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Herleitung Compton-Effekt

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Stoß von einem Photon und Elektron

Ein Photon wird an einem ruhenden Elektron gestreut.

Bei dieser Herleitung gehst Du davon aus, dass das Elektron in Ruhe ist (Impuls \( \boldsymbol{P} ~=~ 0 \)) und in einem Atom nur schwach gebunden ist. Ein Photon mit Impuls \( \boldsymbol{p} \) wird an diesem Elektron gestreut. Für diesen Vorgang betrachtest Du sowohl die Energie- als auch Impulserhaltung.

Vor dem Stoß entspricht der Gesamtimpuls beider Teilchen nur dem Impuls des Photons \( \boldsymbol{p} ~+~ \boldsymbol{P} ~=~ \boldsymbol{p}\), da das Elektron vor dem Stoß keinen Impuls hat; es ist ja in Ruhe...

Nach dem Stoß hat das Photon einen Dir unbekannten Impuls \( \boldsymbol{p}' \). Das Photon ist mit dem Elektron zusammengestoßen, weshalb das Elektron ebenfalls einen Impuls \( \boldsymbol{P}' \) bekommen hat. Die Impulserhaltung, die besagt, dass der Gesamtimpuls des Systems vor dem Stoß, GLEICH dem Gesamtimpuls des Systems nach dem Stoß sein muss, liefert Dir folgende Gleichung:1\[ \boldsymbol{p} ~=~ \boldsymbol{p}' ~+~ \boldsymbol{P}' \]

Die Energie des Photons vor dem Stoß ist 2\[ W_{\text p} ~=~ h \, f ~=~ \frac{h \, c}{\lambda} \]wobei \( \lambda \) die Wellenlänge des Photons vor dem Stoß ist und sie Dir bekannt ist!

Wie sieht es mit der Energie des Elektrons vor dem Stoß aus? Sie ist jedenfalls NICHT Null, was man aus dem Ruhezustand des Elektrons schließen könnte... Nach der speziellen Relativitätstheorie hat das Elektron - selbst im Ruhezustand - eine Energie; eine sogenannte Ruheenergie3\[ W_{\text e} ~=~ m_{e} \, c^2 \]Dabei ist \( m_{e} \) die Ruhemasse des Elektrons. Sie hat den Wert: \( m_{e} ~=~ 9,109 ~*~ 10^{-31} \, \text{kg} \).

Zusammengefasst ist die Gesamtenergie vor dem Stoß4\[ E ~=~ W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~=~ \frac{h \, c}{\lambda} ~+~ m_{e} \, c^2 \]

Nach dem Stoß hat sich die Wellenlänge \( \lambda \) des Photons möglicherweise verändert (nenne die neue Wellenlänge: \( \lambda' \)). Eine veränderte Wellenlänge bedeutet eine veränderte Energie des Photons. Nach dem Stoß ist sie:5\[ W_{\text p} ~=~ \frac{W_{\text p}'}{c} ~=~ \frac{h \, c}{\lambda'} \]

Und das Elektron hat durch den Stoß seine Energie ebenfalls verändert. Neben Ruheenergie, die es schon vor dem Stoß besaß, hat es möglicherweise eine zusätliche Energie bekommen, was Du z.B. daran erkennen kannst, wenn das Elektron plötzlich in Bewegung ist.

Die klassische kinetische Energie \( \frac{1}{2} \, m \, v^2 \) ist hier aber eher ungeeignet, denn beim Compton-Effekt verwendet man üblicherweise Photonen mit sehr hoher Energie (Röntgen bzw. Gammastrahlung). Durch den Zusammenstoß von dem energiereichen Photon und dem ruhenden Elektron, kann das Elektron auf sehr hohe Geschwindigkeiten gebracht werden, sodass die Formel für klassische kinetische Energie nicht mehr zutrifft. Deshalb musst Du beim Compton-Effekt relativistisch rechnen, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Das heißt: Du musst die relativistische Gesamtenergie benutzen.

Energie des Elektrons nach dem Stoß6\[ W_{\text e}' ~=~ \sqrt{m_{e}^2 \, c^4 ~+~ \boldsymbol{P}'^2 \, c^2} \]

Energie des Photons und des Elektrons nach dem Stoß ergeben:

Gesamtenergie des Systems nach dem Stoß7\[ E' ~=~ W_{\text p}' ~+~ W_{\text e}' ~=~ \frac{h \, c}{\lambda'} ~+~ \sqrt{m_{e}^2 \, c^4 ~+~ \boldsymbol{P}'^2 \, c^2} \]

Nach der Energieerhaltung muss die Gesamtenergie des Systems vor dem Stoß, gleich der Gesamtenergie nach dem Stoß sein:

Energieerhaltung8\[ W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~=~ W_{\text p}' ~+~ W_{\text e}' \]

Der erste Summand \( m_{e}^2 \, c^4 \), der in der Gesamtenergie des Elektrons steckt, steht für die Ruheenergie zum Quadrat; während der zweite Summand den Impuls \( \boldsymbol{P}' \) des Elektrons berücksichtigt. Super, denn diesen Impuls kennst Du nicht und beim Compton-Effekt willst Du den gar nicht kennen, deshalb kannst Du den sofort eliminieren. Und genau dafür brauchst Du die Impulserhaltung! Stelle die Gleichung 1 nach \( \boldsymbol{P}' \) um9\[ \boldsymbol{P}' ~=~ \boldsymbol{p}' ~-~ \boldsymbol{p} \]und rechne \( \boldsymbol{P}'^2 ~=~ \left( \boldsymbol{p}' ~-~ \boldsymbol{p}\right )^2 \) mit der binomischen Formel aus (das wirst Du später brauchen):10\[ \boldsymbol{P}'^2 ~=~ \left( \boldsymbol{p}' ~-~ \boldsymbol{p}\right )^2 ~=~ \boldsymbol{p}'^2 ~+~ \boldsymbol{p}^2 ~-~ 2\boldsymbol{p}'\cdot\boldsymbol{p} \]Jetzt brauchst Du die Definition des Skalarproduktes über den Winkel (\( \boldsymbol{a} ~\cdot~ \boldsymbol{b} ~=~ a \, b \, \cos(\theta) \)). Dabei sind \( a ~=~ |\boldsymbol{a}| \) und \( b ~=~ |\boldsymbol{b}| \) die Beträge der beiden Vektoren. Schreibe also das Skalarprodukt, der in 10 ist, um. (außerdem gilt \(\boldsymbol{P}'^2 ~=~ P'^2 \)):11\[ P'^2 ~=~ \left( \boldsymbol{p}' ~-~ \boldsymbol{p}\right )^2 ~=~ p'^2 ~+~ p^2 ~-~ 2p' \, p \, \cos(\theta) \]

Nun hast Du \( P' \) genügend verarztet. Forme die Gleichung 6 nach \( P'^2 \) um, die für Energie des Elektrons nach dem Stoß steht: 12\[ P'^2 ~=~ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2} \]und setze die Umformung mit 11 gleich:14\[ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2} ~=~ p'^2 ~+~ p^2 ~-~ 2p' \, p \, \cos(\theta) \]

Den Photonimpuls \( p \) vor dem Stoß kennst Du, wenn Du die Wellenlänge des Photons kennst! Dazu musst Du den Impuls in 14 mit 2 umschreiben. Den Impuls des Photons nach dem Stoß kennst Du zwar nicht, trotzdem musst Du den ebenfalls mit der Wellenlänge \( \lambda' \) ausdrücken, um auf die Compton-Formel zu kommen. Dazu benutzt Du Gleichung 5.

Setze also \( \frac{W_{\text p}}{c} \) und \(\frac{W_{\text p}'}{c}\) für Impulse in 14 ein:15\[ \frac{W_{\text e}'^2 ~-~ W_{\text e}^2}{c^2} ~=~ \frac{W_{\text p}'^2}{c^2} ~+~ \frac{W_{\text p}^2}{c^2} ~-~ 2\frac{W_{\text p}'}{c} \, \frac{W_{\text p}}{c} \, \cos(\theta) \]

Multipliziere die Gleichung 15 mit \( c^2 \). Forme dann die Energieerhaltung (Gleichung 8) nach \( W_{\text e}' \) um16\[ W_{\text e}' ~=~ W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~-~ W_{\text p}' \]und setzt 16 in 15 ein:17\[ \left( W_{\text p} ~+~ W_{\text e} ~-~ W_{\text p}' \right)'^2 ~-~ W_{\text e}^2 ~=~ W_{\text p}'^2 ~+~ W_{\text p}^2 ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) \]

Multipliziere die Klammer in 17 aus:18\[ W_{\text p}^2 ~+~ W_{\text e}^2 ~+~ W_{\text p}'^2 ~+~ 2W_{\text p}W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p}W_{\text p}' ~-~ 2W_{\text p}'W_{\text e} ~-~ W_{\text e}^2 ~=~ W_{\text p}'^2 ~+~ W_{\text p}^2 ~-~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) \]

Sechs Summanden in 18 kürzen sich weg. Übrig bleibt:19\[ 2W_{\text p}W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p}W_{\text p}' ~-~ 2W_{\text p}'W_{\text e} ~=~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \cos(\theta) \]

Bringe \( 2W_{\text p}W_{\text p}' \) auf die rechte Seite und klamere diesen Term auf:20\[ 2W_{\text p}W_{\text e} ~-~ 2W_{\text p}'W_{\text e} ~=~ 2W_{\text p}' \, W_{\text p} \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) \]

Teile die ganze Gleichung durch \( 2W_{\text p} \, W_{\text p}' \, W_{\text e} \), dann bekommst Du:21\[ \frac{1}{W_{\text p}'} ~-~\frac{1}{W_{\text p}} ~=~ \frac{1}{W_{\text e}} \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) \]

Erinnerst Du Dich noch an die umgeformten Impulse der Photonen? Wir haben sie mit Wellenlängen \( \lambda' \) und \( \lambda \) ausgedrückt.Setze sie, aber auch sofort \( W_{\text p} \) ein:22\[ \frac{\lambda'}{h \, c} ~-~ \frac{\lambda}{h \, c} ~=~ \frac{1}{m_{e} \, c^2 } \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) \]

Multipliziere die ganze Gleichung mit \( h \, c \). Und *tada* hast Du die gesuchte Compton-Formel:

Compton-Formel ausgedrückt mit Wellenlängen23\[ \lambda' ~-~ \lambda ~=~ \frac{h}{m_{e} \, c } \, \left( 1 ~-~ \cos(\theta) \right) \]

Allgemeinere Formel: Elektron in Bewegung

Diese Herleitung ist etwas komplizierter, was das Umformen angeht. Das Prinzip ist aber gleich wie bei Herleitung des Compton-Effekts für ein ruhendes Elektron.

Ausgangssituation: Ein Photon (mit Impuls \( \boldsymbol{p} \)) fliegt in positive x-Richtung, während ein Elektron, der einen Impuls \( \boldsymbol{P} \) besitzt, sich in negative x-Richtung bewegt.

Energieerhaltung\[ \hbar \, \omega ~+~ \sqrt{\boldsymbol{P}^2 \, c^2 ~+~ m^2 \, c^4} ~=~ \hbar \, \omega' ~+~ \sqrt{\boldsymbol{P}'^2 \, c^2 ~+~ m^2 \, c^4} \]
Impulserhaltung\[ \boldsymbol{p} ~+~ \boldsymbol{P} ~=~ \boldsymbol{p}' ~+~ \boldsymbol{P}' \]
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