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Herleitung Magnetfeld im Inneren - Stromdurchflossene lange Spule

Stromdurchflossene Spule mit Abmessungen
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Stromdurchflossene Spule mit Abmessungen
Stromdurchflossene Spule, die ein Magnetfeld erzeugt.

Unser Ziel ist es den Betrag des Magnetfeldes \( \class{violet}{B} \) innerhalb einer mit dem Strom \( \class{red}{I} \) durchflossenen Spule zu berechnen. Die Spule hat die Länge \(l\) und \(N\) Windungen.

Um das Magnetfeld im Inneren zu berechnen, benutzen wir die vierte Maxwell-Gleichung der Elektrostatik in Integralform:

Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \( \class{red}{I} \) der Strom, der von einem beliebigen geschlossenen, orientierten Weg \( \mathcal{S} \) umschlossen wird. Wir wählen \( \mathcal{S} \) so, dass das Integral 1 möglichst einfach zu berechnen ist. Dazu bilden wir eine rechteckige Schleife um die Spule herum, so wie in der Illustration 2 gezeigt.

Integrationsweg für das Magnetfeld einer langen Spule
Ausgewählte rechteckige Schleife als Integrationsweg. Die Schleife wird \(N\) mal vom Strom 'durchstochen'.

Der Weg ist im Gegenuhrzeigersinn orientiert und setzt sich zusammen aus vier geraden Wegen \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \), \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \), \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) und \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Dabei legst Du den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) so, dass der innerhalb der Spule verläuft und den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) außerhalb der Spule und damit parallel zu \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \). Damit wird das zu lösende Integral zu:

Ampere-Gesetz-Integral mit einer rechteckigen Schleife um die Spule
Anker zu dieser Formel

Das erste und das dritte Integral über \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sind Null, weil das Magnetfeld senkrecht zum jeweiligen Weg verläuft und das Skalarprodukt im Integral verschwindet. Übrig bleiben die anderen zwei Integrale:

Ampere-Gesetz mit zwei übrig gebliebenen Integralen
Anker zu dieser Formel

Wir wählen eine Rechteckschleife so, dass die Wege \( \class{gray}{\mathcal{S}_{1}} \) und \( \class{gray}{\mathcal{S}_{3}} \) sehr lang sind. Dadruch fällt das Integral über \( \class{brown}{\mathcal{S}_{2}} \) weg, weil dieser so weit von der Spule weg ist, dass das Magnetfeld in dieser Entfernung näherungsweise Null ist. Übrig bleibt nur das Integral über den Weg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) innerhalb der Spule:

Integral über den Weg innerhalb der Spule
Anker zu dieser Formel

Da die Spule im Allgemeinen \( N \) Windungen hat, "durchdringt" der Strom \( N \)-mal die Schleife. Der Strombeitrag \( \class{red}{I} \) ist \(N\)-fach. Ergänzen wir das Integral:

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule
Anker zu dieser Formel

Wir nehmen an, dass das Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \class{violet}{B} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) im Inneren konstant ist. Damit können wir es aus dem Integral herausziehen:

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule mit konstantem Magnetfeld
Anker zu dieser Formel

Wir haben die Spule so orientiert, dass der Einheitsvektor \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \), der die Magnetfeldrichtung vorgibt, parallel zum infinitesmalen Weg \( \text{d}\boldsymbol{s}_{4} = \text{d}s_{4} \, \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \) verläuft. Damit wird das Skalarprodukt zwischen den Einheitsvektoren \( \boldsymbol{\hat{e}}_{4} \cdot \boldsymbol{\hat{e}}_{4} = 1 \):

Ampere-Gesetz für eine stromdurchflossene Spule mit berechnetem Integral
Anker zu dieser Formel

Hierbei haben wir im zweiten Schritt ausgenutzt, dass der Integrationsweg \( \class{brown}{\mathcal{S}_{4}} \) entlang der Spule verläuft und damit der Spulenlänge \( l \) entspricht. Stelle 7 nur noch nach dem gesuchten Magnetfeld-Betrag \( \class{violet}{B} \) um:

Anker zu dieser Formel

Damit kannst Du das Magnetfeld einer langen Spule (lang, damit Randeffekte keine Rolle spielen) berechnen oder die Formel umstellen und \( N \), \(l\) oder \(\class{red}{I}\), je nachdem was gesucht ist, berechnen.