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Herleitung Zeitdilatation: mittels einer Lichtuhr

Die Zeitdilatation lässt sich einfach mithilfe einer Lichtuhr herleiten. Sie besteht grundsätzlich aus zwei Spiegeln in einem festen Abstand \( L \) zueinander. Zwischen den beiden Spiegeln wird ein Photon (Lichtteilchen) hin und her reflektiert. Dieses Photon bewegt sich mit konstanter Lichtgeschwindigkeit \( c \).

Um die Zeitdehnung zu erfassen, musst Du die Lichtuhr aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln betrachten. Sprich: zwei unterschiedliche Inertialsysteme \(\text{B}\) und \(\text{B}'\) benutzen.

Je nach dem, ob sich die Lichtuhr bewegt oder nicht, legt das Photon die Strecke \(L\) bzw. eine größere Strecke \(L'\) innerhalb unterschiedlicher Zeit zurück.

Aus der Sicht \(\text{B}\) siehst Du die Lichtuhr in Ruhe (Du bist jetzt der Ruhebeobachter). Dort pendelt das Photon senkrecht nach oben und nach unten - entlang der y-Achse. Von einem zum anderen Spiegel braucht es aus Sicht des Ruhebeobachters folgende Zeitspanne:1\[ \Delta t ~=~ \frac{L}{c} \]Für eine Periode (also einmal hin und zurück) braucht es dann dementsprechend die doppelte Zeit: \( T ~=~ 2\Delta t \).

Nun wechselst Du in ein bewegtes Inertialsystem \(\text{B}'\), in dem Du beispielsweise dich mit der Geschwindigkeit \(-v\) in die negative x-Richtung (nach links) bewegst. Jetzt beobachtest Du etwas ganz anderes! Während das Photon von einem Spiegel zum anderen fliegt, bewegt sich die Lichtuhr in die positive x-Richtung (nach rechts) mit Geschwindigkeit \( v \).

Aus der Sicht von \(\text{B}'\), fliegt das Photon nicht geradeaus nach oben (wie bei ruhender Lichtuhr), sondern macht eine Zick-Zack-Bewegung. Die Strecke \( L' \), die das Photon von einem Spiegel zum anderen zurücklegt, ist aus dieser Sicht, LÄNGER.

Nach dem Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit muss das Photon im Bezugssystem \(\text{B}'\) eine längere Strecke \(L'\) mit der Lichtgeschwindigkeit zurückgelegen:2\[ L' ~=~ c \, \Delta t' \]

Da \( L' \) offensichtlich länger ist als \( L \), muss \( \Delta t' \) größer sein als \( \Delta t \), denn \(c\) ist ja in beiden Bezugssystemen gleich:3\[ c \, \Delta t' ~\gt~ c \, \Delta t \]

Das Photon kommt aus der Sicht von \(\text{B}'\) nach der Zeit \( \Delta t' \) beim gegenüberliegenden Spiegel an, während es aus der Sicht von \(\text{B}\) nach der kürzeren Zeitspanne \( \Delta t \) ankommt.Für einen Beobachter, aus dessen Sicht die Lichtuhr sich bewegt, vergeht die Zeit im System 'Lichtuhr' langsamer. In bewegten Bezugssystemen läuft ein physikalischer Vorgang langsamer ab als in seinem Ruhesystem.

Bei ruhender und mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) bewegter Uhr durchfliegt das pendelnde Photon eine andere Strecke. Bei bewegter Lichtuhr ist die Strecke \(L'\) länger als bei ruhender Strecke \(L\).

Die Frage ist jetzt: um wieviel genau unterscheiden sich \(\Delta t \) und \(\Delta t'\)? Fasst Du die Beobachtung, bei der die Lichtuhr ruht (\( c\, \Delta t \)) und die Beobachtung, bei der die Lichtuhr sich bewegt (\( c \, \Delta t' \), \( v \, \Delta t' \)) zusammen, dann bekommst Du ein rechtwinkliges Dreieck, welches Du mit dem Satz von Pythagoras verarzten kannst:4\[ (c \, \Delta t')^2 ~=~ (c \, \Delta t)^2 ~+~ (v \, \Delta t')^2 \]

Die Beziehung 4 kann dann beispielsweise nach \( \Delta t' \) umgestellt werden, also nach der Zeit, die das Photon braucht, um im Bezugssystem \(B'\) den anderen Spiegel zu erreichen:5\[ \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 ~+~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 ~~~ \Leftrightarrow\]6\[ \Delta t'^2 ~-~ \frac{v^2}{c^2} \, \Delta t'^2 ~=~ \Delta t^2 ~~~ \Leftrightarrow\]7\[ \Delta t'^2 (1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}) ~=~ \Delta t^2 ~~~ \Leftrightarrow \]

Der Gamma-Faktor wird erst bei hohen Relativgeschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) sehr groß und damit wird die Zeitverlangsamung umso größer.

Formel: Zeitdilatation\[ \Delta t' ~=~ \frac{1}{ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} } \, \Delta t \]
Die Zeiten in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen sind durch den sogenannten Gamma-Faktor \( \gamma \) miteinander verknüpft:8\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}}} \]Dieser ist stets größer als 1.

Der Gamma-Faktor wird umso größer, je schneller sich die Lichtuhr relativ zum Beobachter bewegt (also mit steigendem \( v \)). Ein größerer Gamma-Faktor bedeutet eine noch mehr gedehnte Zeitspanne \( \Delta t' \).

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