschwindet
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Der Grund, warum wir den infinitesimal kleinen Parameter \(\epsilon\) eingeführt haben, ist, dass wir um diesen Punkt eine Taylor-Entwicklung machen können und alle Terme höherer Ordnung als zwei vernachlässigen können. (Wir müssen die Terme höherer Ordnung nicht vernachlässigen. Damit wird jedoch die Euler-Lagrange-Gleichung eine viel kompliziertere Form haben und gleichzeitig keinen größeren Nutzen haben.)

Entwickeln wir also die Lagrange-Funktion \( L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} ) \) um die Stelle \(\epsilon = 0\) bis zur 1. Ordnung im Funktional 3:

Wirkungsfunktion mit Taylor-Entwicklung der Lagrange-Funktion
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Hierbei haben wir \( L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} )_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} \) für die kompakte Notation mit \(L\) abgekürzt. Die vernachlässigten Terme höherer Ordnung werden durch das Symbol \(\mathcal{O}(\epsilon^2)\) repräsentiert.

Als nächstes müssen wir in Gl. 5 die totale Ableitung \( \frac{\text{d} L}{\text{d} \epsilon} \) berechnen. Dazu müssen wir jedes Argument in \( L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} ) \) ableiten:

Totale Ableitung der Lagrange-Funktion nach Epsilon
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Dabei sind die Ableitungen \(\frac{\text{d} (q~+~\epsilon \eta)}{\text{d} \epsilon} = \eta\) und \(\frac{\text{d} (\dot{q}~+~\epsilon \dot{\eta})}{\text{d} \epsilon} = \dot{\eta}\) sowie \(\frac{\text{d} t}{\text{d} \epsilon} = 0 \). Damit wird 6 zu:

Totale Ableitung der Lagrange-Funktion nach Epsilon vereinfacht
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Setze die ausgerechnete totale Ableitung wieder in das Funktional 5 ein:

Funktional mit ausgerechneter Totalableitung
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Nun benutzt Du die notwendige Bedingung 4 für die Stationarität. Dazu leiten wir das Funktional 8 nach \(\epsilon\) ab und setzen sie gleich Null:

Funktional ableiten und Null setzen
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Hierbei wurde im zweiten Schritt die Ableitung \(\frac{\partial}{\partial \epsilon}\) in das Integral hineingezogen. Die Ableitung \(\frac{\partial L}{\partial \epsilon}\) fällt weg, da \(L = L(t, q ~+~ \epsilon \,\eta, ~ \dot{q} ~+~ \epsilon \, \dot{\eta} )_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} \) unabhängig von \(\epsilon\) ist (es wurde ja Null gesetzt). Außerdem ist \( \frac{\partial \epsilon}{\partial \epsilon} = 1 \). Denk dran, dass die übrig gebliebene Terme aus dem selben Grund wie \(L\) nicht von \(\epsilon\) abhängen.

Die Ableitung des Funktionals 9 wird genau dann Null, wenn der Integrand verschwindet. Blöderweise hängt dieser noch von \(\eta\) und \(\eta'\) ab. Diese können wir durch partielle Integration eliminieren. Dazu wenden wir partielle Integration auf den zweiten Summanden in 9 an:

Partielle Integration des Integranden im Funktional
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Auf diese Weise haben wir die Ableitung von \(\eta\) auf \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\) übertragen. Der Preis, den wir für diese Übertragung bezahlen müssen, ist ein zusätzlicher Term im Integranden (in der Mitte). Das Gute ist jedoch, dass wegen der Voraussetzung \( \eta(t_1) ~=~ \eta(t_2) ~=~ 0 \), dieser Term wegfällt:

Partielle Integration des Integranden im Funktional vereinfacht
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Klammere das Integral und \( \eta \) aus:

Integral der Euler-Lagrange-Gleichung
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Da \( \eta \) beliebig sein darf (also auch ungleich Null), muss der Ausdruck in der Klammer verschwinden, damit das Integral für alle \(\eta\) Null ist. Als Ergebnis bekommen wir:

Euler-Lagrange-Gleichung
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Wenn die Euler-Lagrange-Gleichung 11 für die Funktion \( q \) erfüllt ist, dann wird das Funktional \( S[q] \) in 1 stationär.