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Herleitung Magnetfeld innerhalb und außerhalb eines Koaxialkabels

Koaxialkabel (Querschnitt)
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Magnetfeld im Innenleiter
  2. Magnetfeld in der Isolation
  3. Magnetfeld im Außenleiter
  4. Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels

Im Folgenden wird das Magnetfeld \(B(r)\) innerhalb und außerhalb eines Koaxialkabels hergeleitet in Abhängigkeit vom Abstand \(r\) von der Längsachse.

Koaxialkabel (Querschnitt)
Illustration : Querschnitt eines Koaxialkabels.

Ein Koaxialkabel besteht aus einem Innenleiter mit dem Radius \(R_1\), dann der darauffolgenden Isolationsschicht, die beim Radius \(R_2\) endet. Danach folgt der Außenleiter, der beim Radius \(R_3\) endet. Der Außenleiter ist mit einem Schutzmantel bedeckt. Im Innenleiter soll ein Strom \(I_{\text i}\) und im Außenleiter ein Strom \(I_{\text e}\) fließen.

Zur Berechnung des Magnetfeldes wird die 4. Maxwell-Gleichung der Magnetostatik in Integralform, das Ampere-Gesetz benutzt:

Ampere-Gesetz
Anker zu dieser Formel

Das Ampere-Gesetz verknüpft den von einer beliebigen geschlossenen Schleife \(S\) eingeschlossenen Strom \(I\) mit dem Magnetfeld \(B\) entlang dieser Schleife. Wir wählen hier natürlich eine Ampere-Schleife, die der Symmetrie des Problems angepasst ist. Wir nehmen hier also eine kreisförmige Schleife. Dann, unter der Annahme, dass sowohl im Innen- als auch Außenleiter der Strom homogen ist, zeigt das Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) stets parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{s}\)-Element, weshalb das Skalarprodukt in 1 maximal wird. Wir können also das Skalarprodukt \(\boldsymbol{B}\cdot \text{d}\boldsymbol{s}\) der Vektoren mit einem Produkt \(B \, \text{d}s\) der Beträge ersetzen:

Ampere-Gesetz für Beträge
Anker zu dieser Formel

Da im Linienintegral in 2 bei einem festen Radius \(r\) der Ampere-Schleife entlang der Ampere-Schleife integriert wird und der Strom überall homogen ist, muss das Magnetfeld im Abstand \(r\) um den Leiter herum immer gleich sein, also unabhängig von der Integrationsvariable. Folglich darf der Betrag \(B\) vor das Integral gezogen werden:

Ampere-Gesetz mit konstantem Magnetfeld
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Das Integral über die gewählte kreisförmige Ampere-Schleife entspricht dem Umfang \(2\pi \, r\) eines Kreises mit dem variablen Radius \(r\):

Ampere-Gesetz für eine kreisförmige Schleife mit konstantem Magnetfeld
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Der von der Ampere-Schleife eingeschlossene Strom \(I\) ist natürlich davon abhängig, ob beispielsweise die Ampere-Schleife nur den Innenleiter oder sowohl den Innenleiter als auch den Außenleiter einschließt oder gar nur ein Teil davon. Deshalb werden im Folgenden unterschiedliche Fälle betrachtet.

Magnetfeld im Innenleiter

Um das Magnetfeld im Innenleiter zu berechnen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) so gewählt, dass sie innerhalb des Innenleiters (mit Radius \(R_1\)) liegt: \(r \leq R_1\). Der eingeschlossene Strom \(I\) lässt sich zuerst als das Produkt aus der konstanten Stromdichte \(j_{\text i}\) im Innenleiter und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche \(A(r) = \pi \, r^2 \) schreiben:

Eingeschlossener Strom im Innenleiter
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Die Stromdichte \(j_{\text i}\) ist aber nicht bekannt, deshalb wird sie mit dem Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters ausgedrückt. Die Stromdichte ist definitionsgemäß der Strom pro Querschnittsfläche durch die der Strom fließt. \(I_{\text i}\) geht durch die Fläche \(\pi \, R_1^2\) hindurch, also:

Eingeschlossener Strom mittels Strom im Innenleiter
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Jetzt muss nur noch der eingeschlossene Strom 6 in Gl. 4 eingesetzt und nach dem Magnetfeld \(B\) umgestellt werden:

Formel: Magnetfeld im Innenleiter
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Wir können also festhalten: Das Magnetfeld \(B(r)\) im Innenleiter des Koaxialkabels nimmt linear mit dem Radialabstand \(r\) zu.

Magnetfeld in der Isolation

Um das Magnetfeld zwischen dem Innenleiter und Außenleiter zu bestimmen, wird nun eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) in den Bereich zwischen Innenleiter und Außenleiter (in die Isolationsschicht) gelegt: \(R_1 \leq r \leq R_2\). Der eingeschlossene Strom \(I\) ist in diesem Fall der Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters. Damit wird Gl. 4 zu:

Ampere-Gesetz für die Isolationsschicht
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Stellen wir Gl. 8 nach dem Magnetfeld \(B\) um:

Formel: Magnetfeld in der Isolation
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Halten wir fest: Das Magnetfeld der Isolation (bzw. des Dielektrikums) des Koaxialkabels fällt reziprok mit dem Radialabstand ab.

Magnetfeld im Außenleiter

Um das Magnetfeld innerhalb des Außenleiters zu bestimmen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) innerhalb des Außenleiters gelegt: \(R_2 \leq r \leq R_3\). Der eingeschlossene Strom \(I\) ist zum einen der Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters, zum anderen ein variabler Strom \(I(r)\), der natürlich davon abhängt, welchen Radius \(r\) die Ampere-Schleife hat:

Ampere-Gesetz für den Außenleiter
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Der Strom \(I(r)\) lässt sich mit der konstanten Stromdichte \(j_{\text e}\) des Außenleiters und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche \(A(r)\) schreiben. Diese eingeschlossene Fläche ist die Fläche \(\pi \, r^2 \) der Ampere-Schleife abzüglich der Fläche \(\pi \, {R_2}^2 \) (siehe Illustration 1):

Eingeschlossener Strom im Außenleiter
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Die Stromdichte \(j_{\text e}\) ist nicht bekannt, weshalb sie mit dem gegebenen Strom \(I_{\text e}\) des Außenleiters ausgedrückt wird. Die Stromdichte \(j_{\text e}\) ist der Strom \(I_{\text e}\) pro Querschnittsfläche durch die dieser Strom fließt. Die Querschnittsfläche ist die Fläche \(\pi \, {R_3}^2 \) abzüglich der Fläche \(\pi \, {R_2}^2 \):

Eingeschlossener Strom im Außenleiter mit gegebenen Größen ausgedrückt
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Setze den eingeschlossenen Strom 12 in Gl. 4 und stelle nach dem Magnetfeld \(B\) um:

Formel: Magnetfeld im Außenleiter
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Wenn der Strom im Außenleiter der gleiche Strom ist, wie im Innenleiter, jedoch in entgegengesetzte Richtung fließt (\(I := I_{\text i} = - I_{\text e}\)), dann wird Gl. 13 zu:

Magnetfeld im Außenleiter mit entgegengesetzten Strömen
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Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels

Um das Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels zu bestimmen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) außerhalb des Koaxialkabels gelegt: \(r \geq R_3\). Der eingeschlossene Strom ist die Summe des Innenleiter-Stroms und des Außenleiter-Stroms. Damit wird Gl. 4 zu:

Ampere-Gesetz für den Außenbereich eines Koaxialkabels
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Stelle Gl. 15 nach dem Magnetfeld \(B\) um:

Formel: Magnetfeld außerhalb eines Koaxialkabels
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Wir können also festhalten: Das Magnetfeld \(B(r)\) außerhalb des Koaxialkabels fällt reziprok mit dem Radialabstand \(r\) ab.

Wenn der Strom im Außenleiter der gleiche Strom ist, wie im Innenleiter, jedoch in entgegengesetzte Richtung fließt (\(I := I_{\text i} = - I_{\text e}\)), dann wird Gl. 16 zu:

Magnetfeld außerhalb eines Koaxialkabels mit entgegengesetzten Strömen
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