Herleitung Magnetfeld einer Helmholtz-Spule

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 02.05.2022

Inhaltsverzeichnis

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Illustration : Helmholtz-Spule.

Hier wollen wir das Magnetfeld $B$ entlang der Symmetrieachse herleiten. Dazu wird eine Helmholtz-Spule mit dem Radius $R$, mit $N$ Windungen und mit dem Abstand $d$ in ein Koordinatensystem so gelegt, dass der Koordinatenursprung in der Mitte der Helmholtz-Spule liegt. Die eine Spule liegt dann bei $z = d/2$ un die andere Spule bei $z=-d/2$.

Beide Spulen der Helmholtz-Spule werden von einem elektrischen Strom $I$ durchflossen. Im Folgenden wird sowohl der Fall betrachtet, bei dem die beiden Ströme in die gleiche als auch in die entgegengesetzte Richtung fließen.

Das Magnetfeld eines beliebig geformten stromdurchflossenen Drahts kann mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden.

Biot-Savart-Gesetz für dünne Leiter

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \end{align} $$

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Illustration : Skizze zum Biot-Savart-Gesetz.

Da es sich hier um zwei Spulen handelt, wird das Integral 1 in zwei Beiträge aufgeteilt, die jeweils das Magnetfeld darstellen, die von der jeweiligen Spule erzeugt wird. Nach dem Superpositionsprinzip können wir die beiden Beiträge dann zusammenaddieren, um das Gesamtmagnetfeld 1 zu erhalten:

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r}) & ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_1} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \\\\
\boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{r}) & ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{4\pi} \int_{S_2} \frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{R}|^3} \times \text{d}\boldsymbol{s} \end{align} $$

Hierbei ist $S_1$ der Integrationsweg um die erste Spule und $S_2$ der Integrationsweg entlang der zweiten Spule. Der Gesamtweg für die beiden Spulen ist : $S = S_1 + S_2$.

Da das Magnetfeld entlang der Symmetrieachse gesucht ist, sieht der Feldvektor $ \boldsymbol{r} $ folgendermaßen aus (das ist der Ortsvektor zu einem Punkt, an dem das Magnetfeld berechnet werden soll):

$$ \begin{align} \boldsymbol{r} ~=~ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ z \end{bmatrix} \end{align} $$

Das infinitesimale Leiterelement $ \text{d}\boldsymbol{s} $ verläuft bei beiden Spulen im Abstand $R$ von der $z$-Achse. Die Integration der Leiterelemente passiert in Zylinderkoordinaten entlang der $\varphi$-Koordinate:

$$ \begin{align} \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ \boldsymbol{\hat{\varphi}} \, R \, \text{d}\varphi \end{align} $$

Hierbei ist $\boldsymbol{\hat{\varphi}}$ der Einheitsvektor in $\varphi$-Richtung in Zylinderkoordinaten - verläuft also im Kreis um die Spule herum.

Magnetfeld der ersten Helmholtz-Spule berechnen

Schauen wir uns zuerst die Spule bei $z=d/2$, die das Magnetfeld $\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r})$ erzeugt. Der Ortsvektor $ \boldsymbol{R} $ zum Leiterelement der Spule bei $z = d/2$ lautet in Zylinderkoordinaten folgendermaßen:

$$ \begin{align} \boldsymbol{R} ~=~ \begin{bmatrix} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ d/2 \end{bmatrix} \end{align} $$

Für das Magnetfeld $\boldsymbol{B}_1(\boldsymbol{r})$ in Gl. 2 brauchen wir den Verbindungsvektor $\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}$. Das ist die Differenz zwischen Gl. 3 und Gl. 5:

$$ \begin{align} \boldsymbol{r} - \boldsymbol{R} ~=~ \begin{bmatrix} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2 \end{bmatrix} \end{align} $$

Dann müssen wir noch für Gl. 2 $|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|^3$ berechnen:

$$ \begin{align} |\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}|^3 & ~=~ \left( R^2 \, \cos(\varphi)^2 + R^2 \, \sin(\varphi)^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} \\\\
& ~=~\left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{3/2} \end{align} $$

Im letzten Schritt haben wir die trigonometrische Beziehung $ \cos(\varphi)^2 + \sin(\varphi)^2 = 1$ benutzt.

Anschließend müssen wir laut Gl. 2 das Kreuzprodukt zwischen dem Verbindungsvektor 6 und dem Linienelement 4 berechnen:

$$ \begin{align} (\boldsymbol{r} - \boldsymbol{R}) \times \text{d}\boldsymbol{s} ~&=~ \begin{bmatrix} -R \, \cos(\varphi) \\ -R \, \sin(\varphi) \\ z-d/2 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{bmatrix} \, R \, \text{d}\varphi \\\\
~&=~ -R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{bmatrix} \, \text{d}\varphi \end{align} $$

Jetzt müssen wir jede Komponente von Gl. 9 entlang der $\varphi$-Koordinate integrieren und zwar von 0 bis $2\pi$. Den Betrag in Gl. 7 müssen wir zum Glück nicht integrieren, weil der unabhängig ist von $\varphi$:

$$ \begin{align} \int_{0}^{2\pi}-R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ R \end{bmatrix} \, \text{d}\varphi ~&=~ -R \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(\varphi) \\ -(z-d/2) \, \cos(\varphi) \\ R \, \varphi \end{bmatrix}^{2\pi}_0 \\\\
~&=~ -R \left( \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(2\pi) \\ -(z-d/2) \, \cos(2\pi) \\ 2\pi \,R \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} (z-d/2) \, \sin(0) \\ -(z-d/2) \, \cos(0) \\ 0 \,R \end{bmatrix} \right) \\\\
~&=~ -R \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2\pi \, R \end{bmatrix} \\\\
~&=~- 2\pi \, R^2 \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

Hierbei ist $\boldsymbol{\hat{z}}$ der Einheitsvektor in $z$-Richtung. Das Einsetzen des Betrags 7 des Verbinungsvektors sowie das ausgewertete Integral 9 in das Biot-Savart-Gesetz 2 ergibt das gesuchte Magnetfeld einer Windung:

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}_1(z) ~=~ - \frac{\mu_0 \, I \, R^2}{2} \, \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

Die Spule hat $N$ Windungen, daher ist der Strom durch die Spule $N$-fach: $N \, I$. Damit ist das Magnetfeld auch $N$-fach so groß:

Magnetfeld der ersten Helmholtz-Spule

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}_1(z) ~=~ - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( R^2 + (z-d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

Magnetfeld der zweiten Helmholtz-Spule berechnen

Jetzt müssen wir noch das Magnetfeld $\boldsymbol{B}_2(\boldsymbol{r})$ in Gl. 2 für die zweite Spule bei $z=-d/2$ angeben. Bei der zweiten Spule gehst du analog wie mit der ersten Spule vor. Der Ortsvektor $ \boldsymbol{R} $ zum Leiterelement dieser Spule lautet in Zylinderkoordinaten:

$$ \begin{align} \boldsymbol{R} ~=~ \begin{bmatrix} R \, \cos(\varphi) \\ R \, \sin(\varphi) \\ -d/2 \end{bmatrix} \end{align} $$

Wie du siehst, ist der Ortsvektor genauso wie bei der ersten Spule, nur mit einem Minuszeichen in der dritten Komponente. Das einzige, was sich lediglich am Ergebnis für das Magnetfeld $\boldsymbol{B}_2$ ändert, ist, dass $(z-d/2)$ zu $(z+d/2)$ wird:

Magnetfeld der zweiten Helmholtz-Spule

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}_2(z) ~=~ - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left( R^2 + (z+d/2)^2 \right)^{-3/2} \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

Die Superposition, also die Addition der Magnetfelder 11 und 13 ergibt das Gesamtmagnetfeld der Helmholtz-Spule:

Magnetfeld einer Helmholtz-Spule entlang der Symmetrieachse (gleiche Stromrichtung)

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}(z) ~=~ - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} + \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

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Illustration : Magnetfeld einer Helmholtz-Spule in Abhängigkeit von $z$ (gleiche Stromrichtung).

Im Fall $d=R$ wird das Magnetfeld im Inneren der Spule näherungsweise homogen (konstant). Das Minuszeichen in 14 sagt lediglich aus, dass der Strom im Gegenuhrzeigersinn in den Spulen fließt.

Wenn der Strom in den beiden Spulen nicht in die gleiche Richtung fließt, sondern der eine im Uhrzeigersinn $I$ und der andere gegen den Uhrzeigersinn $-I$, dann wird Gl. 14 zu:

Magnetfeld einer Helmholtz-Spule entlang der Symmetrieachse (entgegengesetzte Stromrichtung)

$$ \begin{align} \boldsymbol{B}(z) ~=~ - \frac{\mu_0 \, I \, R^2 \, N}{2} \, \left[ \left( (z-d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} - \left( (z+d/2)^2 + R^2 \right)^{-3/2} \right] \, \boldsymbol{\hat{z}} \end{align} $$

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Illustration : Magnetfeld einer Helmholtz-Spule in Abhängigkeit von $z$ (entgegengesetzte Stromrichtung).

Wie du an der Illustration 4 siehst: Fließt der Strom in den Spulen in die entgegengesetzte Richtung, dann ist das Magnetfeld zwischen den Spulem linear.