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Herleitung Doppelspaltexperiment

Dein Ziel ist es, mithilfe des Doppelspaltexperiments die Wellenlänge \( \lambda \) des verwendeten Lichts zu bestimmen!

Eingezeichnet sind der Abstand \( a \) zwischen dem Doppelspalt und dem Schirm. Hypotenuse \( h \). Interferenzstreifen-Abstand \( x \) und der vom rechtwinkligen Dreieck eingeschlossene Winkel \( \theta \).

Was kannst Du denn am Aufbau des Doppelspaltexperiments leicht messen? Du kannst zum Beispiel den Abstand \( a \) vom Doppelspalt zum Schirm mit einem Zollstock ausmessen. Auch den Abstand \( x \) vom Hauptmaximum zu einem Interferenzstreifen kannst Du – z.B. mit einem Lineal - messen. Beachte jedoch, dass Du immer genau von der Mitte des einen Streifens bis zur Mitte des anderen Streifens messen musst, denn nur beispielsweise genau in der Mitte des Lichtstreifens ist die Bedingung für konstruktive Interferenz erfüllt. Das gleiche gilt für nicht beleuchtete Interferenzstreifen – immer schön von der Mitte aus messen!

Strecke \( a \) und \( x \) bilden schon fast ein rechtwinkliges Dreieck. Vervollständige das Dreieck, indem Du die Hypotenuse \( h \) des Dreiecks dazu zeichnest. Diese zeigt Dir, unter welchem Winkel \( \theta \) irgendein Maximum oder Minimum liegt; je nach dem, bis zu welchem Maximum bzw. Minimum Du den Abstand \( x \) gemessen hast.

Damit es nicht zu kompliziert wird, machen wir zwei Näherungen! Sie sind berechtigt, wenn wir ein paar Dinge beachten. Die erste Näherung kommt folgendermaßen zustande: Der Abstand \(a \) zwischen dem Schirm und dem Doppelspalt ist viel größer, als der Abstand \( x \) der Streifen auf dem Schirm:1\[ a ~\gt\gt~ x \]

Durch die Näherung 1 wird der von \( a \) und \(x \) eingeschlossene Winkel \( \theta \) sehr klein. Und, wenn der Winkel kleiner wird, dann nähert sich die Länge der Hypotenuse \( h \) dem Abstand \( a \) an: \( a \approx h \). Bei \( \theta = 0 \) würden sie sogar gleich sein: \( h = a \). Daraus ergibt sich die Näherung: 2\[ \sin(\theta) ~=~ \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ~\approx~ \frac{x}{a} \]

Die zweite Näherung ist: der Spaltabstand \( g \) ist viel kleiner als der Abstand \( a \):3\[ a ~\gt\gt~ g \]

Eingezeichnet sind der Gangunterschied \( \Delta s \). Spaltabstand \( g \). Und der Winkel \( \beta \), der bei parallel auslaufenden Wellen dem Winkel \( \theta \) entspricht. Wenn die Wellen nicht parallel auslaufen, dann gilt nur \( \beta \approx \theta \).

Wenn das der Fall ist, dann verlaufen die Wege der Lichtwellen, nach dem sie durch die Spalte gegangen sind, nah am Doppelspalt einigermaßen parallel. In dem kleineren Dreieck am Doppelspalt bezeichnen wir den Winkel mit \( \beta \), von dem die Gegenkathete dem Gangunterschied \( \Delta s \) entspricht. Und die Hypotenuse ist der Spaltabstand \( g \). Aus diesem Dreieck kannst Du also ablesen: 4\[ \sin(\beta) ~=~ \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} ~\approx~ \frac{\Delta s}{g} \]Durch eine einfache geometrische Überlegung findest Du heraus, dass die Winkel \( \theta \) und \( \beta \) etwa gleich groß sind! Sie sind sogar genau groß \( \theta = \beta \), wenn die Lichtwellenwege hinter dem Doppelspalt genau parallel zueinander verlaufen. Wenn die Lichtwellenstrecken (schwarze Linien am nah Doppelspalt) nur ungefähr parallel verlaufen, dann folgt aus 4 die Näherung (wenn \( \theta = \beta \), dann gilt sogar die Gleichheit):5\[ \sin(\theta) ~\approx~ \frac{\Delta s}{g} \]

Setze nur noch 2 und 5 gleich und Du bekommst die Doppelspalt-Formel: 6\[ \frac{\Delta s}{g} ~\approx~ \frac{x}{a} \]

Betrachtest Du den Abstand vom Hauptmaximum zu einem Lichtstreifen, dann ist der Gangunterschied \( \Delta s = m \, \lambda \). Dabei ist \( m = 0,1,2,...\) die Ordnungszahl. Also wird 6 für Lichtstreifen:7\[ \frac{m \, \lambda}{g} ~\approx~ \frac{x}{a} \]

Und für den Abstand zu einem dunklen Streifen benutzt Du die Bedingung für destruktive Interferenz: \( \Delta s = (m - 1/2) \, \lambda \), mit \( m = 1,2,...\). Einsetzen in 6 bekommst Du die Formel, wenn Du den Abstand \( x \) bis zu einem dunkel Interferenzstreifen misst:8\[ \frac{(m - 1/2) \, \lambda}{g} ~\approx~ \frac{x}{a} \]

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