Herleitung Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule
Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes \( \class{violet}{B} \) innerhalb einer mit dem Strom \( \class{red}{I} \) durchflossenen Spule zu berechnen. Die Spule hat die Länge \(l\) und \(N\) Windungen.
Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutzen wir die vierte Maxwell-Gleichung der Elektrostatik in Integralform:
Hierbei ist \( \class{red}{I} \) der Strom, der von einem beliebigen geschlossenen, orientierten Weg \( \mathcal{S} \) umschlossen wird. Wir wählen \( \mathcal{S} \) so, dass das Integral 1
möglichst einfach zu berechnen ist. Dazu bilden wir eine rechteckige Schleife um die Spule herum, so wie in der Illustration 2 gezeigt.
Der Weg ist im Gegenuhrzeigersinn orientiert und setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \), \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \), \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) und \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Dabei legst Du den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) so, dass der innerhalb der Spule verläuft und den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) außerhalb der Spule und damit parallel zu \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Damit wird das zu lösende Integral zu:
&~+~ \int_{\class{gray}{\mathcal{S}_{3}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{3} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$
Das erste und das dritte Integral über \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sind Null, weil das Magnetfeld senkrecht zum jeweiligen Weg verläuft und das Skalarprodukt im Integral verschwindet. Übrig bleiben die anderen zwei Integrale:
Wir wählen eine Rechteckschleife so, dass die Wege \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sehr lang sind. Dadruch fällt das Integral über \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) weg, weil dieser so weit von der Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) innerhalb der Spule:
Da die Spule im Allgemeinen \( N \) Windungen hat, "durchdringt" der Strom \( N \)-mal die Schleife. Der Strombeitrag \( \class{red}{I} \) ist \(N\)-fach. Ergänzen wir das Integral:
Wir nehmen an, dass das Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) im Inneren konstant ist. Damit können wir es aus dem Integral herausziehen:
Wir haben die Spule so orientiert, dass der Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \), der die Magnetfeldrichtung vorgibt, parallel zum infinitesmalen Weg \( \text{d}\boldsymbol{s}_{4} = \text{d}s_{4} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) verläuft. Damit wird das Skalarprodukt zwischen den Einheitsvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{4} = 1 \):
&~=~ \class{violet}{B} \, l \end{align} $$
Hierbei haben wir im zweiten Schritt ausgenutzt, dass der Integrationsweg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) entlang der Spule verläuft und damit der Spulenlänge \( l \) entspricht. Stelle 7
nur noch nach dem gesuchten Magnetfeld-Betrag \( \class{violet}{B} \) um:
Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder die Formel umstellen und \( N \), \(l\) oder \(\class{red}{I}\), je nachdem was gesucht ist, berechnen.
