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Herleitung Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Stromdurchflossene Spule, die ein Magnetfeld erzeugt.

Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes \( B \) innerhalb einer mit \( I \) stromdurchflossenen Spule zu berechnen.

Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutze die folgende Maxwell-Gleichung:

Ampere-Gesetz der Elektrostatik1\[ \oint_{\mathcal S} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ \mu_0 \, I \]

Hierbei ist \( I \) die Stromstärke, die von einem beliebigen geschlossenen Weg \( \mathcal{S} \) umschlossen wird.

Wähle \( \mathcal{S} \) so, dass das Integral 1 am einfachsten wird. Der beispielsweise im Gegenuhrzeigersinn orientierte Weg setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen \(\mathcal{S}_{13}\), \(\mathcal{S}_{34}\), \(\mathcal{S}_{42}\) und \(\mathcal{S}_{21}\), die zusammen eine geschlossene Schleife bilden. Dabei legst Du den Weg \(\mathcal{S}_{34}\) so, dass der innerhalb der Spule verläuft und dementsprechend dann der Weg \(\mathcal{S}_{21}\) außerhalb der Spule und parallel zu \(\mathcal{S}_{34}\) ist.

Damit wird das zu lösende Integral zu:2\[ \oint_{\mathcal{S}_{13}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{13} ~+~ \oint_{\mathcal{S}_{34}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{34} ~+~ \oint_{\mathcal{S}_{42}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{42} ~+~ \oint_{\mathcal{S}_{21}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{21} ~=~ \mu_0 \, I \]

Klar ist, dass der Weg \( \mathcal{S}_{42} \) sich mit dem Weg \( \mathcal{S}_{13} \) aufhebt, weil sie genau entgegengesetzt orientiert sind. Die jeweiligen Beiträge der Integrale addieren sich also zu Null. Übrig bleibt:3\[ \oint_{\mathcal{S}_{34}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{34} ~+~ \oint_{\mathcal{S}_{21}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{21} ~=~ \mu_0 \, I \]

Wenn Du die Rechteckschleife sehr sehr lang machst, sodass der Weg \( \mathcal{S}_{21} \) weit weg vom Weg \( \mathcal{S}_{34} \) ist, dann fällt das Integral über \( \mathcal{S}_{21} \) weg, weil dieser so weit von der das Magnetfeld erzeugenden Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg \( \mathcal{S}_{34} \) innerhalb der Spule:4\[ \oint_{\mathcal{S}_{34}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{34} ~=~ \mu_0 \, I \]

Da die Spule im Allgemeinen \( N \) Windungen hat, "durchdringt" der Strom \( I \) \( N \)-Mal die Schleife. Der Strombeitrag ist \(N\)-fach:5\[ \oint_{\mathcal{S}_{34}} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{34} ~=~ \mu_0 \, N \, I \]

Unter der Annahme, dass das B-Feld \( B \, \boldsymbol{\hat{e}}_{34} \) im Inneren konstant ist und parallel zum infinitesmalen Weg \( \boldsymbol{s}_{34} = s_{34} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{34} \) verläuft (d.h. \( \boldsymbol{\hat{e}}_{34} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{34} = 1 \)): 6\[ B \, \oint_{\mathcal{S}_{34}} \text{d}s_{34} ~=~ B \, l ~=~ \mu_0 \, N \, I \]

Hierbei entspricht das Integral einfach der Länge \( l \) der Spule. Umstellen nach dem Magnetfeld \( B \) ergibt die gesuchte Formel:

Magnetfeld (innerhalb) - Lange Spule7\[ B ~=~ \mu_0 \, \frac{N \, I}{l} \]

Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder auch \( N \), \(l\), \(\mu_0\) oder \(I\), je nachdem, was gesucht ist.

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