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Herleitung Magnetfeld - Helmholtz-Spule

Helmholtz-Spule

Das Ziel ist es das Magnetfeld \(B\) entlang der Symmetrieachse zu berechnen. Dazu wird eine Helmholtz-Spule mit dem Radius \(R\), mit \(N\) Windungen und mit dem Abstand \(d\) in ein Koordinatensystem so gelegt, dass der Koordinatenursprung in der Mitte der Helmholtz-Spule liegt. Die eine Spule liegt dann bei \(z = d/2\) un die andere Spule bei \(z=-d/2\).

Beide Spulen der Helmholtz-Spule werden von einem elektrischen Strom \(I\) durchflossen. Im Folgenden wird sowohl der Fall betrachtet, bei dem die beiden Ströme in die gleiche als auch in die entgegengesetzte Richtung fließen.

Das Magnetfeld eines beliebig geformten stromdurchflossenen Drahts kann mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden.

Biot-Savart-Gesetz1\[ \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \]

Da es sich hier um zwei Spulen handelt, wird das Integral 1 in zwei Beiträge aufgeteilt, die jeweils das Magnetfeld darstellen, die von der jeweiligen Spule erzeugt wird (nach dem Superpositionsprinzip können diese dann zusammenaddiert werden, um das Gesamtmagnetfeld 1 zu erhalten):2\[ \boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_1} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \] \[ \boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_2} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \] mit \(S_1\) als die Linie entlang der ersten Spule und \(S_2\) als die Linie entlang der zweiten Spule, wobei es gilt: \(S = S_1 + S_2\).

Da das Magnetfeld entlang der Symmetrieachse gesucht ist, sieht der Feldvektor \( \boldsymbol{r} \) folgendermaßen aus (das ist der Ortsvektor, an den das Magnetfeld berechnet werden soll):3\[ \boldsymbol{r} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{bmatrix} \]

Das infinitesimale Leiterelement \( \text{d}\boldsymbol{s} \) verläuft bei beiden Spulen im Abstand \(R\) von der \(z\)-Achse. Die Integration der Leiterelemente passiert in Zylinderkoordinaten entlang der \(\varphi\)-Koordinate:4\[ \text{d}\boldsymbol{s} = \boldsymbol{\hat{\varphi}} \, R \, \text{d}\varphi \]hierbei ist \(\boldsymbol{\hat{\varphi}}\) der Einheitsvektor in \(\varphi\)-Richtung in Zylinderkoordinaten, also im Kreis um die Spule herum.

Spule bei \(z=d/2\)
Der Ortsvektor \( \boldsymbol{R} \) zum Leiterelement der Spule bei \(z = d/2\) lautet in Zylinderkoordinaten:5\[ \boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ d/2 \end{bmatrix} \]

Dann ist der für 2 zu berechnende Verbindungsvektor \(\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}\) die Differenz zwischen 3 und 5:6\[ \boldsymbol{r} - \boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2 \end{bmatrix} \]

Und der Betrag \(|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|\) des Verbindungsvektors zur dritten Potenz ist:7\[ |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|^3 = \left( R^2 \, \cos(\varphi)^2 + R^2 \, \sin(\varphi)^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} = \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} \]Im letzten Schritt wurde die Beziehung \( \cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 = 1\) benutzt.

Das für 2 zu berechnende Kreuzprodukt zwischen dem Verbindungsvektor 6 und dem Leiterelement 4 ist:8\[ (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}) \times \text{d}\boldsymbol{s} = \begin{bmatrix} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{bmatrix} \, R \, \text{d}\varphi \]

Das Berechnen des Kreuzprodukts 8 ergibt:9\[ (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}) \times \text{d}\boldsymbol{s} = -R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{bmatrix} \, \text{d}\varphi \]

Die Integration von 9 entlang der \(\varphi\)-Koordinate im Kreis, also von 0 bis \(2\pi\):10\[ \int_{0}^{2\pi}-R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{bmatrix} \, \text{d}\varphi = -R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ -(z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ R \, \varphi \end{bmatrix}^{2\pi}_0 \]

Einsetzen der oberen \(2\pi\) und unteren Grenze 0 in 10 ergibt:11\[ -R \left[ \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(2\pi) \\ -(z-d/2) \, \cos(2\pi) \\ 2\pi \,R \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(0) \\ -(z-d/2) \, \cos(0) \\ 0 \,R \end{bmatrix} \right] ~=~ -R \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2\pi \, R \end{bmatrix} = - 2\pi \, R^2 \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Hierbei ist \(\boldsymbol{\hat{z}}\) der Einheitsvektor in \(z\)-Richtung. Das Einsetzen des Betrags 7 des Verbinungsvektors sowie das ausgewertete Integral 11 in das Biot-Savart-Gesetz 2 ergibt:12\[ \boldsymbol{B}_1(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2}{2} \, \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Wegen \(N\) Windungen der ersten Spule, ist der Strom \(N\)-fach: \(N \, I\). Damit ist das Magnetfeld auch \(N\)-fach so groß:13\[ \boldsymbol{B}_1(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Das Magnetfeld der ersten Spule wurde somit berechnet.

Spule bei \(z=-d/2\)
Der Ortsvektor \( \boldsymbol{R} \) zum Leiterelement dieser Spule lautet in Zylinderkoordinaten:14\[ \boldsymbol{R} = \begin{bmatrix} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ -d/2 \end{bmatrix} \]also genauso wie bei der anderen Spule, nur mit einem Minuszeichen in der dritten Komponente. Das einzige, was sich lediglich am Ergebnis für \(\boldsymbol{B}_2\) ändert, ist, dass \((z-d/2)\) zu \((z+d/2)\) wird:15\[ \boldsymbol{B}_2(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( R^2 + (z+d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \]

Magnetfeld entlang der z-Achse (gleiche Stromrichtung) - Helmholtz-Spule

Die Superposition, also die Addition der Einzelfelder 13 und 15 ergibt das Gesamtmagnetfeld:

Magnetfeld (Symmetrieachse, gleiche Stromrichtung) - Helmholtz-Spule16\[ \boldsymbol{B}(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} + \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \]
Im Fall \(d=R\) wird das Magnetfeld im Inneren der Spule näherungsweise homogen.

Das Minuszeichen in 16 sagt lediglich aus, dass der Strom im Gegenuhrzeigersinn in den Spulen fließt.

Magnetfeld entlang der z-Achse (entgegengesetzte Stromrichtung) - Helmholtz-Spule

Wenn der Strom in den beiden Spulen nicht in die gleiche Richtung fließt, sondern der eine im Uhrzeigersinn \(I\) und der andere gegen den Uhrzeigersinn \(-I\), dann wird 16 zu:

Magnetfeld (Symmetrieachse, entgegengesetzte Stromrichtung) - Helmholtz-Spule17\[ \boldsymbol{B}(z) = - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} - \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \]
Fließt der Strom in den Spulen in die entgegengesetzte Richtungen, dann ist das Magnetfeld in der Helmholtz-Spule linear.
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