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Herleitung Elektrische Leistung

Einfacher Stromkreis mit einem Widerstand
Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Wenn eine Ladungsmenge \( Q \), aufgrund einer angelegten Spannung \( U \) im Leiter transportiert wird, so wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Die kinetische Energie \( W \), die eine Ladung durch das Durchqueren der Spannung \(U\) gewinnt (\(W\) positiv)) oder verliert (\(W\) negativ), ist gegeben durch:

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Die Leistung \(P\) ist definiert als die umgesetzte Energie \(W\) pro Zeitspanne \(t\):

Definition der Leistung
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Die elektrische Leistung ergibt sich durch das Einsetzen von Gl. 1 in 2:

Elektrische Leistung mittels Ladung, Spannung und Zeit
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Der elektrische Strom \(I\), ist die transportierte Ladung \(Q\) pro Zeitspanne \(t\): \(I = Q/t \). Der Faktor \(Q/t\) steckt in Gl. 3, daher ersetzen wir diesen mit \(I\), um die unbekannte und experimentell schwer zugängliche Zeit \(t\) zu eliminieren. Damit wird die elektrische Leistung zu:

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Für einen Ohmschen Leiter (das sind diejenigen Leiter, für die das Ohmsche Gesetz gilt) kann die Gleichung 4 mithilfe von \( U = R \, I \) umgeschrieben werden. Die Leistung \(P\) kann daher mit dem Widerstand \(R\) des betrachteten Leiters (oder eines Verbrauchers) und der angelegten Spannung \(U\) ausgedrückt werden:

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Einfacher Stromkreis mit einem Widerstand
Ein einfacher Schaltkreis.
Beispiel: Spannung konstant

Bei einer konstant gehaltenen Spannung \(U\) werden die Stellen des Leiters, die den kleinsten Widerstand \(R\) haben, am meisten warm, weil dort die umgesetzte Leistung am größten ist.

Natürlich kannst du auch das Ohmschen Gesetz \( U = R\,I \) nach dem Strom umstellen \( I = U/R \), und damit die Leistung ausdrücken:

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Beispiel: Strom konstant

Bei einem konstant gehaltenem Strom \(I\) werden die Stellen des Leiters, die den größten Widerstand \(R\) haben, am meisten warm, weil dort die umgesetzte Leistung am größten ist.

Joulesche Wärme bei zwei verschiedenen Widerständen
Der Widerstand \(R_2\) ist größer als \(R_1\) und erhitzt sich mehr bei einem konstant gehaltenen Strom \(I\).