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Herleitung Doppelspalt-Formel

Doppelspaltexperiment - parallele Wellen - Gangunterschied
Level 2 (bis zur 13. Klasse)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

Video - Doppelspaltexperiment und wie Du damit die grundlegendste Lichteigenschaft herausfindest

Hier wollen eine Formel herleiten, mit der wir bei einem Doppelspaltexperiment die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts herausfinden können.

Betrachten wir ein Doppelspalt-Experiment, bei dem an einem Detektorschirm ein Interferenzmuster erzeugt wird.

  • Der senkrechte Abstand vom Doppelspalt zum Detektorschirm ist \( a \) und kann beispielsweise mit einem Zollstock bestimmt werden.

  • Der Abstand vom Hauptmaximum zu einem Interferenzstreifen ist \( x \) und kann beispielsweise mit einem Lineal gemessen werden. Beachte jedoch, dass Du immer genau von der Mitte des einen Streifens bis zur Mitte des anderen Streifens messen musst, denn nur beispielsweise genau in der Mitte des Lichtstreifens ist die Bedingung für konstruktive Interferenz erfüllt.

  • Der Abstand der beiden Spalte ist \( g \).

Abstand \( a \) und \( x \) bilden fast ein rechtwinkliges Dreieck. Vervollständige das Dreieck, indem Du die Hypotenuse \( h \) des Dreiecks dazu zeichnest. Die Hypotenuse zeigt hier an, unter welchem Winkel \( \theta \) irgendein Maximum oder Minimum liegt; je nach dem, bis zu welchem Maximum bzw. Minimum Du den Abstand \( x \) gemessen hast.

Illustration : Skizze zur Herleitung der Doppelspalt-Formel.

Damit die Formel am Ende einfach wird, machen wir zwei Näherungen.

  • Näherung #1: Der Abstand \(a \) zwischen dem Schirm und dem Doppelspalt ist viel größer, als der Abstand \( x \) der Streifen auf dem Schirm: \(a ~\gt\gt~ x\)

  • Näherung #2: Der Spaltabstand \( g \) ist viel kleiner als der Spalt-Schirm-Abstand \( a \): \(a ~\gt\gt~ g\)

Wegen der ersten Näherung ist der von den Seiten \( a \) und \(x \) eingeschlossene Winkel \( \theta \) sehr klein. Damit ist die Länge der Hypotenuse \( h \) ungefähr genauso groß wie der Spalt-Schirm-Abstand \( a \): \( a \approx h \). Bei \( \theta = 0 \) würden sie gleich sein: \( h = a \). Der Sinus des Winkels \(\theta\) ist die Gegenkathete durch Hypotenuse, wobei wir hier \(a\) als die Hypotenuse annehmen:

Sinus des Winkels ist Streifenabstand durch Spalt-Schirm-Abstand
Anker zu dieser Formel

Betrachten wir als nächstes ein anderes rechtwinkliges Dreieck:

Illustration : Eingezeichnet sind der Gangunterschied \( \Delta s \). Spaltabstand \( g \). Und der Winkel \( \beta \), der bei parallel auslaufenden Wellen dem Winkel \( \theta \) entspricht. Wenn die Wellen nicht parallel verlaufen, dann gilt nur \( \beta \approx \theta \).

Da der Detektorschirm sehr weit weg vom Doppelspalt platziert ist und im Vergleich zum Spaltabstand \(g\) deutlich größer ist, verlaufen die beiden Wege zweier Lichtwellen, nach dem sie durch die beiden Spalte gegangen sind, nah am Doppelspalt, näherungsweise parallel (sie wären exakt parallel, wenn der Schirm unendlich weit weg vom Doppelspalt stünde). Hier nutzen wir also die zweite Näherung aus.

In dem rechtwinkligen Dreieck (siehe Illustration 2) bezeichnen wir den Winkel gegenüber dem Gangunterschied \( \Delta s \) mit \( \beta \). Die Hypotenuse ist hier der Spaltabstand \( g \).

Durch eine einfache geometrische Überlegung kannst du herausfinden, dass die Winkel \( \theta \) und \( \beta \) etwa gleich groß sind: \( \beta \approx \theta \) (sie sind gleich \( \theta = \beta \), wenn die Lichtwege hinter dem Doppelspalt genau parallel zueinander verlaufen). Damit ist der Sinus des Winkels \(\theta\) Gegenkathete (Gangunterschied) durch die Hypotenuse (Spaltabstand):

Sinus des Winkels ist gleich der Gangunterschied durch Spaltabstand
Anker zu dieser Formel

Setze die beiden Näherungen 1 und 2 gleich. Damit eliminierst du den unbekannten Winkel \(\theta\) und bekommst die gesuchte Formel (wir schreiben ungefähr gleich für die meisten Zwecke als gleich):

Doppelspalt-Formel
Anker zu dieser Formel
  • Betrachtest Du den Abstand vom Hauptmaximum zu einem hellen Interferenzstreifen, dann ist der Gangunterschied \( \Delta s = m \, \lambda \). Dabei ist \( m = 0,1,2,...\) die Ordnungszahl. Also wird 3 zu:

    Doppelspalt-Formel für konstruktive Intereferenz
    Anker zu dieser Formel
  • Für den Abstand vom Hauptmaximum zu einem dunklen Streifen, benutze die Bedingung für destruktive Interferenz: \( \Delta s = (m - 1/2) \, \lambda \), mit \( m = 1,2,...\):

    Doppelspalt-Formel für destruktive Interferenz
    Anker zu dieser Formel