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Herleitung Längenkontraktion

Level 2
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Längenkontraktion ist die Veränderung einer Länge in verschiedenen Bezugssystemen.

Im Folgenden wird die Längenkontraktion aus der Zeitdilatation hergeleitet (Herleitung der Zeitdilatation) .

Stell dir vor, du wärst ein ruhender Beobachter auf der Erde. Dein Bezugssystem bezeichnen wir mit \( \text E \). Von der Erde aus ist ein Raumschiff zum Zeitpunkt \( t_{\text E} ~=~ 0 \) gestartet. Es fliegt mit einer konstanten Geschwindigkeit \( v \) bis zu einem Planeten Alpha und kommt dort zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt an.

Zwei unterschiedliche Inertialsysteme. Im obigen Fall wurde die Strecke \( s_{\text E} \) aus Sicht der ruhenden Erde gemessen. Im unteren Fall ist die Strecke \( s_{\text R} \) aus Sicht des ruhenden Raumschiffs.

Die Zeitspanne, die das Raumschiff aus der Sicht von \( \text E \) gebraucht hat, bezeichnen wir mit\( \Delta t_{\text E} \).

Was sieht nun der Käpt'n im Raumschiff? Bezeichnen wir sein Inertialsystem als \( \text R \). Aus der Sicht von \( \text R \) ruht das Raumschiff, während die Erde sich von ihm mit der Geschwindigkeit \( v \) wegbewegt und der Planet Alpha sich auf ihn mit der Geschwindigkeit \( v \) zubewegt.

Bei der Herleitung der Zeitdilatation hast du gelernt, dass eine Zeitspanne für irgendeinen Vorgang unterschiedlich gemessen wird, je nach dem, in welchem Inertialsystem du bist. Deshalb bist du vorsichtig und schreibst für die Zeitspanne, die aus Sicht von \( \text R \) für den Flug gebraucht wurde, nicht \( \Delta t_{\text E} \), sondern \( \Delta t_{\text R} \), um die Zeitspanne, die aus Sicht von \( \text E \) vergangen ist, zu unterscheiden.

Bis jetzt hast du also zwei Gleichungen für die Strecken, die aus zwei unterschiedlichen Inertialsystemen \( \text E \) und \( \text R \) gemessen wurden. Aus Sicht \( \text E \) der ruhenden Erde:1\[ s_{\text E} ~=~ v \, \Delta t_{\text E} \]und aus Sicht \( \text R \) des ruhenden Raumschiffs:2\[ s_{\text R} ~=~ v \, \Delta t_{\text R} \]

Aus der Herleitung der Zeitdilatation weißt du, dass aus Sicht der Erde im bewegten Raumschiff die Zeit langsamer vergeht. Ausgedrückt mit der Formel für Zeitdilatation heißt das:3\[ \Delta t_{\text E} ~=~ \gamma \, \Delta t_{\text R} \]Hierbei ist \( \gamma \) der Gamma-Faktor.

Setze die Zeit 3 in 1 ein:4\[ s_{\text E} ~=~ v \, \gamma \, \Delta t_{\text R} \]

Jetzt musst du nur noch \( \Delta t_{\text R} \) mit 2 ersetzen, um eine Beziehung zwischen den beiden Strecken \( s_{\text R} \) und \( s_{\text E} \) zu erhalten:5\[ s_{\text E} ~=~ v \, \gamma \, \frac{s_{\text R}}{v} \]Kürze Geschwindigkeit \( v\) weg und stelle die Gleichung nach \(s_{\text R}\) um:6\[ s_{\text R} ~=~ \frac{1}{\gamma} \, s_{\text E} \]

Setze nur noch den Gamma-Faktor ein:

Formel: Längenkontraktion7\[ s_{\text R} ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, s_{\text E} \]
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