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Herleitung Wienfilter (Geschwindigkeitsverteilung)

Prinzipieller Aufbau eines Geschwindigkeitsfilters (Wienfilter)
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Geschwindigkeit eines idealen Wienfilters Hier leiten wir die Geschwindigkeit der Ladungen her, die hinter einer unendlich kleinen Lochblende eines idealen Geschwindigkeitsfilters landen.
  2. Geschwindigkeitsverteilung eines realen Wienfilters Hier leiten wir dem Geschwindigkeitsintervall der Ladungen her, die hinter einer Lochblende eines realen Geschwindigkeitsfilters landen.

Im Folgenden wollen wir als erstes die Geschwindigkeit \( v_{\text x} \) entlang des idealen Wienfilters (in \(x\)-Richtung) berechnen unter der Annahme, dass die Durchlassblende unendlich klein ist. Danach schauen wir uns einen realen Wienfilter an, der keine unendlich kleine Durchlassblende hat und leiten dazu ein Geschwindigkeitsintervall her, in dem alle Geschwindigkeiten der Ladungsträger (z.B. Elektronen) vorkommen, die hinter der Durchlassblende landen.

Geschwindigkeit eines idealen Wienfilters

Prinzipieller Aufbau eines Geschwindigkeitsfilters (Wienfilter)
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Grundsätzlicher Aufbau eines Geschwindigkeitsfilters: Plattenkondensator im Magnetfeld und eine Teilchenkanone.

Betrachten wir ein Wienfilter (Geschwindigkeitsfilter), der nur Teilchen mit bestimmter Geschwindigkeit durch eine Lochblende durchlässt. Ein einfacher Geschwindigkeitsfilter braucht ein homogenes elektrisches Feld \(E_{\text z}\), welches durch einen Plattenkondensator erzeugt werden kann. Zwischen den beiden Kondensatorplatten ist nämlich so ein homogenes E-Feld vorhanden.

Neben dem E-Feld wird noch ein Magnetfeld \(B_{\text y}\) gebraucht, welches einfachheitshalber genau senkrecht zun den Feldlinien des elektrischen Feldes verläuft (siehe Illustration 1).

Bezeichnen wir die Länge einer Kondensatorplatte mit \(L\) und ihren Abstand zueinander mit \(d\). An dem rechten Ende des Kondensators befindet sich eine Durchlassblende, also eine Abdeckung mit einem kleinen Loch der Breite \(b\). Durch dieses Loch werden die betrachteten Ladungsträger hindurchwandern.

Das elektrische Feld \(E_{\text z}\) in einem Plattenkondensator lässt sich mithilfe der Spannung \(U_{\text z}\) zwischen den Kondensatorplatten ausdrücken:

E-Feld in einem Plattenkondensator
Anker zu dieser Formel

Für die weiteren Überlegungen wird die Richtung des E-Feldes so gewählt, dass dieser in einem gewählten Koordinatensystem in die negative \(\text z\)-Richtung zeigt (deshalb der Index "\(\text z\)" und das Minuszeichen).

Die elektrische Kraft, die auf einen Ladungsträger mit der Ladung \(q\) im Plattenkondensator wirkt, ergibt sich durch die Multiplikation der Gleichung 1 mit \(q\):

Anker zu dieser Formel

Diese elektrische Kraft kann den positiv geladenen Ladungsträger zur negativen Platte hin beschleunigen. Dies passiert für positive Ladungen genau in Richtung des elektrischen Feldes, in diesem Fall also in die negative z-Richtung (deshalb das Minuszeichen).

Die magnetische Kraft auf \(F_{\text m}\) einen mit der Geschwindigkeit \(v_{\text x}\) in \(x\)-Richtung bewegten Ladungsträger mit der Ladung \(q\), in einem homogenen, senkrecht anliegenden Magnetfeld \(B_{\text y}\), ist gegeben durch:

Anker zu dieser Formel

Die Richtung vom Magnetfeld \(B_{\text y}\) ist so gewählt, dass die magnetische Kraft 3 genau in die positive \(z\)-Richtung wirkt. Dann wirken die elektrische Kraft 2 und die magnetische Kraft 3 genau entgegengesetzt auf den Ladungsträger, der sich in die positive \(x\)-Richtung bewegt. Das heißt das Magnetfeld muss in den Bildschirm hineinzeigen, was der positiven \(y\)-Richtung entspricht. Durch die Festlegung der Magnetfeldrichtung in \(y\)-Richtung und der Geschwindigkeitsrichtung in \(x\)-Richtung, ist die magnetische Kraftrichtung durch die Drei-Finger-Regel der rechten Hand in \(z\)-Richtung festgelegt.

Die Gesamtkraft \(F\), die auf den Ladungsträger wirkt, ist die Summe der elektrischen und magnetischen Kraft:

Lorentzkraft auf eine Ladung im Wienfilter
Anker zu dieser Formel

Damit ein Ladungsträger den Plattenkondensator, in dem ein elektrisches und magnetisches Feld herrscht, perfekt geradeaus durchfliegen kann, müssen die beiden auf den Ladungsträger wirkenden Kräfe 2 und 3 sich genau gegenseitig aufheben, also vom gleichen Betrag und entgegengesetzter Richtung sein. Durch die Wahl einer positiven Ladung, der elektrischen Feldrichtung (Polarität der Spannungsquelle) (-y), der Magnetfeldrichtung (z) und der Geschwindigkeitsrichtung (x) ist die Situation mit den entgegenwirkenden Kräfte gewährleistet. Anders gesagt: Die Gesamtkraft \(F\) auf das Teilchen muss Null sein, damit es unbeeinflusst geradeaus fliegt:

Gesamtkraft auf eine geradeaus fliegende Ladung im Wienfilter ist Null
Anker zu dieser Formel

Etwas umgestellt, sehen wir, dass die beiden Kräfte gleich sein müssen:

Elektrische und magnetische Kraft sind gleich
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Die Geschwindigkeit des Ladungsträgers, der auf der anderen Seite des Plattenkondensators ankommt und durch das Loch der Lochblende geht, ist gegeben durch das Umstellen des Kräftegleichgewichts 6:

Anker zu dieser Formel

Geschwindigkeitsverteilung eines realen Wienfilters

Die hergeleitete Formel 7 beschreibt jedoch nur eine Geschwindigkeit der Ladungsträger, die unabgelenkt perfekt geradeaus fliegen und durch ein unendlich dünnes Loch gehen. Wir haben bis jetzt also einen idealen Wienfilter betrachtet. Ein realer Wienfilter hat natürlich ein Loch, das eine endliche Ausdehnung \(b\) hat. In der Praxis kommen also auch Ladungsträger durch die Lochblende, die ein bisschen von der geraden Bahn abgelenkt wurden.

Bezeichnen wir die maximale Geschwindigkeitsabweichung als \( \Delta v \).

  • Die schnellsten Ladungsträger, die gerade noch so durch die Lochblende schaffen, haben eine Geschwindigkeit \( v_{\text x} + \Delta v \).

  • Die langsamsten Ladungsträger, die gerade noch so durch die Lochblende schaffen, haben eine Geschwindigkeit \( v_{\text x} - \Delta v \).

Insgesamt kommen alle Ladungsträger durch die Lochblende durch, deren Geschwindigkeit \(v\) im folgenden Intervall liegt:

Geschwindigkeitsintervall für den realen Wienfilter
Anker zu dieser Formel

Unser Ziel ist es die maximale Abweichung \( \Delta v\) von der geraden Bahn herzuleiten. Dazu betrachten wir einen Ladungsträger mit der positiven Ladung \( q \) ganz am Rand (bei \(x=0\)) zwischen den Kondensatorplatten (im Koordinatenursprung des gewählten Koordinatensystems). Um die Rechnung zu vereinfachen, wird die Geschwindigkeit \(v_{\text z}\) in \(z\)-Richtung zum Zeitpunkt \(t=0\) als Null gesetzt (Das ist die Zusatzgeschwindigkeit des Ladungsträgers aufgrund der Abelnkung entlang der z-Richtung). Dies ist die 1. Anfangsbedingung, die später in der Herleitung des Geschwindigkeitsintervalls gebraucht wird:

8\[ v_{\text z}(t=0) = 0 \]

Außerdem wird das Koordinatensystem so gewählt, dass zum Zeitpunkt \(t=0\) die örtliche Ablenkung (von der geraden Bahn) in \(z\)-Richtung Null ist. Dies wird die 2. Anfangsbedingung sein:9\[ z(t=0) = 0 \]

Als nächstes muss geklärt werden, welche Gesamtkraft \(F\) ein Ladungsträger, der sich mit \( v_{\text{max}} \) bewegt, erfährt. Dazu wird einfach \( v_{\text{max}} \) statt nur \(v_{\text x}\) in 4 berücksichtigt:10\[ F ~=~ - q \, \frac{U_{\text z}}{d} ~+~ q \, (v_{\text x} + \Delta v) \, B_{\text y} \]

Einfaches Ausmultiplizieren der Gleichung 10 ergibt einen zusätzlichen Kraftbetrag (der als \(\Delta F\) bezeichnet wird) auf den Ladungsträger, der sich mit \( v_{\text{max}} \) bewegt:11\[ \Delta F ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Da in 11 zwei Unbekannte, \(\Delta F\) und \(\Delta v\), vorhanden sind, wird hier das 2. Newton-Axiom \(\Delta F = m \, a_{\text z} \) ausgenutzt. Dabei ist \(m\) die Masse des Ladungsträgers und \(a_{\text z}\) die Beschleunigung durch die Felder im Plattenkondensator in z-Richtung. Es ergibt sich also die folgende Gleichung:12\[ m \, a_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \]

Um aus \(a_{\text z}\) die Geschwindigkeit \(v_{\text z}\) in z-Richtung zu bekommen, wird 12 über \(t\) integriert:13\[ \int m \, a_{\text z} \, \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, \text{d}t \]

Da die Integranden auf beiden Seiten zeitunabhängig sind, wird das Integral einfach zu:14\[ m \, v_{\text z} ~=~ q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t + C_1 \]

Bei der Integration entehen hier natürlich zwei Integrationskonstanten, die zusammengefasst wurden zu \(C_1\). Diese Konstante wird durch Einsetzen der 1. Anfangsbedingung 5 eliminiert:\(C_1 =0\).

Leider ist \( v_{\text z} \) auch nicht bekannt, weshalb die Gleichung 14 nochmal über \(t\) integriert wird:15\[ \int m \, v_{\text z} \text{d}t ~=~ \int q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t \, \text{d}t \]

Das ergibt (inklusive Integrationskonstante \(C_2\)):16\[ m \, z ~=~ \frac{1}{2} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 + C_2 \]Durch die 2. Anfangsbedingung wird die Konstante eliminiert: \(C_2 = 0\).

Der Ort \(z\) des Ladungsträgers in z-Richtung ist zu jedem Zeitpunkt also durch folgende Bahnkurve bestimmt:17\[ z(t) ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Nun ist bekannt, dass die Bewegung in z-Richtung durch die Lochblende eingeschränkt ist, d.h. der Ladungsträger kommt nur dann durch das Loch hindurch, wenn dieser maximal um \(b/2\) in z-Richtung abgelenkt wurde: \( z(t) \le b/2 \). Die maximale Geschwindigkeit \(v_{\text{max}}\) ergibt sich durch die maximale Ablenkung \( z(t) = b/2 \). Einsetzen in 17:18\[ \frac{b}{2} ~=~ \frac{1}{2 m} \, q \, \Delta v \, B_{\text y} \, t^2 \]

Die Zeit \(t\), die der Ladungsträger braucht, um von dem einen Ende des Plattenkondensators bis zum anderen (also bis zur Lochblende) zu kommen, kann durch \( t \approx L/v \) angenähert werden, unter der Voraussetzung, dass \(\Delta v\) viel kleiner ist als \(v\). Einsetzen von \(t\) in 18 sowie Einsetzen von 7 für die Geschwindigkeit \(v\) und anschließendes Umstellen der Gleichung, ergibt die gesuchte Lösung für die Abweichung:

18\[ |\Delta v| ~\approx~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \](nur der Betrag ist hier relevant)

Damit können die Geschwindigkeit der austretenden Ladungsträger hinter der Lochblende der Breite \(b\) m Bereich zwischen \(v_{\text x}\) und19\[ v_{\text{max}} ~\approx~ v_{\text x} ~+~ \frac{m \, b}{q \, L^2 \, d^2} \, \frac{U_{\text z}^2}{B_{\text y}^3} \]liegen.

Falls das Loch praktisch unendlich klein ist, also (\(b \approx 0\)), dann vereinfacht sich 19 wie gewünscht zu:20\[ v_{\text{max}} ~=~ v_{\text x} \]