Herleitung: Dispersionsrelation der Gitterschwingung - zweiatomige Basis (1D)

Das Ziel ist es eine Dispersionsrelation \( \omega_{\pm}(k) \) für eine eindimensionalen unendlichen Kristall mit zweiatomiger Basis herzuleiten. Die eine Masse ist \( m_1 \) und die andere \( m_2 \).

Genauso wie bei der Herleitung der Dispersionsrelation für eine einatomige Basis, machen wir die Näherung, dass eine Auslenkung der Netzebene \(n\) einen Einfluss nur auf die Netzebene \(n+1\) und \(n-1\) hat; aber nicht z.B. auf die Netzebene \(n+2\) usw. Das heißt: Wir betrachten nur die Wechselwirkung mit den benachbarten Netzebenen! Außerdem sollen die Auslenkungen orthogonal zur jeweiligen Netzebene sein.

Mit \( u_n \) bezeichnen wir die Auslenkung der \(n\)-ten Netzebene mit den Massen \(m_1\) aus der Ruhelage. Mit \(y_n\) bezeichnen wir die Auslenkungen der \(n\)-ten Netzebene, aber diesmal mit den Massen \(m_2\).

Mit einer Skizze zum jeweiligen Problem kommst Du drauf, dass es zwei Differentialgleichungen zu lösen gibt. Eine DGL für die Netzebene \( n \) mit den Massen \( m_1 \) und ihre Wechselwirkung mit den benachbarten Netzebenen. Sowie die andere DGL für die Netzebene \( n \), aber mit den Massen \(m_2\); und ihre Wechselwirkung mit den benachbarten Netzebenen:1\[ m_1 \, \frac{\partial^2 u_{n}}{\partial t^2} ~=~ D*(y_n ~-~ u_n) ~+~ D*(y_{n-1} ~-~ u_n) \]2\[ m_2 \, \frac{\partial^2 y_{n}}{\partial t^2} ~=~ D*(u_n ~-~ y_n) ~+~ D*(u_{n+1} ~-~ y_n) \]

Dabei ist \( D \) die Federkonstante, die zwei benachbarte Netzebenen koppelt. Lass uns zuerst die Klammern auf der rechten Seite ausmultiplizieren und dann zusammenfassen. Anschließend bringen wir alles auf die linke Seite. Dann ergibt sich:1.1\[ m_1 \, \frac{\partial^2 u_{n}}{\partial t^2} ~+~ D*(2u_n ~-~ y_n ~-~ y_{n-1}) ~=~ 0 \]2.1\[ m_2 \, \frac{\partial^2 y_{n}}{\partial t^2} ~+~ D*(2y_n ~-~ u_n ~-~ u_{n+1}) ~=~ 0 \]

Als Lösungsansatz für die beiden DGL 1.1 und 2.1 nehmen wir:1.2\[ u_n(k) ~=~ \frac{1}{\sqrt{m_1}} \, C_u \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kna - \omega t)} \]2.2\[ y_n(k) ~=~ \frac{1}{\sqrt{m_2}} \, C_y \mathrm{e}^{\mathrm{i}(kna - \omega t)} \]

Dabei ist \( k \) die Wellenzahl und \( \omega \) die Frequenz der sich ausbreitenden Welle im Kristall. \(C_u \) und \( C_y\) sind Konstanten.

Lass uns zuerst 1.1 verarzten. Setze den Ansatz 1.2 ein (wobei Du bei einem Summand zwei Mal ableiten musst):1.3\begin{align*} m_1 \, \frac{-\omega^2 \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~+~ 2D\, \frac{C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}ka - \mathrm{i}\omega t} ~=~ 0 \end{align*}

Dabei kannst Du \( \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \) ausklammern und dadurch dividieren:1.4\[ m_1 \, \frac{-\omega^2 \, C_u}{\sqrt{m_1}} ~+~ \frac{2D\, C_u}{\sqrt{m_1}} ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka} ~=~ 0 \]

Klammere ein paar Dinge aus:1.5\[ \frac{C_u}{\sqrt{m_1}} \, (2D - \omega^2 \, m_1) ~-~ \frac{D \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, (1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka}) ~=~ 0 \]

Als nächstes multipliziere 1.5 mit \( 1/\sqrt{m_1} \) und stelle ein bisschen für die Übersichtlichkeit um:1.6\[ \left(\frac{2D}{m_1} - \omega^2\right) \, C_u ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \, \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_y ~=~ 0 \]

Soweit so gut. Analog gehst Du mit 2.1 vor:2.3\begin{align*} m_2 \, \frac{-\omega^2 \, C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~+~ \frac{2D\,C_y}{\sqrt{m_2}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \\\\ ~-~ \frac{D \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} & ~-~ \frac{D \, C_u}{\sqrt{m_1}} \, \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t}\,\mathrm{e}^{ika} ~=~ 0 \end{align*}

Klammere \( \mathrm{e}^{\mathrm{i}kna - \mathrm{i}\omega t} \) aus und teile durch diesen Ausdruck. Multipliziere anschließend mit \( 1/\sqrt{m_2} \):2.4\[ \left( \frac{2D}{m_2} - \omega^2 \right) \, C_y ~-~ \frac{D}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \left( 1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} \right) \, C_u ~=~ 0 \]

Du hast nun zwei gekoppelte Differentialgleichungen 1.6 und 2.4, die Du in der Matrixschreibweise ausdrücken kannst:3\[ \left(\begin{array}{c} \frac{2D}{m_1}-\omega^2 & -\frac{D(1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \\ -\frac{D(1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} & \frac{2D}{m_2}-\omega^2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}C_u\\\\ C_y\end{array}\right) ~=~ \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right) \]

Für beliebige \( C_y\) und \(C_u \) muss die Determinante der obigen Matrix Null sein, damit die Eigenwertgleichung 3 mit Eigenwert \( 0 \) erfüllt ist.

Determinante dieser Matrix ist leicht anzugeben (über Kreuz die Matrixelemente multiplizieren):5\[ \left( \frac{2D}{m_1} - \omega^2 \right) \, \left( \frac{2D}{m_2} - \omega^2 \right) ~-~ \frac{D \, (1+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} \, \frac{D \, (1+\mathrm{e}^{-\mathrm{i}ka})}{\sqrt{m_2 \, m_1}} ~=~ 0 \]

Multipliziere 5 aus:6\[ \frac{4D^2}{m_1 \, m_2} ~-~ \frac{2D}{m_1} \, \omega^2 ~-~ \frac{2D}{m_2} \, \omega^2 ~+~ \omega^4 ~-~ \frac{D^2}{m_1 \, m_2}(2+\mathrm{e}^{\mathrm{i}ka} + \mathrm{e}^{\mathrm{i}ka}) ~=~ 0 \]

Sortiere 6 nach dem Grad der Frequenz \( \omega \). Außerdem kannst Du die Exponentialfunktionen mittels der Eulerformel umschreiben:7\[ \omega^4 ~-~ 2D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) \, \omega^2 ~+~ \frac{2D^2}{m_1 \, m_2} \, \left( 1-\cos(ka) \right)~=~ 0 \]

Substituiere \( \omega^4 := \omega_{\pm}^2 \), dann hast Du eine quadratische Gleichung, die Du mit der p-q-Formel lösen kannst. Dann bekommst Du zwei Lösungen:8\[ \omega_{\pm}^2 ~=~ D \, \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) ~\pm~ D \, \sqrt{\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)^2 ~-~ \frac{2}{m_1 \, m_2}\,\left( 1-\cos(ka) \right) } \]

Die Lösung 8 könntest Du noch mit der trigonometrischen Beziehung \( \sin^2(x) ~=~ \frac{1}{2}(1-\cos(2x)) \) umschreiben zu:

Illustration bekommen

Nur positive Frequenzen sind physikalisch sinnvoll, d.h., wenn Du die Wurzel in 9 ziehst, bekommst Du zwei Lösungen. Lösung \( \omega_- \) wird als akustischer Dispersionszweig und \( \omega_+ \) als optischer Dispersionszweig bezeichnet. Warum werden sie so bezeichnet?