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Herleitung Zeitdilatation: mittels einer Lichtuhr

Bewegte und unbewegte Lichtuhr: unterschiedliche Lichtwege
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Die Zeitdilatation (Zeitdehnung) aus der speziellen Relativitätstheorie beschreibt, wie Zeit in verschiedenen Bezugssystemen tickt. Die Zeitdilatation lässt sich einfach mithilfe einer Lichtuhr herleiten. Eine Lichtuhr besteht grundsätzlich aus zwei Spiegeln in einem festen Abstand \( L \) zueinander. Zwischen den beiden Spiegeln wird ein Photon (Lichtteilchen) hin und her reflektiert. Dieses Photon bewegt sich stets mit konstanter Lichtgeschwindigkeit \( c \).

Um die Zeitdilatation zu erfassen, musst du die Lichtuhr aus zwei unterschiedlichen Inertialsystemen (unbeschleunigte Bezugssysteme) betrachten. Das eine Inertialsystem stellt den Ruhebeobachter \(\text{B}\) dar, der relativ zur Lichtuhr unbewegt ist. Das andere Inertialsystem ist der bewegte Beobachter \(\text{B}'\), der sich relativ zur Lichtuhr mit der Geschwindigkeit \(-v\) nach links bewegt (in die negative x-Richtung). Aus Sicht von \(\text{B}'\) bewegt sich die Uhr mit der Geschwindigkeit \(v\) nach rechts (in die positive x-Richtung). Beschreiben wir nun die Bewegung des Photons, indem wir uns zuerst in den Beobachter \(\text{B}\) und dann in den Beobachter \(\text{B}'\) hineinversetzen.

Aus der Sicht von \(\text{B}\) siehst du die Lichtuhr in Ruhe. Dort pendelt das Photon senkrecht nach oben und dann nach unten (sagen wir mal: entlang der y-Achse). Von einem zum anderen Spiegel braucht das Photon aus Sicht des Ruhebeobachters \(\text{B}\) folgende Zeitspanne:

Zurückgelegte im Bezugssystem A
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Für eine Periode \(T\) (also einmal hin und zurück) braucht es dann dementsprechend die doppelte Zeit: \( T ~=~ 2\Delta t \).

Nun wechselst Du in ein bewegtes Inertialsystem \(\text{B}'\), das sich mit der Geschwindigkeit \(-v\) nach links bewegt. Jetzt beobachtest du etwas ganz anderes! Während das Photon von einem Spiegel zum anderen fliegt, bewegt sich die Lichtuhr in die positive x-Richtung (nach rechts) mit der Geschwindigkeit \( v \).

Bewegte und unbewegte Lichtuhr: unterschiedliche Lichtwege
Je nach dem, ob sich die Lichtuhr bewegt oder nicht, legt das Photon die Strecke \(L\) bzw. eine größere Strecke \(L'\) innerhalb einer anderen Zeit zurück.

Aus der Sicht von \(\text{B}'\), fliegt das Photon nicht geradeaus nach oben (wie bei ruhender Lichtuhr), sondern macht eine Zick-Zack-Bewegung (siehe Illustration 1). Die Strecke \( L' \), die das Photon von einem Spiegel zum anderen zurücklegt, ist aus dieser Sicht, LÄNGER.

Die Geschwindigkeit des Photons ist auch aus der Sicht von \(\text{B}'\) gleich \(c\). Das ist eine der Postulate, auf denen die spezielle Relativitätstheorie beruht: Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich. Das Photon im Bezugssystem \(\text{B}'\) muss jedoch eine längere Strecke \(L'\) mit der Lichtgeschwindigkeit zurücklegen:

Zurückgelegte im Bezugssystem B
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Da \( L' \) größer ist als \( L \), muss \( \Delta t' \) größer sein als \( \Delta t \), denn \(c\) ist ja in beiden Bezugssystemen konstant:

Zeitdauer im Bezugssystem B ist größer als in A
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Das Photon kommt aus der Sicht von \(\text{B}'\) nach der Zeit \( \Delta t' \) beim gegenüberliegenden Spiegel an, während es aus der Sicht von \(\text{B}\) nach der kürzeren Zeitspanne \( \Delta t \) ankommt.

Lichtuhr: Lichtwege im rechtwinkligen Dreieck
Die zurückgelegten Strecken \(L'\), \(L\) und \(v\,\Delta t'\) bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Die Frage ist jetzt: Um wieviel Zeit genau unterscheiden sich \(\Delta t \) und \(\Delta t'\)? Fasst du die Beobachtung, bei der die Lichtuhr ruht (\( c\, \Delta t \)) und die Beobachtung, bei der die Lichtuhr sich bewegt \( c \, \Delta t' \) und \( v \, \Delta t' \) zusammen, dann bekommst du ein rechtwinkliges Dreieck, auf das du den Satz von Pythagoras \( c^2 = a^2 + b^2 \) anwenden kannst:

Satz des Pythagoras auf Strecken der Lichtuhr angewendet
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Die Gleichung 4 kann dann beispielsweise nach \( \Delta t' \) umgestellt werden, also nach der Zeit, die das Photon braucht, um im Bezugssystem \(B'\) den anderen Spiegel zu erreichen. Teile dazu die Gleichung durch \(c^2\):

Zeit im Bezugssystem B zum Quadrat
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Bringe den zweiten Summanden, der \(\Delta t'\) enthält, auf die linke Seite:

Zeit im Bezugssystem A zum Quadrat
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Jetzt kannst du \( \Delta t'^2 \) ausklammern:

Zeit im Bezugssystem A zum Quadrat ist gleich Zeit in B skaliert
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Bringe den Fakor vor dem \(\Delta t'^2\) auf die rechte Seite und ziehe die Wurzel auf beiden Seiten:

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Lorentzfaktor-Geschwindigkeit-Diagramm
Der Lorentzfaktor (Gamma-Faktor) wird erst bei hohen Relativgeschwindigkeit (nahe der Lichtgeschwindigkeit) sehr groß und damit wird die Zeitverlangsamung umso größer.

Die Zeiten \(\Delta t\) und \(\Delta t' \) in zwei unterschiedlichen Bezugssystemen sind durch den sogenannten Lorentzfaktor (Gamma-Faktor) \( \gamma \) miteinander verknüpft:

Anker zu dieser Formel

Der Lorentzfaktor \(\gamma\) ist stets größer als 1 und wird umso größer, je schneller sich die Lichtuhr relativ zum Beobachter bewegt (also mit steigendem \( v \)). Das hat zur Folge, dass die Zeitspanne \( \Delta t' \) noch größer wird. Die Zeitdilatation hat einen größeren Effekt.

Mithilfe der Zeitdilatation lässt sich der zweite Effekt der speziellen Relativitätstheorie herleiten, nämlich die Längenkontraktion.

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