Herleitung Selbstinduktivität (Induktivität) - zwei stromdurchflossene Leiter

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 04.05.2022

Inhaltsverzeichnis

Illustration bekommen

Illustration : Zwei parallel angeordnete stromdurchflossene Leiter.

Im Folgenden wird die Induktivität $L$ einer parallelen Doppelleitung hergeleitet. Betrachte dazu zwei stromdurchflossene Leiter der Länge $l$ und mit jeweils einem Radius $R$ (siehe Illustration 1). Die beiden Leiter befinden sich im Abstand $d$ zueinander. Der linke Leiter wird vom positiven Strom $ +I $ und der rechte Leiter vom negativen Strom $-I$ durchflossen. Die beiden Ströme sind also betragsmäßig gleich, aber entgegengerichtet.

Die Induktivität $L$ ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem magnetischen Fluss $\Phi_{\text m}$, der die Fläche $A$ durchdringt, die parallel zu den beiden Strömen liegt. Die Induktivität ist das Verhältnis von $\Phi_{\text m}$ zu $I$:

$$ \begin{align} L ~=~ \frac{\Phi_{\text m}}{I} \end{align} $$

Um die Induktivität herauszufinden, muss der magnetische Fluss durch die Fläche $A$ berechnet werden. Die zu den beiden Leitern parallele Fläche hat die Länge $l$. Der Strom $I$ wird als bekannt angenommen.

Der magnetische Fluss ist folgendermaßen definiert:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ \int_A B \, \text{d}a \end{align} $$

Hierbei ist $B$ die magnetische Flussdichte (oder kurz: Magnetfeld), die die Fläche $A$ durchdringt. Wir müssen $B$ bestimmen. Das Magnetfeld $B$ setzt sich zusammen aus dem Magnetfeld außerhalb der beiden Leiter und dem Magnetfeld innerhalb der Leiter.

Magnetfeld außerhalb einer Doppelleitung

Wir wissen, dass das Magnetfeld außerhalb eines stromdurchflossenen Leiters, der durch den Koordinatenursprung verläuft, reziprok vom Abstand $x$ zum Leiter abhängt:

$$ \begin{align} B(x) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \frac{1}{x} \end{align} $$

Unsere Leiter dagegen gehen nicht durch den Koordinatenursprung, sondern sind versetzt. Das äußere Magnetfeld eines Leiters, der sich bei $x= d/2$ befindet und von dem Strom $-I$ durchflossen wird (das ist der rechte Leiter), ist gegeben durch:

$$ \begin{align} B_1(x) & ~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \frac{1}{x - \frac{d}{2}} \\\\
& ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \frac{1}{\frac{d}{2} - x} \end{align} $$

Das äußere Magnetfeld des Leiters, der sich bei $x = -d/2$ befindet und vom Strom $I$ durchflossen wird (das ist der linke Leiter), ist:

$$ \begin{align} B_2(x) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \frac{1}{\frac{d}{2} + x} \end{align} $$

Das gesamte Magnetfeld $ B_{\text e} $ außerhalb beider Leiter ist die Summe der Teilfelder 4 und 5:

Magnetfeld außerhalb einer Doppelleitung

$$ \begin{align} B_{\text e} ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \left( \frac{1}{\frac{d}{2} + x} ~+~ \frac{1}{\frac{d}{2} - x} \right) \end{align} $$

Magnetfeld innerhalb einer Doppelleitung

Das Magnetfeld innerhalb eines stromdurchflossenen Leiters, der sich am Koordinatenursprung befindet und den Radius $R$ hat, nimmt linear mit dem Abstand $x$ zu:

$$ \begin{align} B(x) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, x \end{align} $$

Das Magnetfeld innerhalb eines stromdurchflossenen Leiters, der sich bei $x=d/2$ befindet und von $-I$ durchflossen wird, ist:

$$ \begin{align} B_3(x) &~=~ -\frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, \left( x - \frac{d}{2} \right) \\\\
&~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, \left( \frac{d}{2} - x\right) \end{align} $$

Das Magnetfeld innerhalb eines stromdurchflossenen Leiters, der sich bei $x=-d/2$ befindet und von $I$ durchflossen wird, ist:

$$ \begin{align} B_4(x) ~=~ \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, \left( \frac{d}{2} + x\right) \end{align} $$

Das gesamte Magnetfeld $B$ in 2 ist die Summe der berechneten Teilfelder 6, 8 und 9.

Magnetischer Fluss einer Doppelleitung

Damit haben wir das Magnetfeld für das Integral 2 herausgefunden. Jetzt müssen wir es über die Fläche $A$ integrieren.

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ \int_A B \, \text{d}a \end{align} $$

Die Fläche $A$ hat in $z$-Richtung die Länge $l$ und das Magnetfeld $B$ ist unabhängig von der $z$-Koordinate, weshalb nur die Integration des Magnetfeldes entlang der $x$-Koordinate stattfindet:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ l \int B \, \text{d}x \end{align} $$

Der Integrationsbereich zwischen den Leitern geht von $-d/2 + R$ bis $ d/2 - R$.
Der Integrationsbereich innerhalb des linken Leiters geht von $-d/2$ bis $-d/2 + R$.
Der Integrationsbereich innerhalb des rechten Leiters geht von $d/2-R $ bis $d/2$.

Einsetzen des Gesamtmagnetfeldes und der Integrationsgrenzen in das Integral 10, ergibt:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} & ~=~ l \int_{-d/2 + R}^{d/2 - R} \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi} \, \left( \frac{1}{\frac{d}{2} + x} + \frac{1}{\frac{d}{2} - x} \right) \, \text{d}x \\\\
& ~+~ l \int_{-d/2}^{-d/2 + R} \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, \left( \frac{d}{2} + x\right) \, \text{d}x \\\\
& ~+~ l \int_{d/2}^{d/2 - R} \frac{\mu_0 \, I}{2 \pi \, R^2} \, \left( \frac{d}{2} - x\right) \, \text{d}x \end{align} $$

Bezeichnen wir das erste Integral als $ \Phi_{\text m1} $, das zweite mit $ \Phi_{\text m2} $ und das dritte Integral mit $ \Phi_{\text m3} $. Unser Ziel ist es, diese drei Integrale zu berechnen. Schauen wir uns zuerst das erste Integral in 11 an. Dort steht das Gesamtmagnetfeld außerhalb der Doppelleitung:
1. Integral:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m1} ~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi} \int_{-d/2 + R}^{d/2 - R} \left( \frac{1}{\frac{d}{2} + x} ~+~ \frac{1}{\frac{d}{2} - x} \right) \, \text{d}x \end{align} $$

Die Stammfunktion von $1/x$ ist $\ln(x)$, also wird 12 durch Substitution zu:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m1} ~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi} \left[ \ln\left(\frac{d}{2} + x\right) ~-~ \ln\left(\frac{d}{2} - x\right) \right]^{d/2 - R}_{-d/2 + R} \end{align} $$

Mit Logarithmus-Regeln lassen sich die beiden Logarithmus-Ausdrücke in 13 zusammenfassen:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m1} ~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi} \left[ \ln\left(\frac{d/2 + x}{d/2 - x}\right) \right]^{d/2 - R}_{-d/2 + R} \end{align} $$

Einsetzen der Integrationsgrenzen und vereinfachen:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m1} &~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi} \, \left[ \ln\left(\frac{d - R}{R}\right) ~-~ \ln\left(\frac{R}{d-R}\right) \right] \\\\
&~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{\pi} \, \ln\left(\frac{d - R}{R}\right) \end{align} $$

Kommen wir zum zweiten Integral in 11, in dem wir das innere Magnetfeld im linken Leiter berücksichtigen.
2. Integral:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m2} ~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi \, R^2} \int_{-d/2}^{-d/2 + R} \left( \frac{d}{2} + x\right) \, \text{d}x \end{align} $$

Die Stammfunktion von 16 ist leicht anzugeben. Anschließendes Einsetzen der Integrationsgrenzen sowie Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m2} &~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi \, R^2} \, \left[ \frac{d}{2} \, x + \frac{1}{2} \, x^2\right]_{-d/2+R}^{-d/2} \\\\
&~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{4 \pi} \end{align} $$

Analog wird beim dritten Integral in 11 vorgegangen. Das Ergebnis ist wie beim zweiten Integral.
3. Integral:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m3} &~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{2 \pi \, R^2} \int_{d/2 - R}^{d/2} \left( \frac{d}{2} - x\right) \, \text{d}x \\\\
&~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{4 \pi} \end{align} $$

Addition der magnetische Flüsse 15, 17 und 18 ergibt den gesamten magnetischen Fluss:

Magnetischer Fluss einer Doppelleitung

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ \frac{\mu_0 \, I \, l}{\pi} \, \left[ \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{d-R}{R}\right) \right] \end{align} $$

Teile nur noch den gesamten magnetischen Fluss $ \Phi_{\text m} $ durch den Strom $I$ (siehe Gl. 1), um die Induktivität $L$ des Doppelleiters herauszubekommen:

Induktivität einer Doppelleitung

$$ \begin{align} L ~=~ \frac{\mu_0 \, l}{\pi} \, \left[ \frac{1}{2} + \ln\left(\frac{d-R}{R}\right) \right] \end{align} $$