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Herleitung Euler-Lagrange-Gleichung: in 14 Schritten

Im Folgenden wird die Euler-Lagrange-Gleichung hergeleitet. Zuerst wird angenommen, dass eine Funktion \( F(y,y',x) \) (z.B. die Lagrange-Funktion) und die Randwerte \( y(x_1) ~=~ y_1 \) und \( y(x_2) ~=~ y_2 \) bekannt sind.

Dann ist eine Funktion \( y(x) \) gesucht, die das folgende Funktional \( J[y] \) stationär macht (d.h. \( J[y] \) ist für \( y(x) \) entweder minimal, maximal oder ein Sattelpunkt):1\[ J[y] ~=~ \int_{x_1}^{x_1} \text{d}x \, F(y,y',x) \]

WENN die Funktion \( y \) das Funktional \( J[y] \) stationär macht, dann MUSS ein Funktional \( J[y ~+~ \delta y] \), mit der Abweichung \( \delta y \) (\( \delta \) ist positiv) größer als \( J[y] \) sein.

Die Abweichung \( \delta y \) (genannt: Variation von \(y\)) definierst Du als2\[ \delta y ~:=~ \epsilon \eta \]wobei \( \epsilon \) infinitesimal klein ist und \( \eta \) eine belibige Funktion ist, die folgende Rangbedingungen erfüllt:3\[ \eta(x_1) ~=~ \eta(x_2) ~=~ 0 \]

\( \eta \) stimmt also an den Randpunkten \(x_1\) und \(x_2\) mit \( y \) überein, damit \( y ~+~ \delta y \) durch die Randpunkte geht.

\( \eta \) muss außerdem zwischen \(x_1\) und \(x_2\) in jedem Punkt definiert und differenzierbar sein, damit Du - weiter in der Herleitung - nach \( \epsilon \) ohne Probleme ableiten darfst.

Du wählst also eine feste, aber beliebige Funktion \( \eta \) zur gesuchten Funktion \( y \), die \( J[y] \) stationär macht.

Das Funktional \( J[y ~+~ \epsilon \eta] \) ist dann wie eine "übliche" Funktion in Abhängigkeit von \( \epsilon \):4\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~:=~ J(\epsilon) \]

Also muss \( J(\epsilon) \) bei \( \epsilon ~=~ 0 \) - für beliebige Funktion \( \eta \) - stationär sein, weshalb die Ableitung nach \( \epsilon \) Null sein muss:5\[ \frac{\partial J(\epsilon)}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Nun hast Du eine notwendige Bedingung für ein lokales Extremum gefunden. Diese Bedingung muss also in jedem Fall erfüllt sein, damit das Funktional \( J[y] \) für \( y \) stationär wird!

Schreibe nun das Funktional \( J(\epsilon) \) aus:6\[ J(\epsilon) ~=~ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, F(y ~+~ \epsilon \eta,y' ~+~ \epsilon \eta',x) \]

Mithilfe der Taylor-Entwicklung an der Stelle \( \epsilon ~=~ 0 \) wird das Funktional zu:7\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\frac{\text{d}^{n} F}{\text{d} \epsilon^{n}}(0) \, (\epsilon ~-~ 0)^n \]

Schreibe die Summe in 7 bis zur 1. Ordnung (\( n ~=~ 1 \)) aus:8\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F(0)_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~+~ \frac{\text{d} F}{\text{d} \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~+~ \mathcal{O}(\epsilon^2) \right) \]

Schreibst Du die Totalableitung \( \frac{\text{d} F}{\text{d} \epsilon} \) aus und setzt dann die Stelle \( \epsilon ~=~ 0 \) ein, dann bekommst Du (wobei \( F(y,y',x) \) einfach als \( F \) geschrieben wurde) :9\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \frac{\partial F}{\partial y}\epsilon\frac{\partial (y~+~\epsilon \eta)}{\partial \epsilon} ~+~ \frac{\partial F}{\partial y'}\epsilon\frac{\partial (y'~+~\epsilon \eta')}{\partial \epsilon} ~+~ \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \epsilon}\epsilon ~+~ \mathcal{O}(\epsilon^2) \right) \]

Ausrechnen der partiellen Ableitungen in der Summe ergibt:10\[ J[y ~+~ \epsilon \eta] ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( F ~+~ \frac{\partial F}{\partial y}\eta \, \epsilon ~+~ \frac{\partial F}{\partial y'}\eta' \, \epsilon ~+~ \mathcal{O}(\epsilon^2) \right) \]

Nun benutzt Du die notwendige Bedingung 5 für die Stationarität:11\[ \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \left( \frac{\partial F}{\partial y}\eta ~+~ \frac{\partial F}{\partial y'}\eta' \right) ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Noch kannst Du noch nicht wirklich erkennen, wann die Ableitung des Funktionals Null wird. Um dies besser zu sehen, wende partielle Integration auf den zweiten Summanden in 11 an:12\[ \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\partial F}{\partial y}\eta ~+~ \left[ \frac{\partial F}{\partial y'} \eta \right]_{x_1}^{x_2} ~-~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \, \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'}\eta ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Wegen der Voraussetzung \( \eta(x_1) ~=~ \eta(x_2) ~=~ 0 \) fällt der mittlere Summand weg. Klammere das Integral und \( \eta \) aus:13\[ \frac{\partial J[y ~+~ \epsilon \, \eta]}{\partial \epsilon}_{~\big|_{~\epsilon ~=~ 0}} ~=~ \int_{x_1}^{x_2} \text{d}x \left(\frac{\partial F}{\partial y}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'} \right)\eta ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Da \( \eta \) beliebig sein darf (also auch ungleich Null), muss der Ausdruck in der Klammer verschwinden:

Euler-Lagrange-Gleichung14\[ \frac{\partial F}{\partial y}~-~ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\frac{\partial F}{\partial y'} ~\stackrel{!}{=}~ 0 \]

Wenn die Euler-Lagrange-Gleichung 14 für die Funktion \( y \) erfüllt ist, dann wird das Funktional \( J[y] \) in 1 stationär.

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