Herleitung: Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule

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Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes \( \class{violet}{B} \) innerhalb einer mit \( \class{red}{I} \) stromdurchflossenen Spule zu berechnen. Die Spule hat die Länge \(l\) und \(N\) Windungen.

Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutzen wir die folgende dritte Maxwell-Gleichung in Integralform:

Hierbei ist \( \class{red}{I} \) der Strom, der von einem beliebigen geschlossenen Weg \( \mathcal{S} \) umschlossen wird.

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Wähle \( \mathcal{S} \) so, dass das Integral 1 am einfachsten wird. Der beispielsweise im Gegenuhrzeigersinn orientierte Weg setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \), \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \), \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) und \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \), die zusammen eine geschlossene Rechteckschleife bilden. Dabei legst Du den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) so, dass der innerhalb der Spule verläuft und den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) außerhalb der Spule und damit parallel zu \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \).

Damit wird das zu lösende Integral zu:2\begin{align} \mu_0 \, \class{red}{I} &~=~ \int_{\class{gray}{\mathcal{S}_{1}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{1} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{2}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{2} \\\\ &~+~ \int_{\class{gray}{\mathcal{S}_{3}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{3} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} \end{align}

Klar ist, dass der Weg \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) sich mit dem Weg \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) aufhebt, weil sie genau entgegengesetzt orientiert sind. Die jeweiligen Beiträge der Integrale addieren sich also zu Null. Übrig bleibt:3$$ \mu_0 \, \class{red}{I} ~=~\int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{2}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{2} ~+~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} $$

Wir wählen eine Rechteckschleife so, dass die Wege \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sehr lang sind. Dadruch fällt das Integral über \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) weg, weil dieser so weit von der Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) innerhalb der Spule:4$$ \mu_0 \, \class{red}{I} ~=~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} $$

Da die Spule im Allgemeinen \( N \) Windungen hat, "durchdringt" der Strom \( \class{red}{I} \) \( N \)-mal die Schleife. Der Strombeitrag ist \(N\)-fach:5$$ \mu_0 \, N \, \class{red}{I} ~=~ \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \class{violet}{\boldsymbol{B}} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} $$

Wir nehmen an, dass das Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) im Inneren konstant ist. Damit können wir es aus dem Integral herausziehen:6$$ \mu_0 \, N \, \class{red}{I} ~=~ \class{violet}{B} \, \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \text{d}\boldsymbol{s}_{4} $$

Außerdem drehen wir die Spule im Magnetfeld so, dass die Magnetfeldlinien parallel zum infinitesmalen Weg \( \text{d}\boldsymbol{s}_{4} = \text{d}s_{4} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) verlaufen (dadurch ist \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{4} = 1 \)): 7\begin{align} \mu_0 \, N \, \class{red}{I} &~=~\class{violet}{B} \, \int_{\class{brown}{\mathcal{S}_{4}}} \text{d}s_{4} \\\\ &~=~ \class{violet}{B} \, l \end{align}

Hierbei haben wir im zweiten Schritt ausgenutzt, dass der Integrationsweg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) entlang dem Spuleninneren verläuft. Das Integral entspricht also der Länge \( l \) der Spule.

Stelle 6 nur noch nach dem gesuchten Betrag des Magnetfeldes \( \class{violet}{B} \) um:

Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder auch \( N \), \(l\), \(\mu_0\) oder \(\class{red}{I}\), je nachdem, was gesucht ist.