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Herleitung Gesamtinduktivität (Ersatzinduktivität) einer Reihen- und Parallelschaltung von Spulen

Parallelschaltung zweier Spulen
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung von Spulen
  2. Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung von Spulen

Im Folgenden wollen wir die Gesamtinduktivität \(L\) (auch Ersatzinduktivität genannt) von zwei parallel und von zwei in Reihe geschalteten Spulen herleiten. Die Spulen haben jeweils die Induktivität \(L_1\) und \(L_2\).

Da das von der Spule erzeugte Magnetfeld proportional zum Strom \( \class{red}{I} \) ist, der durch die Spule fließt, kann das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluss \(\Phi_{\text m}\) folgendermaßen geschrieben werden:

Magnetischer Fluss ist gleich der Induktivität mal Strom
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Die Induktivität \(L\) der Spule ist hier die Proportionalitätskonstante. Die angelegte Wechselspannung \(U\) und der dadurch entstandene Strom \(I\) hängen über das Induktionsgesetz zusammen:

Spannung ist proportional zur negativen zeitlichen Änderung des Stroms
Anker zu dieser Formel

Gesamtinduktivität einer Reihenschaltung von Spulen

Betrachte zwei in Reihe geschaltete Spulen, an denen eine Wechselspannung \(U\) anliegt. An den beiden Spulen fällt also diese zeitabhängige Gesamtspannung \(U\) ab. An den einzelnen Spulen fallen dagegen die Spannungen \(U_1\) und \(U_2\) ab:

Serienschaltung (Reihenschaltung) von Spulen
Zwei in Reihe geschaltete Spulen an denen eine Wechselspannung anliegt.
Summe der Einzelspannungen in der Reihenschaltung
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Setzen wir für alle drei Spannungen \(U\), \(U_1\) und \(U_2\) das Induktionsgesetz 2 ein (das Minuszeichen kürzt sich dabei auf beiden Seiten weg):

Summe der Einzelspannungen mittels Induktionsgesetz
Anker zu dieser Formel

Der Gesamtstrom \( \class{red}{I} \) geht nach der Knotenregel (1. Kirchhoff-Regel) durch die beiden Spulen hindurch. Die Ströme sind also alle gleich: \( \class{red}{I} = \class{red}{I_1} = \class{red}{I_2}\). Setze den gleichen Strom \( \class{red}{I} \) in Gl. 4 ein:

Summe der Einzelspannungen mittels Induktionsgesetz und gleichem Strom
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Die Zeitableitung des Strom kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor, kann also weggekürzt werden:

Gesamtinduktivität für zwei Spulen
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Die Induktivität bei einer Reihenschaltung addieren sich zu einer Gesamtinduktivität. Wenn wir \(n\) statt zwei in Reihe geschaltete Spulen hätten, dann summieren wir analog die Einzelinduktivitäten auf:

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Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung von Spulen

Betrachten wir nun zwei parallel geschaltete Spulen. Wird an die Parallelschaltung eine Wechselspannung \(U\) angelegt, so fließt ein Wechselstrom \( I \). Dieser Strom spaltet sich am Knotenpunkt in die Ströme \(I_1\) und \(I_2\) auf, die jeweils zu der ersten und zweiten Spule fließen. Nach der Knotenregel von Kirchhoff ist der Gesamtstrom gegeben durch die Summe der Einzelströme:

Parallelschaltung zweier Spulen
Zwei parallel geschaltete Spulen, durch die ein Wechselstrom geschickt wird.
Gesamtstrom durch eine Parallelschaltung
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Leite beide Seiten der Gl. 8 nach der Zeit ab:

Zeitableitung des Gesamtstroms ist die Summe der Zeitableitungen der Einzelströme
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Auf diese Weise kannst du das Induktionsgesetz 2 in Gl. 9 für die Zeitableitungen einsetzen:

Verhältnis von Spannung zur Induktivität
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Nach der Maschenregel (2. Kirchhoff-Regel) fällt die Gesamtspannung \(U\) auch an den einzelnen Spulen ab. Das heißt: \(U = U_1 = U_2\). Setze diese gleiche Spannung in Gl. 10 ein:

Gesamtspannung pro Gesamtinduktivität
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Die Spannung \(U\) in Gl. 11 können wir auf beiden Seiten kürzen:

Kehrwert der Gesamtinduktivität bei einer Parallelschaltung
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Wie du siehst: Die Gesamtinduktivität einer Parallelschaltung von zwei Spulen ist nicht gleich der Summe der Einzelinduktivitäten. Wir können noch nach der Gesamtinduktivität umstellen:

Formel für Gesamtinduktivität zweier parallel geschalteter Spulen
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Wenn wir nicht 2, sondern \(n\) parallel geschaltete Spulen haben, dann summieren analog die Kehrwerte der Einzelinduktivitäten, um den Kehrwert der Gesamtinduktivität zu erhalten:

Anker zu dieser Formel