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Herleitung Längenkontraktion

Längenkontraktion: Abstand zweier Planeten aus Sicht der ruhenden Erde
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Hier wollen wir eine Formel für die Längenkontraktion aus der zuvor hergeleiteten Zeitdilatation herleiten.

Stell dir vor, du bist ein ruhender Beobachter auf der Erde. Dein Bezugssystem bezeichnen wir mit \( \mathrm B \). Die Zeit, die auf deiner Uhr vergeht, bezeichnen wir mit \( t \). Zum Zeitpunkt \( t = 0 \) fliegt ein Raumschiff am Beobachter \( \mathrm B \) mit einer konstanten Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) vorbei. Es fliegt bis zu einem Planeten, nennen wir den Alpha, und kommt dort zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt an.

Bezeichnen wir das Bezugssystem des Raumschiffs als \( \mathrm B' \) und die Zeit auf der Uhr im Raumschiff mit \( t' \). Was sieht nun der Käpt'n im Raumschiff, wenn er sich als ruhend betrachtet? Aus seiner Sicht ruht das Raumschiff, während die Erde sich von ihm mit der Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) wegbewegt und der Planet Alpha sich auf ihn mit der Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) zubewegt.

Der Käpt'n im Raumschiff misst auf seiner Uhr, wie lange er braucht, um von der Erde bis zum Planet Alpha zu kommen. Diese Zeitspanne bezeichnen wir mit \( \Delta t' \). Auch der Beobachter auf der Erde misst die Zeitspanne auf seiner Uhr, in der das Raumschiff von der Erde bis zum Planet Alpha braucht. Er bezeichnet seine gemessene Zeitspanne mit \( \Delta t \).

Bei der Herleitung der Zeitdilatation mittels einer Lichtuhr haben wir herausgefunden, dass die Zeitspannen in verschiedenen Bezugssystemen grundsätzlich unterschiedlich groß sind. Deshalb können wir auf gar keinen Fall einfach so annehmen, dass die Zeitspannen \( \Delta t \) und \( \Delta t' \) gleich sind. Wir haben hergeleitet, dass zwei Zeitspannen unterschiedlicher Bezugssysteme über die Relativgeschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) folgendermaßen zusammenhängen:

Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und der Vorfaktor in der Formel wird meist mit \(\gamma\) abgekürzt und Lorentzfaktor genannt. Da wir wissen, dass der Betrag der Relativgeschwindigkeit, mit der sich die Erde vom Raumschiff wegbewegt, \(\class{blue}{v}\) ist, können wir mithilfe der Zeitspanne \( \Delta t' \) die Strecke \( \Delta x' \) berechnen, die das Raumschiff von der Erde bis zum Planet Alpha zurücklegen muss:

Zurückgelegte Strecke des Raumschiffs aus Sicht des Raumschiffs
Anker zu dieser Formel
Längenkontraktion: Abstand zweier Planeten aus Sicht des ruhenden Raumschiffs
Abstand zweier Planeten aus Sicht eines ruhenden Raumschiffs \(\mathrm B'\).

Und aus Sicht des Beobachters \( \text B \) auf der Erde braucht das Raumschiff die Zeitspanne \(\Delta t\) und bewegt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit \(\class{blue}{v}\) weg. Deshalb ist die zurückgelegte Strecke \(\Delta x\) aus Sicht von \( \text B \) folgendermaßen zu berechnen:

Zurückgelegte Strecke des Raumschiffs aus Sicht der Erde
Anker zu dieser Formel
Längenkontraktion: Abstand zweier Planeten aus Sicht der ruhenden Erde
Abstand zwischen der Erde und dem Planet Alpha aus Sicht eines Ruhebeobachters \(\mathrm B\) auf der Erde.

Nun können wir die Zeitspanne aus Gl. 1 in Gl. 3 einsetzen

Zurückgelegte Strecke ist gleich Geschwindigkeit mal Lorentzfaktor mal Zeitspanne
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Unser Ziel ist es herauszufinden, wie die Streckenabschnitte \( \Delta x' \) und \( \Delta x \) miteinander zusammenhängen. Daher müssen wir \( \Delta t' \) aus Gl. 4 mit \( \Delta x' \) ausdrücken. Stelle dazu Gl. 2 nach der Zeitspanne \( \Delta t' \) um und setze sie in Gl. 4 ein:

Zurückgelegte Strecke ist gleich Geschwindigkeit mal Lorentzfaktor mal Strecke pro Geschwindigkeit
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Kürze die Geschwindigkeit \( \class{blue}{v} \) weg und stelle Gleichung nach \( \Delta x' \) um:

Strecke aus Sicht des Raumschiffs ist Kehrwert des Lorentzfaktors mal Strecke aus Sicht der Erde
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Wir sind fertig. Wenn wir noch den Lorentzfaktor \(\gamma \) konkret einsetzen, bekommen wir die Formel für die Längenkontraktion:

Anker zu dieser Formel

Da der Kehrwert von \(\gamma\) stets kleiner ist als 1, können wir anhand der Gl. 7 sagen, dass \( \Delta x'\) kleiner ist als \( \Delta x \). In Worten: Die zurückgelegte Strecke \( \Delta x' \) und damit der Abstand der Erde und dem Planet Alpha aus Sicht des Raumschiffs muss kürzer sein als aus Sicht des Beobachters auf der Erde. Der Abstand Erde/Planet ist aus Sicht des Raumschiffs kontrahiert.

Jetzt solltest du wissen, wie man Zeitdilatation und Längenkontraktion herleitet. Anschaulich lassen sich diese interessanten Phänomene mit Raumzeitdiagrammen veranschaulichen.