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Herleitung Coulomb-Gesetz mittels 1. Maxwell-Gleichung

Gedachte Kugeloberfläche um eine Punktladung
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

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Im Folgenden wird das Coulomb-Gesetz aus der 1. Maxwell-Gleichung für elektrostatische elektrische Felder unter zuhilfenahme des Gauß-Integraltheorems hergeleitet.

Divergenz-Integraltheorem
Gauß-Integraltheorem veranschaulicht.

Das folgende Gauß-Integraltheorem funktioniert sowohl für bewegte als auch unbewegte Ladungen:

Satz von Gauss
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Das folgende Coulomb-Gesetz (mit einer im Koordinatenursprung platzierten Punktladung \( Q \)) funktioniert nur für unbewegte (stationäre) Ladungen, oder für Ladungen, die sich sehr sehr langsam bewegen:

Coulomb-Gesetz als Vektorgleichung
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Streng genommen lässt sich das Coulomb-Gesetz 2 nur dann aus dem Gauß-Integraltheorem 1 herleiten, wenn zusätzlich eine sphärische Symmetrie des elektrischen Feldes \( \boldsymbol{E} \) einer Punktladung angenommen wird.

Die Divergenz des E-Feldes auf der rechten Seite des Gauß-Integraltheorems 1, lässt sich mit der ersten Maxwell-Gleichung in differentieller Form \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) umschreiben:

Satz von Gauss mit eingesetzter ersten Maxwell-Gleichung
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Das Integral der Ladungsdichte \( \rho \) über das Volumen \( V \) in 3 ergibt die gesamte, von diesem Volumen eingeschlossene Ladung \( Q \), denn Ladungsdichte ist definiert als Ladung pro Volumen \( \rho = Q / V \). Gleichung 3 verwandelt sich also zu:

Flächenintegral des E-Feldes entspricht der eingeschlossenen Ladung
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Um das Flächenintegral auf der linken Seite von 4 zu berechnen, muss zuerst das Skalarprodukt \( \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \) berechnet werden. Dazu wird angenommen, dass das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) an jedem Punkt der Oberfläche \( A \) konstant ist. Dies ist gewährleistet, wenn eine radiale Symmetrie des elektrischen Feldes angenommen wird. Dann zeigt das elektrische Feld stets radial nach außen.

Gedachte Kugeloberfläche um eine Punktladung
Eine von einer gedachten Kugel eingeschlossene Punktladung. Der E-Feldvektor auf der Kugeloberfläche ist parallel zum Flächenelement.

Die Richtung des E-Feldes wird durch den radialen Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) in Kugelkoordinaten repräsentiert: \( \boldsymbol{E} ~=~ E \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \). Hierbei ist \( E := |\boldsymbol{E}| \) der Betrag des Feldvektors \( \boldsymbol{E} \).

Als nächstes rechnen wir das Skalarprodukt des E-Feldvektors mit dem infinitesimalen Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} \) aus:

Skalarprodukt zwischen E-Feld und Flächennormale
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Beim zweiten Schritt haben wir ausgenutzt, dass das Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} = \text{d}a \, \hat{\boldsymbol{a}} \) ebenfalls senkrecht auf einer radial symmetrischen Oberfläche steht und damit der Orthonormalenvektor \( \hat{\boldsymbol{a}} = \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) des Flächenelements parallel zum elektrischen Feld verläuft.

Setzen wir 5 in 4 ein und ziehen den konstanten Betrag \( E \) des elektrischen Feldes vor das Integral:

Elektrisches Feld aus dem Flächenintegral herausgezogen
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Das Flächenintegral in 6 entspricht - wegen der Kugelsymmetrie - dem Flächeninhalt einer Kugeloberfläche und beträgt damit \( A ~=~ 4\pi \, r^2 \):

E-Feld mal 4Pi mal Radius zum Quadrat ist gleich der Ladung durch elektrische Feldkonstante
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Der Betrag \(E\) des elektrischen Feldes ist definiert als (elektrische) Kraft \(F_{\text e}\) pro Ladung \(q\): \(E ~=~ \frac{}{q}\). Anders gesagt: Wird eine kleine Ladung \(q\) (klein, damit sie nicht zu stark das Feld \( E \) mit seinem eigenen E-Feld stört) irgendwo an einem Ort platziert, wo das elektrische Feld \(E\) herrscht. Dann erfährt diese Ladung eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \).

Setze den E-Feld-Betrag in Gl. 7 ein:

Kraft pro Ladung mal 4pi mal Radius zum Quadrat ist gleich Ladung durch elektrische Feldkonstante
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Stelle Gl. 8 nach der elektrischen Kraft um. Dann bekommst Du das gesuchte Coulomb-Gesetz, also den Betrag der elektrischen Kraft für eine Punktladung \( q \) in einem elektrischen Feld, das von einer anderen Ladung \( Q \) verursacht wird:

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Zusammen mit dem radialen Einheitsvektor \(\boldsymbol{\hat{e}}_{\text r}\) kannst du das Coulomb-Gesetz als Vektorgleichung schreiben:

Coulomb-Gesetz als Vektorgleichung
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