Herleitung Coulomb-Gesetz mittels 1. Maxwell-Gleichung

Im Folgenden wird das Coulomb-Gesetz aus der 1. Maxwell-Gleichung für elektrostatische elektrische Felder unter zuhilfenahme des Gauß-Integraltheorems hergeleitet.

Das folgende Gauß-Integraltheorem funktioniert sowohl für bewegte als auch unbewegte Ladungen:

Das folgende Coulomb-Gesetz (mit einer im Koordinatenursprung platzierten Punktladung \( Q \)) funktioniert nur für unbewegte (stationäre) Ladungen, oder für Ladungen, die sich sehr sehr langsam bewegen:

Streng genommen lässt sich das Coulomb-Gesetz 2 nur dann aus dem Gauß-Integraltheorem 1 herleiten, wenn zusätzlich eine sphärische Symmetrie des elektrischen Feldes \( \boldsymbol{E} \) einer Punktladung angenommen wird.

Die Divergenz des E-Feldes auf der rechten Seite des Gauß-Integraltheorems 1, lässt sich mit der ersten Maxwell-Gleichung in differentieller Form \(\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~=~ \frac{\rho}{\varepsilon_0}\) umschreiben:

Das Integral der Ladungsdichte \( \rho \) über das Volumen \( V \) in 3 ergibt die gesamte, von diesem Volumen eingeschlossene Ladung \( Q \), denn Ladungsdichte ist definiert als Ladung pro Volumen \( \rho = Q / V \). Gleichung 3 verwandelt sich also zu:

Um das Flächenintegral auf der linken Seite von 4 zu berechnen, muss zuerst das Skalarprodukt \( \boldsymbol{E} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \) berechnet werden. Dazu wird angenommen, dass das elektrische Feld \( \boldsymbol{E} \) an jedem Punkt der Oberfläche \( A \) konstant ist. Dies ist gewährleistet, wenn eine radiale Symmetrie des elektrischen Feldes angenommen wird. Dann zeigt das elektrische Feld stets radial nach außen.

Die Richtung des E-Feldes wird durch den radialen Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) in Kugelkoordinaten repräsentiert: \( \boldsymbol{E} ~=~ E \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \). Hierbei ist \( E := |\boldsymbol{E}| \) der Betrag des Feldvektors \( \boldsymbol{E} \).

Als nächstes rechnen wir das Skalarprodukt des E-Feldvektors mit dem infinitesimalen Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} \) aus:

Beim zweiten Schritt haben wir ausgenutzt, dass das Flächenelement \( \text{d}\boldsymbol{a} = \text{d}a \, \hat{\boldsymbol{a}} \) ebenfalls senkrecht auf einer radial symmetrischen Oberfläche steht und damit der Orthonormalenvektor \( \hat{\boldsymbol{a}} = \boldsymbol{\hat{e}}_{\text r} \) des Flächenelements parallel zum elektrischen Feld verläuft.

Setzen wir 5 in 4 ein und ziehen den konstanten Betrag \( E \) des elektrischen Feldes vor das Integral:

Das Flächenintegral in 6 entspricht - wegen der Kugelsymmetrie - dem Flächeninhalt einer Kugeloberfläche und beträgt damit \( A ~=~ 4\pi \, r^2 \):

Der Betrag \(E\) des elektrischen Feldes ist definiert als (elektrische) Kraft \(F_{\text e}\) pro Ladung \(q\): \(E ~=~ \frac{}{q}\). Anders gesagt: Wird eine kleine Ladung \(q\) (klein, damit sie nicht zu stark das Feld \( E \) mit seinem eigenen E-Feld stört) irgendwo an einem Ort platziert, wo das elektrische Feld \(E\) herrscht. Dann erfährt diese Ladung eine elektrische Kraft \( F_{\text e} \).

Setze den E-Feld-Betrag in Gl. 7 ein:

Stelle Gl. 8 nach der elektrischen Kraft um. Dann bekommst Du das gesuchte Coulomb-Gesetz, also den Betrag der elektrischen Kraft für eine Punktladung \( q \) in einem elektrischen Feld, das von einer anderen Ladung \( Q \) verursacht wird:

Zusammen mit dem radialen Einheitsvektor \(\boldsymbol{\hat{e}}_{\text r}\) kannst du das Coulomb-Gesetz als Vektorgleichung schreiben: