Direkt zum Inhalt
  1. Startseite
  2. Argumentationen
  3. #301

Herleitung Längenkontraktion

Um die Längenkontraktion herzuleiten, stell Dir vor, Du wärst ein ruhender Beobachter auf der Erde. Von der Erde aus ist ein Raumschiff zum Zeitpunkt \( t_{\text E} ~=~ 0 \) gestartet. Es flog mit einer konstanten Geschwindigkeit \( v \) bis zu einem Planeten Alpha und kam dort zu irgendeinem bestimmten Zeitpunkt an.

Hier siehst Du zwei unterschiedliche Inertialsysteme. Im obigen Fall wurde die Strecke \( s_{\text R} \) aus Sicht der ruhenden Erde gemessen. Im unteren Fall ist die Strecke \( s_{\text E} \) aus Sicht des ruhenden Raumschiffs.

Die Zeitspanne, die das Raumschiff aus Deiner ruhenden Sicht gebraucht hat sei \( \Delta t_{\text E} \).

Jetzt wechselst Du das Inertialsystem. Du versetzt Dich in die Lage des Käpt'n im Raumschiff. Aus seiner Sicht ruht das Raumschiff, während die Erde sich von ihm wegbewegt und der Planet Alpha sich auf ihn zubewegt.

Bei der Herleitung der Zeitdilatation hast Du gelernt, dass eine Zeitspanne für irgendeinen Vorgang unterschiedlich gemessen wird, je nach dem, in welchem Inertialsystem man ist. Deshalb bist Du vorsichtig und schreibst für die Zeitspanne, die aus Sicht des ruhenden Raumschiffs (Käpt'ns Sicht) für die Flug gebraucht wurde, nicht \( \Delta t_{\text E} \), sondern \( \Delta t_{\text R} \), um die Zeitspanne, die aus Sicht ruhender Erde vergangen ist, zu unterscheiden.

Bisjetzt hast Du also zwei Gleichungen für die Strecken, die aus zwei unterschiedlichen Inertialsystemen gemessen wurden. Aus Sicht der ruhenden Erde:1\[ s_{\text E} ~=~ v \, \Delta t_{\text E} \]und aus Sicht des ruhenden Raumschiffs:2\[ s_{\text R} ~=~ v \, \Delta t_{\text R} \]

Wenn Du Zeitdilatation verstanden hast, dann weißt Du, dass aus Sicht der Erde im bewegten Raumschiff die Zeit langsamer vergeht. Ausgedrückt mit der Formel für Zeitdilatation:3\[ \Delta t_{\text E} ~=~ \gamma \, \Delta t_{\text R} \](Hinweis: Nach dem Relativitätsprinzip können die beiden Zeitspannen vertauscht werden; am Ergebnis wird sich nicht viel ändern...)

Setze 3 in 1 ein:4\[ s_{\text E} ~=~ v \, \gamma \, \Delta t_{\text R} \]

Jetzt musst Du nur noch \( \Delta t_{\text R} \) mit 2 ersetzen, um eine Beziehung zwischen den beiden Strecken \( s_{\text R} \) und \( s_{\text E} \) zu erhalten:5\[ s_{\text E} ~=~ v \, \gamma \, \frac{s_{\text R}}{v} \]Kürze Geschwindigkeit weg und stelle die Gleichung nach \(s_{\text R}\) um. Dann bekommst Du:

Formel: Längenkontraktion\[ s_{\text R} ~=~ \frac{1}{\gamma} \, s_{\text E} ~=~ \sqrt{1 ~-~ \frac{v^2}{c^2}} \, s_{\text E} \]
Mehr zur Formel
  • Strecke \( \Delta s_{R} \): zwischen Erde und Alpha, aus Sicht des ruhenden Raumschiffs.
  • Länge \( \Delta s_{E} \): zwischen Erde und Alpha, aus Sicht des ruhenden Erde.
  • Relativgeschwindigkeit \( v \): ist die Geschwindigkeit, mit der das Raumschiff relativ zur Erde fliegt.
  • Lichtgeschwindigkeit \( c \): eine Konstante und hat den Wert im Vakuum \( 299 \, 792 \, 458 \, \frac{ \text m}{\text s} \).
Details zum Inhalt
  • Copyright: ©2020
  • Lizenz: CC BY 4.0Dieser Inhalt darf mit der Angabe des Copyrights weiterverwendet werden!
  • Dieser Inhalt wurde hinzugefügt von FufaeV am .
  • Dieser Inhalt wurde aktualisiert von FufaeV am .

Feedback geben

Hey! Ich bin Alexander FufaeV, der Physiker und Autor hier. Es ist mir wichtig, dass du stets sehr zufrieden bist, wenn du hierher kommst, um deine Fragen und Probleme zu klären. Da ich aber keine Glaskugel besitze, bin ich auf dein Feedback angewiesen. So kann ich Fehler beseitigen und diesen Inhalt verbessern, damit auch andere Besucher von deinem Feedback profitieren können.

Wie zufrieden bist Du?