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Herleitung Magnetfeld - Koaxialkabel

Was du hier lernst...
  1. Magnetfeld im Innenleiter des Koaxialkabels
  2. Magnetfeld in der Isolation des Koaxialkabels
  3. Magnetfeld im Außenleiter des Koaxialkabels
  4. Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels
Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Querschnitt eines Koaxialkabels.

Im Folgenden wird der Magnetfeldverlauf \(B(r)\) innerhalb und außerhalb eines Koaxialkabels hergeleitet. Ein Koaxialkabel besteht aus einem Innenleiter mit dem Radius \(R_1\), dann der darauffolgenden Isolationsschicht, die beim Radius \(R_2\) endet. Danach folgt der Außenleiter, der beim Radius \(R_3\) endet. Der Außenleiter ist mit einem Schutzmantel bedeckt. Im Innenleiter soll ein Strom \(I_{\text i}\) und im Außenleiter ein Strom \(I_{\text e}\) fließen.

Zur Berechnung des Magnetfeldes wird die 4. Maxwell-Gleichung der Magnetostatik, das Ampere-Gesetz benutzt:

4. Maxwell-Gleichung - Ampere-Gesetz1\[ \oint_{S} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{s} ~=~ \mu_0 \, I \]

Das Ampere-Gesetz verknüpft den von einer beliebigen geschlossenen Schleife \(S\) eingeschlossenen Strom \(I\) mit dem Magnetfeld \(B\) entlang dieser Schleife. Es eignet sich hier natürlich eine Ampere-Schleife, die der Symmetrie des Problems angepasst ist, also eine kreisförmige Schleife. Dann, unter der Annahme, dass sowohl im Innen- als auch Außenleiter der Strom homogen ist, zeigt das Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) stets parallel zum \(\text{d}\boldsymbol{s}\)-Element, weshalb das Skalarprodukt in 1 maximal wird, also zum Produkt der Beträge von \(\boldsymbol{B}\) und \(\text{d}\boldsymbol{s}\) wird:2\[ \oint_{S} B \, \text{d}s ~=~ \mu_0 \, I \]

Da im Linienintegral in 2 bei einem festen Radius \(r\) der Ampere-Schleife entlang der Ampere-Schleife integriert wird und der Strom überall homogen ist, muss das Magnetfeld im Abstand \(r\) um den Leiter herum immer gleich sein, also unabhängig von der Integrationsvariable. Folglich darf der Betrag \(B\) vor das Integral gezogen werden:3\[ B \oint_{S} \text{d}s ~=~ \mu_0 \, I \]

Das Integral über die gewählte kreisförmige Ampere-Schleife entspricht dem Umfang eines Kreises mit dem variablen Radius \(r\):4\[ B \, 2\pi \, r ~=~ \mu_0 \, I \]

Der von der Ampere-Schleife eingeschlossene Strom \(I\) ist natürlich davon abhängig, ob beispielsweise die Ampere-Schleife nur den Innenleiter oder sowohl den Innenleiter als auch den Außenleiter einschließt oder gar nur ein Teil davon. Deshalb werden im Folgenden unterschiedliche Fälle betrachtet.

Magnetfeld im Innenleiter

Um das Magnetfeld im Innenleiter zu berechnen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) so gewählt, dass sie innerhalb des Innenleiters (Radius \(R_1\)) liegt: \(r \leq R_1\). Der eingeschlossene Strom \(I\) lässt sich zuerst als das Produkt aus der konstanten Stromdichte \(j_{\text i}\) des Innenleiters und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche \(A(r) = \pi \, r^2 \) schreiben:5\[ I = j_{\text i} \, A(r) = j \, \pi \, r^2 \]

Die Stromdichte \(j_{\text i}\) ist aber nicht bekannt, deshalb wird sie mit dem Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters ausgedrückt. Die Stromdichte ist definitionsgemäß der Strom pro Querschnittsfläche durch die der Strom fließt. \(I_{\text i}\) geht durch die Fläche \(\pi \, R_1^2\) hindurch, also: 6\[ I = \frac{I_{\text i}}{\pi \, R_1^2} \, \pi \, r^2 = \frac{I_{\text i}}{R_1^2} \, r^2 \]

Jetzt muss nur noch der berechnete eingeschlossene Strom 6 in 4 eingesetzt und nach dem Magnetfeld \(B\) umgestellt werden:

Magnetfeld im Innenleiter7\[ B(r) ~=~ \frac{\mu_0 \, I_{\text i}}{2\pi \, R_1^2} \, r ~~~~ (r \leq R_1) \]
Das Magnetfeld im Innenleiter des Koaxialkabels nimmt linear mit dem Radialabstand zu.

Magnetfeld in der Isolation

Um das Magnetfeld zwischen dem Innenleiter und Außenleiter zu bestimmen, wird nun eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) in den Bereich zwischen Innenleiter und Außenleiter, also in die Isolationsschicht gelegt: \(R_1 \leq r \leq R_2\). Der eingeschlossene Strom \(I\) ist in diesem Fall der Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters. Damit wird 4 zu: 8\[ B \, 2\pi \, r = \mu_0 \, I_{\text i} \]

Umstellen von 8 nach dem Magnetfeld ergibt:

Magnetfeld in der Isolation9\[ B(r) ~=~ \frac{\mu_0 \, I_{\text i}}{2\pi} \, \frac{1}{r} ~~~~ (R_1 \leq r \leq R_2) \]
Das Magnetfeld der Isolation (bzw. des Dielektrikums) des Koaxialkabels fällt reziprok mit dem Radialabstand ab.

Magnetfeld im Außenleiter

Um das Magnetfeld innerhalb des Außenleiters zu bestimmen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) innerhalb des Außenleiters gelegt: \(R_2 \leq r \leq R_3\).

Der eingeschlossene Strom \(I\) ist zum einen der Strom \(I_{\text i}\) des Innenleiters, zum anderen ein variabler Strom \(I(r)\), der natürlich davon abhängt, welchen Radius \(r\) die Ampere-Schleife hat:10\[ B \, 2\pi \, r = \mu_0 \, (I_{\text i} + I(r)) \]

Der Strom \(I(r)\) lässt sich mit der konstanten Stromdichte \(j_{\text e}\) des Außenleiters und der von der Ampere-Schleife eingeschlossenen Fläche \(A(r)\) schreiben. Diese eingeschlossene Fläche ist die Fläche \(\pi \, r^2 \) der Ampere-Schleife abzüglich der Fläche \(\pi \, {R_2}^2 \). Die Stromdichte \(j_{\text e}\) ist nicht bekannt, weshalb sie mit dem gegebenen Strom \(I_{\text e}\) des Außenleiters ausgedrückt wird. Die Stromdichte \(j_{\text e}\) ist der Strom \(I_{\text e}\) pro Querschnittsfläche durch die dieser Strom fließt. Die Querschnittsfläche ist die Fläche \(\pi \, {R_3}^2 \) abzüglich der Fläche \(\pi \, {R_2}^2 \):11\[ I_{\text i} + I(r) = I_{\text i} + j_{\text e} \, A(r) = I_{\text i} + \frac{I_{\text e}}{\pi \, ({R_3}^2 - {R_2}^2)} \, \pi \, (r^2 - {R_2}^2)\]

Einsetzen des bestimmten eingeschlossenen Stroms 11 in 4 und Umstellen nach dem Magnetfeld ergibt:

Magnetfeld im Außenleiter12\[ B(r) ~=~ \frac{\mu_0}{2\pi} \, \frac{1}{r} \left( I_{\text i} + \frac{r^2 - {R_2}^2}{{R_3}^2 - {R_2}^2} \, I_{\text e} \right) ~~~~ (R_2 \leq r \leq R_3) \]

Wenn der Strom im Außenleiter der gleiche Strom ist, wie im Innenleiter, jedoch in entgegengesetzte Richtung fließt (\(I := I_{\text i} = - I_{\text e}\)), dann wird 12 zu:13\[ B(r) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2\pi} \, \frac{1}{r} \left( 1 - \frac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2} \right) ~~~~ (R_2 \leq r \leq R_3) \]

Magnetfeld außerhalb

Um das Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels zu bestimmen, wird eine Ampere-Schleife mit dem Radius \(r\) außerhalb des Koaxialkabels gelegt: \(r \geq R_3\).

Der eingeschlossene Strom ist die Summe des Innenleiter-Stroms und des Außenleiter-Stroms. Damit wird 4 zu:14\[ B \, 2\pi \, r = \mu_0 \, (I_{\text i} + I_{\text e}) \]

Umstellen von 14 nach dem Magnetfeld ergibt:

Magnetfeld außerhalb15\[ B(r) ~=~ \frac{\mu_0 \, (I_{\text i} + I_{\text e})}{2\pi} \, \frac{1}{r} ~~~~ (r \geq R_3) \]
Das Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels fällt reziprok mit dem Radialabstand ab.

Wenn der Strom im Außenleiter der gleiche Strom ist, wie im Innenleiter, jedoch in entgegengesetzte Richtung fließt (\(I := I_{\text i} = - I_{\text e}\)), dann wird 15 zu:16\[ B ~=~ 0 ~~~~ (r \geq R_3) \]

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