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Herleitung Compton-Effekt

Compton-Streuung (Photon-Elektron-Streuung)
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Stoß eines Photons mit einem ruhenden Elektron
  2. Und wenn das Elektron vor dem Stoß in Bewegung ist?

Beim Compton-Effekt werden Photonen einer bestimmten Wellenlänge \(\lambda\) an einem Elektron gestreut. Das gestreute Photon hat dann eine andere Wellenlänge \(\lambda'\). Hier wollen wir eine Formel für die Wellenlänge des gestreuten Photons herleiten.

Stoß eines Photons mit einem ruhenden Elektron

Compton-Streuung (Photon-Elektron-Streuung)
Illustration : Ein Photon wird an einem ruhenden Elektron gestreut.

Hier gehen wir davon aus, dass das Elektron in Ruhe ist. Sein Impuls ist daher Null: \( \boldsymbol{P} ~=~ 0 \). Wenn das Elektron in einem Atom gebunden ist, dann sollte es sehr schwach gebunden sein. Ein Photon mit Impuls \( \boldsymbol{p} \) wird an diesem Elektron gestreut. Um diesen Streuvorgang zu untersuchen, betrachten wir die Energieerhaltung als auch Impulserhaltung.

Gesamtimpuls vor dem Stoß:
Der Gesamtimpuls vor dem Stoß entspricht nur dem Impuls des Photons \( \boldsymbol{p} ~+~ \boldsymbol{P} ~=~ \boldsymbol{p}\), da das ruhende Elektron vor dem Stoß keinen Impuls \(\boldsymbol{P}\) hat.

Gesamtimpuls nach dem Stoß:
Nach dem Stoß hat das Photon einen unbekannten Impuls \( \boldsymbol{p}' \). Das Photon ist mit dem Elektron zusammengestoßen, weshalb das Elektron ebenfalls einen Impuls \( \boldsymbol{P}' \) bekommen haben könnte.

Die Impulserhaltung, die besagt, dass der Gesamtimpuls vor dem Stoß GLEICH dem Gesamtimpuls nach dem Stoß sein muss, liefert folgende Gleichung:

Impulserhaltung
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Die Energie des Photons vor dem Stoß ist gegeben durch:

Photonenenergie
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Hierbei ist \( \lambda \) die Wellenlänge des Photons vor dem Stoß. Wir setzen die Wellenlänge im Experiment als bekannt voraus, weil wir sie selbst wählen.

Gesamtenergie vor dem Stoß:
Wie sieht es mit der Energie des Elektrons vor dem Stoß aus? Sie ist jedenfalls NICHT Null, was man aus dem Ruhezustand des Elektrons schließen könnte... Nach der speziellen Relativitätstheorie hat das Elektron - selbst im Ruhezustand - eine Energie; eine sogenannte Ruheenergie:

Ruheenergie des Elektrons
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Dabei ist \( m_{e} \) die Ruhemasse des Elektrons mit dem Wert: \( m_{e} ~=~ 9.1 ~\cdot~ 10^{-31} \, \mathrm{kg} \). Die Gesamtenergie vor dem Stoß ist damit:

Gesamtenergie vor dem Stoß
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Gesamtenergie nach dem Stoß:
Nach dem Stoß hat sich die Wellenlänge \( \lambda \) des Photons möglicherweise verändert. Wir bezeichnen die neue Wellenlänge des Photons als \( \lambda' \). Eine veränderte Wellenlänge bedeutet eine veränderte Energie des Photons:

Photonenenergie nach dem Stoß
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Das Elektron hat durch den Stoß seine Energie ebenfalls verändert. Neben der Ruheenergie 3, die es schon vor dem Stoß besaß, hat es möglicherweise eine zusätliche kinetische Energie bekommen, was Du daran erkennen kannst, wenn das Elektron nach dem Stoß in Bewegung ist.

Die Formel für klassische kinetische Energie \( \frac{1}{2} \, m \, v^2 \) ist hier eher ungeeignet, denn beim Compton-Effekt verwendet man üblicherweise Photonen mit sehr hoher Energie (Röntgen bzw. Gammastrahlung). Durch den Zusammenstoß von dem energiereichen Photon und dem ruhenden Elektron, kann das Elektron auf sehr hohe Geschwindigkeiten gebracht werden, sodass die Formel für klassische kinetische Energie nicht mehr zutrifft. Deshalb musst Du beim Compton-Effekt relativistisch rechnen, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Das heißt: Statt der klassischen Formel benutzen wir die relativistische Gesamtenergie \(W_{\text e}'\), die bereits die Ruheenergie und die relativistische kinetische Energie des Elektrons beinhaltet:

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung für das Elektron nach dem Stoß
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Damit ist die Gesamtenergie des Photons und des Elektrons nach dem Stoß die Summe von 5 und 6:

Photon-Elektron-Gesamtenergie nach dem Stoß
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Nach der Energieerhaltung muss die Gesamtenergie des Systems vor dem Stoß gleich der Gesamtenergie nach dem Stoß sein:

Energieerhaltung
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Die relativistische Gesamtenergie 7 des Elektrons liefert uns gleichzeitig den Zusammenhang zwischen seiner Energie und seinem Impuls \( \boldsymbol{P}' \). Auf diese Weise können wir die Impulserhaltung mit der Energieerhaltung kombinieren. Stelle dazu den Impulserhaltungssatz 1 nach \( \boldsymbol{P}' \) um:

Elektron-Impuls nach dem Stoß ist die Differenz der Photon-Energien
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Da in der Gesamtenergie 7 der Impuls \(\boldsymbol{P}'^2\) vorkommt, quadrieren wir Gl. 9, um eine Beziehung für \(\boldsymbol{P}'^2\) zu erhalten (wir benutzen dazu eine binomische Formel):

Quadrierter Elektron-Impuls nach dem Stoß
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Der letzte Summand enthält das Skalarprodukt zwischen \( \boldsymbol{p}\) und \(\boldsymbol{p}'\). Wir können es folgendermaßen mithilfe des Winkels \(\theta\) zwischen \( \boldsymbol{p}\) und \(\boldsymbol{p}'\) schreiben: \( \boldsymbol{p} ~\cdot~ \boldsymbol{p}' ~=~ p \, p' \, \cos(\theta) \). Dabei sind \( p ~=~ |\boldsymbol{p}| \) und \( p' ~=~ |\boldsymbol{p}| \) die Beträge der beiden Impulsvektoren. Außerdem gilt \(\boldsymbol{P}'^2 ~=~ P'^2 \). Benutzen wir das in Gl. 10:

Quadrierter Elektron-Impuls mittels Winkel
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Forme die Gesamtenergie 6 des Elektrons nach \( P'^2 \) um:

Elektron-Impuls nach dem Stoß mittels Elektron-Energien
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Setzte den quadrierten Impuls 11 in Gl. 12 ein:

Elektron-Impuls in die relativistische Gesamtenergie eingesetzt
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Als nächstes benutzen wir die Photonenenergien 2 und 5, um die Photonenimpuls-Beträge mit \( p = \frac{W_{\text p}}{c} \) und \(p' = \frac{W_{\text p}'}{c} \) zu ersetzen:

Gesamtenergie vor und nach dem Stoß mit Impulserhaltung kombiniert
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Multiplizieren wir als erstes Gl. 14 mit \( c^2 \), stellen dann die Energieerhaltung 8 nach \( W_{\text e}' = W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~-~ W_{\text p}' \) um und setze es danach ein:

Gesamtenergien und Winkel zwischen Streuvektoren
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Multipliziere die Klammer in 15 aus:

Gesamtenergien und Winkel ausmultipliziert
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Einige Summanden in 16 kürzen sich weg:

Gesamtenergien und Winkel gekürzt
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Bringe \( 2W_{\text p}\,W_{\text p}' = 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \) auf die linke Seite und klamere diesen Faktor aus:

Gesamtenergien und Winkel gekürzt und ausgeklammert
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Teile die ganze Gleichung durch \( 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, W_{\text e} \):

Kehrwerte der Energien und Streuwinkel
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Dann setzen wir die Photon-Energien 2 und 5 ein. Die Energie \(W_{\text e}\) des Elektrons vor dem Stoß, die ja der Ruheenergie 3 entspricht, setzen wir ebenfalls ein:

Zusammenhang zwischen Wellenlängen und Streuwinkel
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Multiplizieren wir noch die Gleichung mit dem Faktor \( h \, c \) und wir sind fertig:

Compton-Formel für Wellenlängen
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Manchmal wird die Formel auch mit der Wellenlängendifferenz \(\Delta \lambda = \lambda' - \lambda \) und der Compton-Wellenlänge \(\lambda_{\text C} = \frac{h}{m_{e} \, c } \) geschrieben:

Compton-Formel mittels Wellenlängendifferenz
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Und wenn das Elektron vor dem Stoß in Bewegung ist?

Wir haben bei der Herleitung angenommen, dass das Elektron in Ruhe ist. Wenn es am Anfang nicht in Ruhe ist, ist die Herleitung etwas komplizierter. Das Prinzip ist aber gleich wie bei Herleitung der Compton-Formel für ein ruhendes Elektron!

Beispiel-Ausgangssituation: Ein Photon mit Impuls \( \boldsymbol{p} \) fliegt in positive \(x\)-Richtung, während ein Elektron, der einen Impuls \( \boldsymbol{P} \) vor dem Stoß besitzt, sich in negative \(x\)-Richtung bewegt. Als erstes stellst du die Gleichungen für Energie und Impuls auf und gehst ähnlich vor, wie bei der obigen Herleitung:

Energieerhaltung für ein bewegtes Elektron
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Impulserhaltung für ein bewegtes Elektron
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