Herleitung Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 04.05.2022

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Illustration : Stromdurchflossene Spule, die ein Magnetfeld erzeugt.

Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes $ \class{violet}{B} $ innerhalb einer mit dem Strom $ \class{red}{I} $ durchflossenen Spule zu berechnen. Die Spule hat die Länge $l$ und $N$ Windungen.

Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutzen wir die vierte Maxwell-Gleichung der Elektrostatik in Integralform:

Ampere-Gesetz der Elektrostatik

$$ \begin{align} \mu_0 \, \class{red}{I} ~=~ \oint_{\mathcal S} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s} \end{align} $$

Hierbei ist $ \class{red}{I} $ der Strom, der von einem beliebigen geschlossenen, orientierten Weg $ \mathcal{S} $ umschlossen wird. Wir wählen $ \mathcal{S} $ so, dass das Integral 1 möglichst einfach zu berechnen ist. Dazu bilden wir eine rechteckige Schleife um die Spule herum, so wie in der Illustration 2 gezeigt.

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Illustration : Ausgewählte rechteckige Schleife als Integrationsweg. Die Schleife wird $N$ mal vom Strom 'durchstochen'.

Der Weg ist im Gegenuhrzeigersinn orientiert und setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen $ \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} $, $ \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} $, $ \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} $ und $ \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} $. Dabei legst Du den Weg $ \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} $ so, dass der innerhalb der Spule verläuft und den Weg $ \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} $ außerhalb der Spule und damit parallel zu $ \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} $. Damit wird das zu lösende Integral zu:

$$ \begin{align} \mu_0 \, \class{red}{I} &~=~ \int_{\class{gray}{\mathcal{S}_{1}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{1} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{2}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{2} \\\\
&~+~ \int_{\class{gray}{\mathcal{S}_{3}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{3} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$

Das erste und das dritte Integral über $ \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} $ und $ \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} $ sind Null, weil das Magnetfeld senkrecht zum jeweiligen Weg verläuft und das Skalarprodukt im Integral verschwindet. Übrig bleiben die anderen zwei Integrale:

$$ \begin{align} \mu_0 \, \class{red}{I} ~=~\int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{2}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{2} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$

Wir wählen eine Rechteckschleife so, dass die Wege $ \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} $ und $ \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} $ sehr lang sind. Dadruch fällt das Integral über $ \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} $ weg, weil dieser so weit von der Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg $ \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} $ innerhalb der Spule:

$$ \begin{align} \mu_0 \, \class{red}{I} ~=~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$

Da die Spule im Allgemeinen $ N $ Windungen hat, "durchdringt" der Strom $ N $-mal die Schleife. Der Strombeitrag $ \class{red}{I} $ ist $N$-fach. Ergänzen wir das Integral:

$$ \begin{align} \mu_0 \, N \, \class{red}{I} ~=~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$

Wir nehmen an, dass das Magnetfeld $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} $ im Inneren konstant ist. Damit können wir es aus dem Integral herausziehen:

$$ \begin{align} \mu_0 \, N \, \class{red}{I} ~=~ \class{violet}{B} \, \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align} $$

Wir haben die Spule so orientiert, dass der Einheitsvektor $ \boldsymbol{\hat{e}}_{4} $, der die Magnetfeldrichtung vorgibt, parallel zum infinitesmalen Weg $ \text{d}\boldsymbol{s}_{4} = \text{d}s_{4} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} $ verläuft. Damit wird das Skalarprodukt zwischen den Einheitsvektoren $ \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{4} = 1 $:

$$ \begin{align} \mu_0 \, N \, \class{red}{I} &~=~\class{violet}{B} \, \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \text{d}s_{4} \\\\
&~=~ \class{violet}{B} \, l \end{align} $$

Hierbei haben wir im zweiten Schritt ausgenutzt, dass der Integrationsweg $ \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} $ entlang der Spule verläuft und damit der Spulenlänge $ l $ entspricht. Stelle 7 nur noch nach dem gesuchten Magnetfeld-Betrag $ \class{violet}{B} $ um:

Formel: Magnetfeld innerhalb einer langen Spule

$$ \begin{align} \class{violet}{B} ~=~ \mu_0 \, \frac{N \, \class{red}{I}}{l} \end{align} $$

Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder die Formel umstellen und $ N $, $l$ oder $\class{red}{I}$, je nachdem was gesucht ist, berechnen.