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Herleitung Zeitdilatation: mittels einer Lichtuhr

Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Die Zeitdilatation (Zeitdehnung) aus der speziellen Relativitätstheorie beschreibt die Zeit in verschiedenen Bezugssystemen und bringt hervor, dass die Zeit in verschiedenen Bezugssystemen unterschiedlich schnell verläuft. Die Zeitdilatation lässt sich einfach mithilfe einer Lichtuhr herleiten. Eine Lichtuhr besteht grundsätzlich aus zwei Spiegeln in einem festen Abstand \( L \) zueinander. Zwischen den beiden Spiegeln wird ein Photon (Lichtteilchen) hin und her reflektiert. Dieses Photon bewegt sich stets mit konstanter Lichtgeschwindigkeit \( c \).

Um die Zeitdilatation zu erfassen, musst du die Lichtuhr aus zwei unterschiedlichen Inertialsystemen (unbeschleunigte Bezugssysteme) betrachten. Das eine Inertialsystem stellt den Beobachter \(\text{B}\) dar, der relativ zur Lichtuhr unbewegt ist. \(\text{B}\) ist also der Ruhebeobachter. Das andere Inertialsystem ist der Beobachter \(\text{B}'\), der sich relativ zur Lichtuhr mit der Geschwindigkeit \(-v\) nach links bewegt (in die negative x-Richtung). Aus Sicht von \(\text{B}'\) bewegt sich die Uhr mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts (in die positive x-Richtung). Beschreiben wir nun die Bewegung des Photons, indem wir uns zuerst in den Beobachter \(\text{B}\) und dann in den Beobachter \(\text{B}'\) hineinversetzen.

Aus der Sicht von \(\text{B}\) siehst du die Lichtuhr in Ruhe. Dort pendelt das Photon senkrecht nach oben und dann nach unten (sagen wir mal: entlang der y-Achse). Von einem zum anderen Spiegel braucht das Photon aus Sicht des Ruhebeobachters \(\text{B}\) folgende Zeitspanne:1\[ \Delta t ~=~ \frac{L}{c} \]Für eine Periode (also einmal hin und zurück) braucht es dann dementsprechend die doppelte Zeit: \( T ~=~ 2\Delta t \).

Je nach dem, ob sich die Lichtuhr bewegt oder nicht, legt das Photon die Strecke \(L\) bzw. eine größere Strecke \(L'\) innerhalb unterschiedlicher Zeit zurück.

Nun wechselst Du in ein bewegtes Inertialsystem \(\text{B}'\), in dem du dich mit der Geschwindigkeit \(-v\) nach links bewegst. Jetzt beobachtest du etwas ganz anderes! Während das Photon von einem Spiegel zum anderen fliegt, bewegt sich die Lichtuhr in die positive x-Richtung (nach rechts) mit der Geschwindigkeit \( v \).

Aus der Sicht von \(\text{B}'\), fliegt das Photon nicht geradeaus nach oben (wie bei ruhender Lichtuhr), sondern macht eine Zick-Zack-Bewegung (siehe Illustration 1). Die Strecke \( L' \), die das Photon von einem Spiegel zum anderen zurücklegt, ist aus dieser Sicht, LÄNGER.

Die Geschwindigkeit des Photons ist auch aus der Sicht von \(\text{B}'\) gleich \(c\) (Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit). Das Photon im Bezugssystem \(\text{B}'\) legt eine längere Strecke \(L'\) mit der Lichtgeschwindigkeit zurück:2\[ L' ~=~ c \, \Delta t' \]

Da \( L' \) offensichtlich länger ist als \( L \), muss \( \Delta t' \) größer sein als \( \Delta t \), denn \(c\) ist ja in beiden Bezugssystemen konstant:3\[ c \, \Delta t' ~\gt~ c \, \Delta t \]

Das Photon kommt aus der Sicht von \(\text{B}'\) nach der Zeit \( \Delta t' \) beim gegenüberliegenden Spiegel an, während es aus der Sicht von \(\text{B}\) nach der kürzeren Zeitspanne \( \Delta t \) ankommt.

In verschiedenen Bezugssystemen durchfliegt das pendelnde Photon eine andere Strecke \(L'\) bzw. \(L\). Diese bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Frage ist jetzt: Um wieviel Zeit genau, unterscheiden sich \(\Delta t \) und \(\Delta t'\)? Fasst du die Beobachtung, bei der die Lichtuhr ruht (\( c\, \Delta t \)) und die Beobachtung, bei der die Lichtuhr sich bewegt \( c \, \Delta t' \) und \( v \, \Delta t' \) zusammen, dann bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck, das du mit dem Satz von Pythagoras verarzten kannst:4\[ (c \, \Delta t')^2 ~=~ (c \, \Delta t)^2 ~+~ (v \, \Delta t')^2 \]

Die Beziehung 4 kann dann beispielsweise nach \( \Delta t' \) umgestellt werden, also nach der Zeit, die das Photon braucht, um im Bezugssystem \(B'\) den anderen Spiegel zu erreichen. Teile dazu die Gleichung durch \(c^2\):5\[ \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 ~+~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 \]

Bringe den zweiten Summanden auf die linke Seite:6\[ \Delta t'^2 ~-~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 \]

Klammere \( \Delta t'^2 \) aus:7\[ \Delta t'^2 \, \left( 1 ~-~ \frac{v^2}{c^2} \right) ~=~ \Delta t^2 \]

Und im letzten Schritt, ziehe die Wurzel:

Der Gamma-Faktor wird erst bei hohen Relativgeschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) sehr groß und damit wird die Zeitverlangsamung umso größer.

Formel: Zeitdilatation8\[ \Delta t' ~=~ \frac{\Delta t}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \]
Die Zeiten in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen sind durch den sogenannten Gamma-Faktor \( \gamma \) miteinander verknüpft:9\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \]Dieser ist stets größer als 1.

Der Gamma-Faktor wird umso größer, je schneller sich die Lichtuhr relativ zum Beobachter bewegt (also mit steigendem \( v \)). Ein größerer Gamma-Faktor bedeutet eine noch mehr gedehnte Zeitspanne \( \Delta t' \).

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