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Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Herleitung: Quantenmechanischer harmonischer Oszillator (algebraische Methode)

Das Ziel ist es die Wellenfunktionen \( \psi(x) \) und die erlaubten Energieniveaus \( W_n \) von einem Teilchen (z.B. Elektron), das sich in einem parabolischen Potential \( W_{\text{pot}} \) (harmonisches Potential) befindet, herzuleiten. Und zwar nicht analytisch (d.h. mit der Brechstange), sondern algebraisch (d.h. raffiniert) mithilfe der sogenannten Auf- und Absteigeoperatoren.

Um die Wellenfunktionen \( \psi \) herauszufinden, muss die Schrödinger-Gleichung gelöst werden und zwar für eine parabolische potentielle Energiefunktion:1\[ W_{\text{pot}}(x) ~=~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, x^2 \]

Da das Potential 1 zeitunabhängig ist, musst du lediglich die stationäre Schrödinger-Gleichung lösen:2\[ \hat{H} \, \psi(x) ~=~ W \, \psi(x) \]

In 2 ist \( \hat{H} \) der Energie-Operator ("Hamiltonian"), der sich aus dem Operator der kinetischen Energie und der potentiellen Energie 1 zusammensetzt:3\[ \hat{H} ~=~ \frac{\textbf{p}^2}{2m} ~+~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, \textbf{x}^2 \]und \( W \) ist die dazugehörige Gesamtenergie (als Eigenwert der Eigenwertgleichung 2). Beachte hierbei, dass wir in 3 den klassischen Impuls \( p \) und Ort \( x \) durch die quantenmechanischen Operatoren \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) ersetzt haben.

Setze den Hamilton-Operator 3 in die Eigenwertgleichung 2 ein, dann bekommst du die zu lösende Schrödinger-Gleichung:4\[ \frac{\textbf{p}^2}{2m}\, \psi(x) ~+~ \frac{m \, \omega^2}{2} \, \textbf{x}^2\, \psi(x) ~=~ W\, \psi(x) \]

Lass uns zuerst den Energieoperator 3 umschreiben, damit die Eigenwertgleichung 4 einfacher wird. Der Trick ist: Beim Energieoperator 3 den Energieterm auszuklammern, sodass dann steht: "Energie MAL dimensionsloser Faktor". Dazu müssen wir uns erstmal fragen, welche physikalischen Größen hier relevant sind. Ganz klar:

  • \( \hbar \) - wegen Quantenmechanik. Sie ist von der Dimension \([ p \, x ]\) (siehe die Unbestimmtheitsrelation).
  • \( m \) - weil das betrachtete Teilchen eine Masse hat.
  • \( \omega \) - weil das Teilchen im parabolischen Potential schwingt. Sie ist von der Dimension \([ \frac{1}{t} ]\) (\(t\) ist die Zeit).

Daraus kannst Du die Dimension für \( [p^2] = [\hbar \, m \, \omega]\) und \( [x^2] = [\frac{\hbar}{m \, \omega}]\) zusammenbasteln. Daraus wiederum kannst Du die Energieskala \( [W_0] = [\hbar \, \omega] \), sowie Längenskala \( [x_0] = [\sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}}] \) und Impulsskala \( [p_0] = [\sqrt{2\hbar \, m \, \omega}] \). Außerdem werden wir später \( [p_0 \, x_0] = [2\hbar] \) brauchen.

Mit dieser Überlegung kannst Du den Energieoperator 3 folgendermaßen schreiben:5\[ \hat{H} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} ~+~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} \right) \]

Jetzt hast Du einen Ausdruck 5 bei dem die Energie ausgeklammert ist. Der Ausdruck in der Klammer ist dimensionslos und sieht so aus, als könnte man den faktorisieren. Beispiel: \(a^2 + b^2 = (a-\textbf{i}b)(a+\textbf{i}b)\). Leider sind \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) keine komplexen Zahlen wie im Beispiel, sondern Operatoren. Ob für sie die Faktorisierung auch funktioniert, musst Du erst überprüfen. Wir beginnen rückwärts:6\[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~=~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} + \textbf{i}\frac{\textbf{x} \, \textbf{p}}{2\hbar} - \textbf{i}\frac{\textbf{p} \, \textbf{x}}{2\hbar} + \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} \]

Hierbei wurde \( \textbf{i}^2 = -1 \) und \( [p_0 \, x_0] = [2\hbar] \) verwendet. Beachte außerdem, dass Du die Operatoren \( \textbf{p} \) und \( \textbf{x} \) nicht einfach so untereinander vertauschen darfst! Du darfst sie nur vertauschen, wenn der Ort-Impuls-Kommutator \( [\textbf{x}, \textbf{p}] \) verschwindet. Da es sich aber in diesem Fall beim Kommutator von Impuls- und Ortsoperator handelt, wissen wir, dass er auf gar keinen Fall verschwindet, sondern folgenden Wert hat:7\[ [\textbf{x}, \textbf{p}] ~=~ \textbf{x}\,\textbf{p} - \textbf{p}\,\textbf{x} = \textbf{i}\hbar \]

Wenn Du in der Gleichung 6 den Ausdruck \( \textbf{i}\frac{1}{2\hbar} \) ausklammerst, dann wirst Du dort genau den Kommutator 7 wiederfinden. Setze also 7 in 6 ein:8\[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~=~ \frac{\textbf{x}^2}{x^2_0} + \frac{\textbf{p}^2}{p^2_0} - \frac{1}{2} \]

Wie Du an 8 siehst, ergibt die Faktorisierung eine zusätzliche \( -\frac{1}{2} \). Setze nun 8 in 5 ein:9\[ \hat{H} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) ~+~ \frac{1}{2} \right) \]

Nun definieren wir den sogenannten Besetzungszahloperator:10\[ \textbf{n} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Und wir definieren ebenfalls den sogenannten Aufsteigeoperator:11\[ \textbf{a}^{\dagger} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~-~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Und sogenannten Absteigeoperator:12\[ \textbf{a} ~:=~ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \]

Warum sie so heißen, wird Dir klar, wenn wir bei den erlaubten Energieniveaus angekommen sind. Kürze also 9 mit der Definition 10 ab:13\[ \hat{H} ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} ~+~ \frac{1}{2} \right) \]

Damit ist das Eigenwertproblem 2 auf das Finden der Eigenwerte von \( \textbf{n} \) reduziert.

Sei nun \( \psi_n \) Eigenfunktion zum Eigenwert \( n \), das heißt:14\[ \textbf{n} \, \psi_n ~=~ n \, \psi_n \]

Kann der Eigenwert \( n \) negativ sein? Nein, denn wegen:14.2\[ \int \psi^*_n \, \textbf{n} \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ \int \psi^*_n \, \textbf{a}^{\dagger}\textbf{a} \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ \int \textbf{a}\, \psi^*_n ~ \textbf{a} \, \psi_n \, \text{d}x \geq 0 \]muss das folgende Integral (und damit auch \( n \)) ebenfalls positiv sein:14.2\[ \int \psi^*_n \, \textbf{n} \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ n \int \psi^*_n \, \psi_n \, \text{d}x ~\geq~ 0 \]

Der kleinsmögliche Eigenwert \( n \) des Besetzungszahloperators \( \textbf{n} \) ist \( n = 0 \).

Wenn Du den Aufsteigeoperator \( \textbf{a}^{\dagger} \) auf \( \psi_n \) anwendest, bekommst Du die Eigenfunktion \( \psi_{n+1} \) zum Eigenwert \( n + 1 \):15\begin{align*} \textbf{n} \, \psi_{n+1} & ~=~ \textbf{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \,\psi_n \\\\ & ~=~ \left( [\textbf{n} ,\, \textbf{a}^{\dagger}] ~+~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{n} \right) \, \psi_n \\\\ & ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \, \psi_n ~+~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{n} \, \psi_n \\\\ & ~=~ (n+1) \, \textbf{a}^{\dagger} \, \psi_n \\\\ & ~=~ (n+1) \, \psi_{n+1} \end{align*}

Hierbei wurden die Kommutatorrelationen \( [\textbf{n} ,\, \textbf{a}^{\dagger}] ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \) und \( [\textbf{n} ,\, \textbf{a}] ~=~ -\textbf{a} \).

Man kann auch analog zeigen, dass \( \textbf{a} \, \psi_n \) die Eigenfunktion zum Eigenwert \(n-1\) ist. Logischerweise kommst Du irgendwann beim Eigenwert \( n = 0 \) an, wenn Du nacheinander den Absteigeoperator \( \textbf{a} \) anwendest; denn negative \( n \) gibt es ja nicht.

Die Eigenfunktion \( \psi_0 \) zum Eigenwert \( n = 0 \) nennen wir Grundzustandswellenfunktion.

Energieniveaus

Ohne die Differentialgleichung 4 lösen zu müssen, kannst Du mit dem obigen Wissen ganz einfach die Grundzustandsenergie herausfinden. Bedenke, dass eine Anwendung des Absteigeoperators auf die Grundzustandswellenfunktion Null ergibt, weil kleiner als \( n = 0 \) gibts nicht:16\[ \textbf{n} \psi_{0} ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \, \textbf{a} \psi_0 ~=~ \textbf{a}^{\dagger} \cdot 0 ~=~ 0 \]

Mithilfe von 13 und 16 lautet die Eigenwertgleichung:17\begin{align*} \hat{H} \, \psi_0 & ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} + \frac{1}{2} \right) \psi_0 \\\\ & ~=~ \hbar \, \omega \, \left( 0 + \frac{1}{2} \right) \psi_0 \\\\ & ~=~ \frac{1}{2} \hbar \, \omega \psi_0 \end{align*}

Damit ist der Eigenwert von \( \psi_0 \), also die Grundzustandsenergie:18\[ W_0 ~=~ \frac{1}{2} \hbar \, \omega \]

Analog bekommst Du den ersten angeregten Energiezustand \( W_1 \) durch Ablesen des Eigenwerts der folgenden Eigenwertgleichung:19\begin{align*} \hat{H} \, \psi_1 & ~=~ \hbar \, \omega \, \left( \textbf{n} + \frac{1}{2} \right) \psi_1 \\\\ & ~=~ \hbar \, \omega \, \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \psi_1 \\\\ & ~=~ \frac{3}{2} \hbar \, \omega \, \psi_1 \end{align*}

Einige äquidistante diskrete Energieniveaus des harmonischen Oszillators.

Allgemein bekommst Du einen beliebigen Energiezustand \( W_n \) (Eigenwert) durch die Anwendung des Aufsteigeoperators wie in 16:

Energien - harmonischer Oszillator20\[ W_n ~=~ \hbar \, \omega \, \left( n + \frac{1}{2} \right) \]

Wellenfunktionen

Nun musst Du noch die konkreten Wellenfunktionen \( \psi_n \) herausfinden. Es reicht beispielsweise die Grundzustandswellenfunktion \( \psi_0 \) zu bestimmen, um daraus mithilfe des Aufsteigeoperators all die anderen Wellenfunktionen zu berechnen.

Lass uns also \( \psi_0 \) bestimmen. Durch Anwedung des Absteigeoperators \( \textbf{a} \) auf \( \psi_0 \) bekommst Du natürlich:21\[ \textbf{a} \, \psi_0 ~=~ 0 \]

Setze die Definition 12 von \( \textbf{a} \) in 21 ein:22\[ \left( \frac{\textbf{x}}{x_0} ~+~ \textbf{i}\frac{\textbf{p}}{p_0} \right) \psi_0 ~=~ 0 \]

Jetzt musst Du die Operatoren konkret einsetzen. Also der Ortsoperator ist die Ortskoordinate selbst \( \textbf{x} = x \) und der Impulsoperator ist \( \textbf{p} = \frac{\hbar}{\textbf{i}} \, \partial_x \) in Ortsdarstellung. Wenn Du das in 22 einsetzt, bekommst Du:23\[ \left( \frac{x}{x_0} ~+~ \frac{\hbar}{p_0} \partial_x \right) \psi_0 ~=~ 0 \]

Multipliziere 23 mit \( \frac{p_0}{\hbar} \) und setze \( p_0 = \frac{2\hbar}{x_0} \) ein:24\[ \left( \frac{2}{x^2_0} \, x ~+~ \partial_x \right) \psi_0 ~=~ 0 \]

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Gauß-Funktion:25\[ \psi_0 ~=~ C_0 \, e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \]

Bestimme den Koeffizienten \( C_0 \) mithilfe der Normierungsbedingung und durch Einsetzen von 25:26\[ 1 ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} \psi^*_0 \, \psi_0 \, \text{d}x ~=~ \int_{-\infty}^{\infty} C_0^2 \, e^{-\frac{2x^2}{x_0^2}} \, \text{d}x ~=~ C_0^2 \, \sqrt{\frac{\pi}{2}} \, x_0 \]

Da es sich dabei um ein Gauß-Integral handelt, wurde die entsprechende, wohlbekannte Lösung benutzt. Stelle nur noch 26 nach \( C \) um und setze \( C \) in 25 ein, dann bekommst Du:27\[ \psi_0 ~=~ \left( \frac{2}{\pi} \right)^{1/4} \, \left( \frac{1}{x_0} \right)^{1/2} \, e^{-\frac{x^2}{x_0^2}} \]

Benutze nur noch die Definition von \(x_0 = \sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}}\):

Normierte Grundzustandswellenfunktion28\[ \psi_0 ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]

Aus der Grundzustandswellenfunktion kannst Du weitere Zustände finden, in dem Du den Aufsteigeoperator \( \textbf{a}^{\dagger} \) auf \( \psi_0 \) anwendest. Allgemein bekommst Du die \( n \)-te Wellenfunktion durch:29\[ \psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, \psi_{n-1} \]

Wie findest Du \( \psi_{n-1} \) heraus? Ganz einfach: Aufsteigeoperator auf \( \psi_{n-2} \) anwenden: \( \psi_{n-1} = C_{n-1}\textbf{a}^{\dagger} \psi_{n-2} \). Achte immer darauf, die Normierungskonstanten \( C_0...C_n \) zu berücksichtigen. Jede einzelne Wellenfunktion muss für sich normiert werden! 29 wird damit also zu:30\[ \psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-1} \, \textbf{a}^{\dagger} \psi_{n-2} \]

Blöd. Jetzt steht da unbekanntes \( \psi_{n-2} \). Wie findest Du das heraus? Na, so wie davor: Anwendung des Aufsteigeoperators auf \( \psi_{n-3} \), also \( \psi_{n-2} = C_{n-2} \textbf{a}^{\dagger} \psi_{n-3} \). Dann wirst Du unbekanntes \( \psi_{n-3} \) in der Gleichung haben. Du machst das gleiche Prozedere solange, bis Du bei \( \psi_0 \) ankommst. Warum? Weil Du in 28 \( \psi_0 \) kennst! Wenn Du das also machst, dann bekommst Du:31\[ \psi_{n} ~=~ C_{n} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-1} \, \textbf{a}^{\dagger} \, C_{n-2} \, \textbf{a}^{\dagger} ~...~ C_{1} \, \textbf{a}^{\dagger} \psi_0 \]

Die ganzen Koeffizienten kannst Du nach vorne bringen und alle Aufsteigeoperatoren, die nun auf \( \psi_0 \) wirken, zusammenfassen:32\[ \psi_{n} ~=~ C_{n} \, C_{n-1} \, C_{n-2}... C_{1} \, \left(\textbf{a}^{\dagger}\right)^n \psi_0 \]

Koeffizienten bestimmen

Jetzt musst Du nur noch durch die Normierungsbedingung die Koeffizienten in 32 bestimmen. Du kannst alle Koeffizienten bestimmen, wenn Du beispielsweise \( \psi_{n+1} = C_{n+1} \textbf{a}^{\dagger} \psi_n \) normierst:33\[ \int \psi^*_{n+1} \, \psi_{n+1} \, \text{d}x ~\stackrel{!}{=}~ 1 \]34\[ \int \left( C_{n+1} \, \textbf{a}^{\dagger} \psi_n\right)^* \, C_{n+1} \, \textbf{a}^{\dagger} \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]35\[ C_{n+1}^2 \int \psi_n^* \, \textbf{a} \, \textbf{a}^{\dagger} \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]36\[ C_{n+1}^2 \int \psi_n^* \, \left( \textbf{a}^{\dagger}\textbf{a} + \left[\textbf{a},\textbf{a}^{\dagger}\right] \right) \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]37\[ C_{n+1}^2 \int \psi_n^* \, \left( \textbf{n} + 1 \right) \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]38\[ C_{n+1}^2 \int \psi_n^* \, \textbf{n} \, \psi_n \, \text{d}x ~+~ C_{n+1}^2 \int \psi_n^* \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]39\[ C_{n+1}^2 \, (n+1) \, \int \psi_n^* \, \psi_n \, \text{d}x ~=~ 1 \]40\[ C_{n+1}^2 \, (n+1) ~=~ 1 \]41\[ C_{n+1} ~=~ \frac{1}{\sqrt{n+1}} \]

Mit 41 hast allgemein alle Koeffizienten - für jedes \( n \) - bestimmt. Setze 41 in 32 ein und fasse anschließend alle Koeffizienten zu \( 1/\sqrt{n!} \) zusammen:42\[ \psi_{n} ~=~ \frac{1}{\sqrt{n!}} \, \left(\textbf{a}^{\dagger}\right)^n \psi_0 \]

Setze nur noch den Aufsteigeoperator 11, sowie die Grundzustandswellenfunktion 28 in 42 ein:43\[ \psi_{n} ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{n!}} \, \left( \frac{x}{x_0} ~-~ \frac{\hbar}{p_0} \, \partial_x \right)^n \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]hierbei wurden auch die Operatoren \( \textbf{x} = x \) und \( \textbf{p} = \frac{\hbar}{i} \partial_x \) eingesetzt. Setze außerdem \( x_0 = \sqrt{\frac{2\hbar}{m \, \omega}} \) und \( p_0 = \sqrt{2\hbar \, m \, \omega} \) ein und bestimme damit die Wellenfunktion für ein beliebiges \( n \):44\[ \psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, \left( \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x ~-~ \sqrt{\frac{\hbar}{m \, \omega}} \, \partial_x \right)^n \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]

Die ersten vier Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators.

Hierbei wurde zur "Verschönerung" \( \sqrt{2}^n \) ausgeklammert. Wenn Du willst, kannst Du 44 mittels Hermite-Polynomen \( H_n(y) \) umschreiben:

Normierte Wellenfunktionen - harmonischer Oszillator (1D)45\[ \psi_{n}(x) ~=~ \left( \frac{m \, \omega}{\pi \, \hbar} \right)^{1/4} \, \frac{1}{\sqrt{ 2^n \, n!}} \, H_n(y) \, e^{-\frac{m \omega}{2\hbar} x^2} \]
mit \( y := \sqrt{\frac{m \, \omega}{\hbar}} \, x \). Und der Index \( n \) in \( H_n(y) \) steht für \(n\)-tes Hermite-Polynom.

Die allgemeine, zeitabhängige Wellenfunktion bekommst du, in dem du den ortsabhängigen Anteil 45 mit dem zeitabhängigen Anteil multiplizierst (siehe Separationsansatz der SGL):46\[ \mathit{\Psi}_{n}(x,t) ~=~ \psi_{n}(x) \, \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}W_n}{\hbar} \, t} \]

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