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Herleitung Energieerhaltungssatz im Gravitationsfeld

Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Zuerst wird geklärt, woher die Definition der kinetischen und potentiellen Energie kommt.

Das 2. Newton-Axiom besagt:1\[ m \, \ddot{\boldsymbol{r}} ~=~ \boldsymbol{F} \]

Bilde auf beiden Seiten der Gleichung 1 das Skalarprodukt mit der Geschwindigkeit \( \dot{\boldsymbol{r}} \):2\[ m \, \ddot{\boldsymbol{r}} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} ~=~ \boldsymbol{F} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]

Die linke Seite in 2 lässt sich so umschreiben,3\[ \frac{1}{2} \, m \, \frac{\text{d}}{\text{d}t}\, \dot{\boldsymbol{r}}^2 ~=~ \boldsymbol{F} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]dass \( \frac{1}{2} \, m \, \dot{\boldsymbol{r}}^2 \) als kinetische Energie \(W_{\text{kin}}\) eines Teilchens identifiziert werden kann:4\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, W_{\text{kin}} ~=~ \boldsymbol{F} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]

Teile die Kraft in zwei Anteile, in einen konservativen \(\boldsymbol{F}_{\text k}\) und einen dissipativen Anteil \(\boldsymbol{F}_{\text d}\) auf:5\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, W_{\text{kin}} ~=~ \left( \boldsymbol{F}_{\text k} + \boldsymbol{F}_{\text d} \right) ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]

Nun kannst Du \( \boldsymbol{F_{\text k}} \cdot \dot{\boldsymbol{r}} \) mit der zeitlichen Ableitung der potentiellen Energie ausdrücken:6\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, W_{\text{kin}} ~=~ -\frac{\text{d}W_{\text{pot}}}{\text{d}t} + \boldsymbol{F}_{\text d} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]denn einer konservativen Kraft lässt sich eine potentielle Energie \(W_{\text{pot}}\) zuordnen.

Wenn Du noch \( -\frac{\text{d}W_{\text{pot}}}{\text{d}t} \) auf die rechte Seite bringst und den Differentialoperator \( \frac{\text{d}}{\text{d}t} \) ausklammerst (das darfst Du, weil die Zeitableitungs-Operator auf alle Summanden angewendet wird), bekommst Du:7\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \left( W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} \right) ~=~ \boldsymbol{F}_{\text d} ~\cdot~ \dot{\boldsymbol{r}} \]

Nun wird angenommen, dass die Energie durch Reibung oder andere dissipative Kräfte verloren geht. Um diese Annahme zu gewährleisten, muss \(F_{\text d} = 0 \) sein. Damit wird die rechte Seite der Gleichung Null:9\[ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \, \left( W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} \right) ~=~ 0 \]

Wenn die zeitliche Ableitung der Summe aus kinetischer und potentieller Energie Null ergibt, ist \(W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}}\) eine Konstante:10\[ W_{\text{kin}} ~+~ W_{\text{pot}} ~=~ \text{const.} ~=:~ W \]

Damit hast Du eine Gesamtenergie \( W \), die genau dann im Teilchen erhalten ist, wenn das Kraftfeld - in dem sich das Teilchen bewegt - konservativ ist. Es gibt also beispielsweise keine Reibungkräfte, denn sie sind dissipativer Natur!

Herleitung der Energieerhaltung im Gravitationsfeld

Potentielle Energie ist abhängig von der Höhe: \( W_{\text{pot}}(x) \). Es spielt also eine Rolle, ob du dich auf 10 Meter oder auf 20 Meter Höhe befindest, denn durch eine andere Lage, besitzt Du eine andere potentielle Energie.

Energieerhaltung bedeutet mathematisch ausgedrückt - "Ableitung der Gesamtenergie nach der Zeit muss Null ergeben": \[ \frac{\text{d}W}{\text{d}t} ~=~ 0 \]

Egal wie lange Du wartest, Gesamtenergie bleibt immer gleich! Natürlich unter der Voraussetzung, dass keine äußeren Einflüsse auf das System wirken (z.B. äußere Wärmezufuhr, Kräfte etc.). Schauen wir uns nun an, ob die zeitliche Ableitung 0 ergibt...

Zuerst die kinetische Energie: \[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} m \, v^2 \]

Geschwindigkeit \( v \) ist eine zeitliche Ableitung des Ortes, schreiben wir das um: \[ W_{\text{kin}} ~=~ \frac{1}{2} m \, \left( \frac{ \text{d}x }{ \text{d}t } \right)^2 \]

Das Ganze abgeleitet nach der Zeit ergibt: \[ \frac{\text{d}W_{\text{kin}}}{\text{d}t} ~=~ \frac{ 1 }{ 2 } m * 2\frac{ \text{d}x }{ \text{d}t }*\frac{ \text{d}^{ 2 }x }{ \text{d}t^2 } ~=~ \frac{ 1 }{ 2 }m\,2v\,a \]

Bei der Ableitung wurde die Produktregel angewendet: äußere Ableitung \( v^{2}=\left( \frac{ \text{d}x }{ \text{d}t } \right)^{ 2 } = 2\frac{ \text{d}x }{ \text{d}t }=2v \) multipliziert mit der inneren Ableitung (Ableitung der Geschwindigkeit): \( \frac{dv}{dt}=\frac{ \text{d}^{ 2 }x }{ \text{d}t^{ 2 } } = a \), was der Beschleunigung \( a \) entspricht. \( \frac{ 1 }{ 2 }\) und \(2\) kürzen sich weg!

Jetzt noch die potentielle Energie nach der Zeit ableiten: \[ \frac{ \text{d}W_{\text{pot}} }{ \text{d}t } \]

Die potentielle Energie hängt aber nicht direkt von der Zeit, sondern vom Ort \( x \) ab. Der Ort ist zeitabhängig! Also betrachten wir sozusagen, die Änderung der potentiellen Energie bezüglich der zeitlichen Ableitung des Ortes: \[ \frac{ \text{d}W_{\text{pot}} }{\text{d}x} \, \frac{\text{d}x}{ \text{d}t} \]

Addieren wir nun die beiden zeitlichen Ableitungen der kinetischen und potentiellen Energie, so erhalten wir die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie: \[ \frac{\text{d}W}{dt} ~=~ m\,v\,a ~+~ \frac{\text{d}W_{\text{pot}}}{\text{d}x} \, v \]

Klammere die Geschwindigkeit aus: \[ \frac{\text{d}W }{\text{d}t} ~=~ v \, \left( ma + \frac{\text{d}W_{\text{pot}}}{\text{d}x} \right) \]

\( ma\) ist eine Kraft \(F\), welcher dem Gradienten \( \frac{\text{d}W_{\text{pot}}}{\text{d}x} = -F \) entgegen gerichtet ist. Einsetzen ergibt: \[ \frac{ \text{d}W }{ \text{d}t } ~=~ v \, \left( F - F \right) ~=~ 0 \]

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