Herleitung: Potential für E- und B-Feld der Elektrodynamik

Es lohnt sich die E- und B-Felder in der Elektrodynamik durch Potentiale \( \boldsymbol{A} \) und \( V \) auszudrücken, weil z.B. dadurch:

• 4 Maxwell-Gleichung mit 2 Gleichungen ausgedrückt werden können
• die zu bestimmenden 6 Komponenten der E- und B-Felder sich auf 4 Komponenten reduzieren.

Die vier Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik lauten:1\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]2\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{B} ~=~ 0 \]3\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~=~ - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \]4\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \boldsymbol{j} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \]

Das B-Feld ist nach der Maxwell-Gleichung 2 divergenzfrei. Deshalb lässt sich das B-Feld - wie in der Elektrostatik - durch ein Vektorpotential \( \boldsymbol{A} \) ausdrücken:5\[ \boldsymbol{B} ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \]

Das E-Feld dagegen, lässt sich nicht mit \( \boldsymbol{E} ~=~ -\nabla \, V \) wie in der Elektrostatik schreiben, da nach der Maxwell-Gleichung 3 die Rotation des E-Feldes nicht Null ist. Um das E-Feld mit einem Potential auszudrücken, musst Du irgendwie einen Rotationsasdruck \( \nabla ~\times~... ~=~ 0 \) haben, der das E-Feld enthält.

Benutze dafür die Gleichung 5 und setze sie in das Faraday'sche Gesetz 3 ein und bringe alles auf die linke Seite der Gleichung:6\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial (\nabla ~\times~ \boldsymbol{A}) }{\partial t} ~=~ 0 \]

Da \( \frac{\partial }{\partial t} \) und \( \nabla \) Operatoren nur partielle Ableitungen sind, darfst Du sie vertauschen. Klammere deshalb den \( \nabla \)-Operator aus:7\[ \nabla ~\times~ \left( \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right) ~=~ 0 \]

Wie Du an 7 siehst, verschwindet die Rotation für den Ausdruck \( \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \). Deshalb kannst Du ihn als Gradient eines skalaren Potentials \( V \) schreiben:8\[ \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} ~=~ -\nabla \, V \]

Somit lässt sich das E-Feld im elektrodynamischen Fall folgendermaßen durch die Potentiale \( \boldsymbol{A} \) und \( V \) ausdrücken:9\[ \boldsymbol{E} ~=~ -\nabla \, V ~-~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \]

Um zu überprüfen, ob 9 die Maxwell-Gleichungen 1 und 4 erfüllt, setze 9 zuerstmal in 1 ein:10\[ \nabla ~\cdot~ \left( -\nabla \, V ~-~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right) ~=~ \frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]11\[ \nabla^2 \, V ~+~ \frac{\partial }{\partial t} \left( \nabla \cdot \boldsymbol{A} \right) ~=~ -\frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]

Wenn das Vektorpotential \( \boldsymbol{A} \) zeitunabhängig ist (\( \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} ~=~ 0 \)), reduzierst sich der Ausdruck zur Poisson-Gleichung, die Du aus der Elektrostatik kennst.

Setze nun 5 und 9 in die Maxwell-Gleichung Nr. 4 ein:12\[ \nabla ~\times~ \left( \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \right) ~=~ \mu_0 \, \boldsymbol{A} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \nabla \, \frac{\partial V }{\partial t} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 A }{\partial t^2} \]

Mit \( \nabla ~\times~ \left( \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \right) ~=~ \nabla \, \left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{A} \right) ~-~ \nabla^2 \, \boldsymbol{A} \) kannst Du 12 auch folgendermaßen schreiben. Dabei wurde nur ein bisschen umgestellt und ausgeklammert:13\[ \left( \nabla^2 \, \boldsymbol{A} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 A }{\partial t^2} \right) ~-~ \nabla \, \left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{A} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial V }{\partial t} \right) ~=~ - \mu_0 \, \boldsymbol{j} \]

Um die Symmetrie der Gleichungen 11 und 13 zu verdeutlichen, kannst Du den Box-Operator \( \Box^2 ~=~ \nabla^2 ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \), sowie \( Z ~=~ \nabla \cdot \boldsymbol{A} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial V }{\partial t} \) benutzen, dann bekommst Du zwei schönere Differentialgleichungen:14\[ \Box^2 \, V ~+~ \frac{\partial Z }{\partial t} ~=~ -\frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]15\[ \Box^2 \, \boldsymbol{A} ~-~ \nabla \, Z ~=~ - \mu_0 \, \boldsymbol{j} \]