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Herleitung Elektrische Leistung in einem Leiter

Wenn eine Ladungsmenge \( Q \), aufgrund einer angelegten Spannung \( U \) im Leiter transportiert wird, so wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie \( W \), die eine Ladung durch das Durchqueren der Spannung \(U\) gewinnt (\(W\) positiv)) oder verliert (\(W\) negativ), ist gegeben durch:1\[ W ~=~ Q \, U \]

Die Leistung ist definiert als die umgesetzte Energie \(W\) pro Zeitspanne \(t\):2\[ P ~=~ \frac{W}{t} \]

Die elektrische Leistung ergibt sich durch das Einsetzen von 1 in 2:3\[ P ~=~ \frac{Q \, U }{t} \]

Der elektrische Strom \(I\), ist die transportierte Ladung \(Q\) pro Zeitspanne \(t\). Der Strom \(I\) steckt also in 3 und kann deshalb in der Gleichung benutzt werden. Die elektrische Leistung wird also zu:

Elektrische Leistung (mit U, I)4\[ P ~=~ U \, I \]

Im Falle eines Ohm-Leiters (das sind diejenigen Leiter, in denen das Ohm-Gesetz gilt) kann die Gleichung 4 mithilfe von \( U = R \, I \) umgeschrieben werden. Die Leistung kann mit dem Widerstand \(R\) des betrachteten Leiters oder des Verbrauchers und der angelegten Spannung \(U\) ausgedrückt werden:

Elektrische Leistung (mit U, I)5\[ P ~=~ \frac{U^2}{R} \]
Bei einer konstant gehaltenen Spannung \(U\) werden die Stellen des Leiters, die den kleinsten Widerstand \(R\) haben, am meisten warm, weil dort die umgesetzte Leistung am größten ist.

Oder alternativ ausgedrückt mit dem Strom \( I = U/R \):

Elektrische Leistung (mit U, I)6\[ P ~=~ I^2 \, R \]
Bei einem konstant gehaltenem Strom \(I\) werden die Stellen des Leiters, die den größten Widerstand \(R\) haben, am meisten warm, weil dort die umgesetzte Leistung am größten ist.
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