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Herleitung Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule

Stromdurchflossene Spule mit Abmessungen
Level 4 (bis zum Physik M.Sc.)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Illustration : Stromdurchflossene Spule, die ein Magnetfeld erzeugt.

Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes \( \class{violet}{B} \) innerhalb einer mit dem Strom \( \class{red}{I} \) durchflossenen Spule zu berechnen. Die Spule hat die Länge \(l\) und \(N\) Windungen.

Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutzen wir die vierte Maxwell-Gleichung der Elektrostatik in Integralform:

Ampere-Gesetz der Elektrostatik
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \( \class{red}{I} \) der Strom, der von einem beliebigen geschlossenen, orientierten Weg \( \mathcal{S} \) umschlossen wird. Wir wählen \( \mathcal{S} \) so, dass das Integral 1 möglichst einfach zu berechnen ist. Dazu bilden wir eine rechteckige Schleife um die Spule herum, so wie in der Illustration 2 gezeigt.

Illustration : Ausgewählte rechteckige Schleife als Integrationsweg. Die Schleife wird \(N\) mal vom Strom 'durchstochen'.

Der Weg ist im Gegenuhrzeigersinn orientiert und setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \), \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \), \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) und \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Dabei legst Du den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) so, dass der innerhalb der Spule verläuft und den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) außerhalb der Spule und damit parallel zu \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Damit wird das zu lösende Integral zu:

Ampere-Gesetz-Integral mit einer rechteckigen Schleife um die Spule
Anker zu dieser Formel

Das erste und das dritte Integral über \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sind Null, weil das Magnetfeld senkrecht zum jeweiligen Weg verläuft und das Skalarprodukt im Integral verschwindet. Übrig bleiben die anderen zwei Integrale:

Ampere-Gesetz mit zwei übrig gebliebenen Integralen
Anker zu dieser Formel

Wir wählen eine Rechteckschleife so, dass die Wege \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sehr lang sind. Dadruch fällt das Integral über \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) weg, weil dieser so weit von der Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) innerhalb der Spule:

Integral über den Weg innerhalb der Spule
Anker zu dieser Formel

Da die Spule im Allgemeinen \( N \) Windungen hat, "durchdringt" der Strom \( N \)-mal die Schleife. Der Strombeitrag \( \class{red}{I} \) ist \(N\)-fach. Ergänzen wir das Integral:

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule
Anker zu dieser Formel

Wir nehmen an, dass das Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) im Inneren konstant ist. Damit können wir es aus dem Integral herausziehen:

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule mit konstantem Magnetfeld
Anker zu dieser Formel

Wir haben die Spule so orientiert, dass der Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \), der die Magnetfeldrichtung vorgibt, parallel zum infinitesmalen Weg \( \text{d}\boldsymbol{s}_{4} = \text{d}s_{4} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) verläuft. Damit wird das Skalarprodukt zwischen den Einheitsvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{4} = 1 \):

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule mit berechnetem Integral
Anker zu dieser Formel

Hierbei haben wir im zweiten Schritt ausgenutzt, dass der Integrationsweg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) entlang der Spule verläuft und damit der Spulenlänge \( l \) entspricht. Stelle 7 nur noch nach dem gesuchten Magnetfeld-Betrag \( \class{violet}{B} \) um:

Formel: Magnetfeld innerhalb einer langen Spule
Anker zu dieser Formel

Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder die Formel umstellen und \( N \), \(l\) oder \(\class{red}{I}\), je nachdem was gesucht ist, berechnen.