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Herleitung Scheinkräfte: Corioliskraft + Zentrifugalkraft

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Corioliskraft und Zentrifugalkraft treten nur in rotierenden (d.h. beschleunigten) Bezugssystemen auf. In Inertialsystemen (nicht beschleunigten Systemen) verschwinden sie. Unser Ziel ist es also vom Inertialsystem ins rotierendes System zu wechseln und die wirkende Kraft auf eine Masse \( m \) anzuschauen.

Der Ortsvektor \( \boldsymbol{r} \) in kartesischen Koordinaten ist:1\[ \boldsymbol{r} = x \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} + y \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text y} + z \, \boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \]

Die Komponenten des Orts \( x,y,z \) müssen in beiden Bezugssystemen (I: Inertialsystem, R: rotierendes System) gleich sein; also auch ihre Zeitableitung:2\[ \frac{\text{d}x}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text I}} = \frac{\text{d}x}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} \]analog für \( y \) und \( z \) Komponenten. Beachte, dass die Basisvektoren in rotierenden Bezugssystemen im Allgemeinen zeitabhängig sind (siehe z.B. sphärische Koordinaten).

Leite den Ortsvektor 1 im Inertialsystem nach der Zeit ab, indem Du die Produktregel benutzt: 3\[ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text I}} = \left( \frac{\text{d}x}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} ~+~ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text y} ~+~ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \right) ~+~ \left( x \, \frac{\text{d}\boldsymbol{\hat{e}}_{\text x}}{\text{d}t} ~+~ y \, \frac{\text{d}\boldsymbol{\hat{e}}_{\text y}}{\text{d}t} ~+~ z \, \frac{\text{d}\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z}}{\text{d}t}\right) \]

Die Geschwindigkeit \( \boldsymbol{v} \) ist mit der Winkelgeschwindigkeit \( \boldsymbol{\omega} \) über das Kreuzprodukt mit dem Ort \( \boldsymbol{r} \) verknüpft:4\[ \boldsymbol{v} ~=~ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} ~=~ \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \]

Setze das Kreuzprodukt von 4 in den rechten Klammerausdruck von 3 ein (z.B. wird \( \frac{\text{d}\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z}}{\text{d}t} \) zu \(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z}\)):5\[ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text I}} = \left( \frac{\text{d}x}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} ~+~ \frac{\text{d}y}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text y} ~+~ \frac{\text{d}z}{\text{d}t}\,\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \right) ~+~ x\,\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{\hat{e}}_{\text x} ~+~ y\,\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{\hat{e}}_{\text y} ~+~ z\,\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{\hat{e}}_{\text z} \]

Benutze 1 in 5:6\[ \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text I}} = \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r} \]

Um die Beschleunigung \( \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} \), die gleich gebraucht wird, zu bekommen, musst Du 6 nochmal nach der Zeit ableiten:7\[ \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text I}} = \left(\frac{\text{d}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ \boldsymbol{\omega}\times \right)^2\boldsymbol{r} \]

Löse die Klammer auf:8\[ \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text I}} = \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ 2\boldsymbol{\omega}\times \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ \boldsymbol{\omega}\times\left( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}\right) \]

Jetzt kommt die Masse \( m \) ins Spiel. Newton-Kraftgesetz lautet:9\[ \boldsymbol{F}_{\text I} ~=~ m\, \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text I}} \]

Setze 9 in 8 ein:10\[ \frac{1}{m}\, \boldsymbol{F}_{\text I} = \frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ 2\boldsymbol{\omega}\times \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} ~+~ \boldsymbol{\omega}\times\left( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}\right) \]

Multipliziere mit \( m \) und stelle nach der Kraft \( m\,\frac{\text{d}^2\boldsymbol{r}}{\text{d}t^2} _{~\big|_{~\text R}} ~=~ \boldsymbol{F}_{\text R} \) im rotierenden Bezugssystem um:11\[ \boldsymbol{F}_{\text R} = \boldsymbol{F}_{\text I} ~-~ 2\,m\,\boldsymbol{\omega}\times \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} ~-~ m \, \boldsymbol{\omega}\times\left( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}\right) \]

Dabei ist \( \frac{\text{d}\boldsymbol{r}}{\text{d}t} _{~\big|_{~\text R}} = \boldsymbol{v}_{\text R} \) die Geschwindigkeit im rotierenden Bezugssystem:11\[ \boldsymbol{F}_{\text R} = \boldsymbol{F}_{\text I} ~-~ 2\,m\,\boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{v}_{\text R} ~-~ m \, \boldsymbol{\omega}\times\left( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{r}\right) \]

Nun hast Du die Kraft im rotierenden Bezugssystem. Wenn Du magst, kannst Du \( \boldsymbol{\omega}\) und \( \boldsymbol{v}_{\text R}\) im Kreuzprodukt vertauschen, dann kommt ein Minuszeichen hinzu, weil das Kreuzprodukt antisymmetrisch ist:12\[ \boldsymbol{F}_{\text R} = \boldsymbol{F}_{\text I} ~+~ 2\,m\,\boldsymbol{v}_{\text R}\times \boldsymbol{\omega} ~+~ m\,\boldsymbol{\omega}\times\left( \boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega}\right) \]

Corioliskraft \( F_{\text c} \), die auf eine Masse \( m \) in einem mit Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) rotierenden Bezugssystem wirkt.

Der zweite Term in 12 ist der Kraftanteil, der als Corioliskraft bezeichnet wird:

Corioliskraft13\[ \boldsymbol{F}_{\text c} ~=~ 2\,m\,\boldsymbol{v}_{\text R}\times \boldsymbol{\omega} \]

Wenn Du die Corioliskraft durch die Masse dividierst, bekommst Du:

Coriolisbeschleunigung14\[ \boldsymbol{a}_{\text c} ~=~ 2\,\boldsymbol{v}_{\text R}\times \boldsymbol{\omega} \]

Der letzte Summand in 12 ist der allgemeine Ausdruck für die Zentrifugalkraft. Wie Du siehst, treten in rotierenden Bezugssystemen zusätzliche Kräfte auf, die auf den Körper wirken.

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