Herleitung Potential für E- und B-Feld der Elektrodynamik
Level 4
Es lohnt sich die E- und B-Felder in der Elektrodynamik durch Potentiale \( \boldsymbol{A} \) und \( V \) auszudrücken, weil z.B. dadurch:
- 4 Maxwell-Gleichung mit 2 Gleichungen ausgedrückt werden können
- die zu bestimmenden 6 Komponenten der E- und B-Felder sich auf 4 Komponenten reduzieren.
Die vier Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik lauten:1\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0} \]2\[ \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{B} ~=~ 0 \]3\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~=~ - \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \]4\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \boldsymbol{j} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \]
Das B-Feld ist nach der Maxwell-Gleichung 2
divergenzfrei. Deshalb lässt sich das B-Feld - wie in der Elektrostatik - durch ein Vektorpotential \( \boldsymbol{A} \) ausdrücken:5\[ \boldsymbol{B} ~=~ \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \]
Das E-Feld dagegen, lässt sich nicht mit \( \boldsymbol{E} ~=~ -\nabla \, V \) wie in der Elektrostatik schreiben, da nach der Maxwell-Gleichung 3
die Rotation des E-Feldes nicht Null ist. Um das E-Feld mit einem Potential auszudrücken, musst Du irgendwie einen Rotationsasdruck \( \nabla ~\times~... ~=~ 0 \) haben, der das E-Feld enthält.
Benutze dafür die Gleichung 5
und setze sie in das Faraday'sche Gesetz 3
ein und bringe alles auf die linke Seite der Gleichung:6\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial (\nabla ~\times~ \boldsymbol{A}) }{\partial t} ~=~ 0 \]
Da \( \frac{\partial }{\partial t} \) und \( \nabla \) Operatoren nur partielle Ableitungen sind, darfst Du sie vertauschen. Klammere deshalb den \( \nabla \)-Operator aus:7\[ \nabla ~\times~ \left( \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right) ~=~ 0 \]
Wie Du an 7
siehst, verschwindet die Rotation für den Ausdruck \( \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \). Deshalb kannst Du ihn als Gradient eines skalaren Potentials \( V \) schreiben:8\[ \boldsymbol{E} ~+~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} ~=~ -\nabla \, V \]
Somit lässt sich das E-Feld im elektrodynamischen Fall folgendermaßen durch die Potentiale \( \boldsymbol{A} \) und \( V \) ausdrücken:9\[ \boldsymbol{E} ~=~ -\nabla \, V ~-~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \]
Um zu überprüfen, ob 9
die Maxwell-Gleichungen 1
und 4
erfüllt, setze 9
zuerstmal in 1
ein:10\[ \nabla ~\cdot~ \left( -\nabla \, V ~-~ \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} \right) ~=~ \frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]11\[ \nabla^2 \, V ~+~ \frac{\partial }{\partial t} \left( \nabla \cdot \boldsymbol{A} \right) ~=~ -\frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]
Wenn das Vektorpotential \( \boldsymbol{A} \) zeitunabhängig ist (\( \frac{\partial \boldsymbol{A} }{\partial t} ~=~ 0 \)), reduzierst sich der Ausdruck zur Poisson-Gleichung, die Du aus der Elektrostatik kennst.
Setze nun 5
und 9
in die Maxwell-Gleichung Nr. 4
ein:12\[ \nabla ~\times~ \left( \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \right) ~=~ \mu_0 \, \boldsymbol{A} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \nabla \, \frac{\partial V }{\partial t} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 A }{\partial t^2} \]
Mit \( \nabla ~\times~ \left( \nabla ~\times~ \boldsymbol{A} \right) ~=~ \nabla \, \left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{A} \right) ~-~ \nabla^2 \, \boldsymbol{A} \) kannst Du 12
auch folgendermaßen schreiben. Dabei wurde nur ein bisschen umgestellt und ausgeklammert:13\[ \left( \nabla^2 \, \boldsymbol{A} ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 A }{\partial t^2} \right) ~-~ \nabla \, \left( \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{A} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial V }{\partial t} \right) ~=~ - \mu_0 \, \boldsymbol{j} \]
Um die Symmetrie der Gleichungen 11
und 13
zu verdeutlichen, kannst Du den Box-Operator \( \Box^2 ~=~ \nabla^2 ~-~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \), sowie \( Z ~=~ \nabla \cdot \boldsymbol{A} ~+~ \mu_0 \, \epsilon_0 \, \frac{\partial V }{\partial t} \) benutzen, dann bekommst Du zwei schönere Differentialgleichungen:14\[ \Box^2 \, V ~+~ \frac{\partial Z }{\partial t} ~=~ -\frac{1}{\epsilon_0} \, \rho \]15\[ \Box^2 \, \boldsymbol{A} ~-~ \nabla \, Z ~=~ - \mu_0 \, \boldsymbol{j} \]
