Herleitung: Dispersionsrelation der Gitterschwingung - einatomige Basis (1D)

Betrachte eine 1-atomige, unendlich ausgedehnte, eindimensionale Ketten (eindimensionale Netzebenen), die einen Abstand \( a \) zueinander haben. Das kann beispielsweise ein Kristallgitter sein, wobei an jedem Gitterpunkt ein Atom sitz.

Wird eines der Atome senkrecht zur Kette ausgelenkt (longitudinal), dann spüren all die anderen Atome eine Kraft, die sie ebenfalls aus ihrer Ruhelage auslenkt. Sie werden jedoch nicht in irgendeine Richtung ausgelenkt, sondern ebenfalls senkrecht zur Netzebene. Warum? Wenn Du die beiden Kräfte, die auf zwei gegenüberliegende Atome in einer Kette wirken, anschaust, dann wirst Du sehen, dass die Projektion der beiden Kräfte auf die Netzebene sich genau weghebt, übrig bleibt nur die senkrechte Komponente der Kraft. Eine analoge Überlegung gilt auch für rein paralelle Auslenkung eines Atoms aus seiner Ruhelage (transversal). Für eine beliebige Auslenkung des Atoms gilt das natürlich nicht, deshalb betrachten wir nur den einfachen Fall einer longitudinalen Gitterschwingung.

Dein Ziel ist es die Dispersionsrelation \( \omega(k) \) herauszufinden, mit der Du die Schwingung der Atomkette beschreiben kannst. Hierbei ist \( \omega \) die Frequenz und \( k \) die Wellenzahl der Schwingung. Anders gesagt: Wie hängen Frequenz und Wellenlänge zusammen? Bei einer elektromagnetischen Welle ist es ein linearer Zusammenhang: \( \omega(k) = c \, k \), mit \( c \) als Lichtgeschwindigkeit. Bei einer einatomigen Kette weißt Du es noch nicht...

Wird eine Netzebene \( q ~=~ n+z \) um den Betrag \( u_{n+z} \) orthgonal ausgelenkt (\(q,z \in \mathbb{Z} \) und \(n \in \mathbb{N} \)), dann hat es eine Auswirkung auf die Netzebene \( n \), die eine Auslenkung \( u_n \) erfährt. Dabei wollen wir die wirkende Kraft \( F_n \) auf die Netzebene \( n \), durch das Federgesetz beschreiben:1\[ F_n ~=~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, (u_{n+z} - u_n) \]mit der Federkonstante \( D_z \), die die Netzebenen \( q \) und \( n \) miteinander koppelt.

Setze 1 mit der Trägheitskraft \( m \, \frac{\partial^2 u_n}{\partial t^2} \) gleich, dann bekommst Du eine Differentialgleichung 2. Ordnung:2\[ m \, \frac{\partial^2 u_n}{\partial t^2} ~=~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, (u_{n+z} - u_n) \]hierbei ist \( m \) die Masse eines Atoms in der Kette.

Die Lösung der DGL 2 sind harmonische Funktionen. Der Lösungsansatz ist also:3\[ u_{n+z} ~=~ C \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kza - \omega t)} \]wobei \( C \) eine zu bestimmende Konstante ist, \(k\) ist der Wellenvektor und \( \omega \) die Frequenz der Welle, die durch die Schwingung der Netzebenen entsteht.

Setze 3 in 2 ein:4\[ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \, C \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kza-\omega t)} ~-~ \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \right) ~=~ -m \, C \, \omega^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \]

Dabei kürzt sich \( C \, \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega t} \) weg und Du bekommst:5\[ -m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} kza} ~-~ 1 \right) ~=~ 0 \]

Da die Kette symmetrisch ist, gilt \( D_z = D_{-z} \). Das heißt, sowohl die Netzebene \( n+z \) als auch die Netzebene \( n-z \) sind gleich mit der Netzebene \( n \) gekoppelt. Mit dieser Information lässt sich 5 weiter vereinfachen:6\[ -m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \mathrm{e}^{\mathrm{i} kza} ~+~ \mathrm{e}^{\mathrm{i}kza} ~-~ 2 \right) ~=~ 0 \]

Nun kannst Du die Exponentialfunktionen in 6 mithilfe der Eulerformel umschreiben:7\[ -m \, \omega^2 ~-~ \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \cos(kza) + \mathrm{i}\sin(kza) + \cos(-kza) + \mathrm{i}\sin(-kza) ~-~ 2 \right) ~=~ 0 \]

Nutze die Symmetrieeigenschaften von Cosinus und Sinus aus, sodass sich dann 7 zusammenfassen lässt:8\[ -m \, \omega^2 ~-~ 2\,\underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( \cos(kza) ~-~ 1 \right) ~=~ 0 \]

Da Du die Dispersionsrelation \( \omega(k) \) suchst, musst Du 8 nach der Kreisfrequenz \( \omega \) umstellen:9\[ \omega(k) ~=~ \sqrt{\frac{2}{m} \, \underset{z}{\boxed{+}} \, D_z \left( 1 ~-~ \cos(kza) \right)} \]

Die Dispersionsrelation 9 berücksichtigt auch die Wechselwirkung zwischen den übergreifenden Netzebenen. Wenn Du nur die Wechselwirkung zwischen benachbarten Netzebenen berücksichtigst, fallen alle Kopplungskonstanten \( D_z \) mit \( z \neq 1 \) weg. Das heißt eine Auslenkung der Netzebene \( q=n+2\) hat keine Auswirkung auf die Netzebene \( n \). Übrig bleibt nur Kopplungskonstante \( D_1 \), die wir einfach \( D \) nennen:10\[ \omega(k) ~=~ \sqrt{\frac{2 D}{m} \left( 1 ~-~ \cos(ka) \right)} \]

Illustration bekommen

Mithilfe der Doppelwinkelfunktion \( \sin^2(x) ~=~ \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \) lässt sich 10 folgendermaßen schreiben:

An der Dispersionsrelation 11 siehst Du, dass sie wegen \( \sin^2 \) symmetrisch und unabhängig von der Ausbreitungsrichtung der Welle ist: \( \omega(k) = \omega(-k) \).