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Herleitung Induktivität parallel / seriell geschalteter Spulen

Was du hier lernst...
  1. Serienschaltung zweier SpulenHier lernst du, wie die Induktivität von in Reihe geschalteter Spulen hergeleitet wird.
  2. Parallelschaltung zweier SpulenHier lernst du, wie die Induktivität von parallel geschalteten Spulen hergeleitet wird.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Im Folgenden wird die Gesamtinduktivität \(L\) von zwei parallel und von zwei seriell geschalteten Spulen mit den Induktivitäten \(L_1\) und \(L_2\) hergeleitet.

Da das von der Spule erzeugte Magnetfeld proportional zum Strom \(I\) ist, der durch die Spule fließt, kann das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluss \(\Phi_{\text m}\) folgendermaßen geschrieben werden:1\[ \Phi_{\text m} ~=~ L \, I \]hierbei ist \(L\) die Induktivität der Spule als Proportionalitätskonstante. Mithilfe des Induktionsgesetzes kann die an der Spule hervorgerufene Spannung \(U\) aufgrund der zeitlichen Stromänderung folgendermaßen geschrieben werden:2\[ U ~=~ -L \, \frac{\text{d}I}{\text{d}t} \]

Serienschaltung zweier Spulen

Serienschaltung (Reihenschaltung) von zwei Spulen.

Betrachte zwei seriell geschaltete Spulen. An diese wird eine Wechselspannung (Gesamtspannung) \(U\) angelegt. An den beiden Spulen fällt also diese zeitabhängige Gesamtspannung ab. An einzelnen Spulen fallen dagegen die Spannungen \(U_1\) und \(U_2\) ab:3\[ U ~=~ U_1 + U_2 \]

Mit 2 wird 3 zu (wobei das Minuszeichen sich wegkürzt):4\[ L \, \frac{\text{d}I}{\text{d}t} ~=~ L_1 \, \frac{\text{d}I_1}{\text{d}t} + L_2 \, \frac{\text{d}I_2}{\text{d}t} \]

Der Gesamtstrom \(I\) geht nach der Knotenregel (1. Kirchhoff-Regel) durch die beiden Spulen hindurch. Die Ströme sind also alle gleich: \(I = I_1 = I_2\). Einsetzen in 4:5\[ L \, \frac{\text{d}I}{\text{d}t} ~=~ L_1 \, \frac{\text{d}I}{\text{d}t} + L_2 \, \frac{\text{d}I}{\text{d}t} \]

Die Zeitableitung kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor, kann also gekürzt werden:6\[ L ~=~ L_1 + L_2 \]

Verallgemeinerung von 6 durch analoges Vorgehen mit \(n\) seriell geschalteten Spulen ergibt:

Induktivität - Serienschaltung von Spulen7\[ L ~=~ L_1 ~+~ L_2 ~+~ ... ~+~ L_n \]

Parallelschaltung zweier Spulen

Parallelschaltung von zwei Spulen.

Betrachte nun zwei parallel geschaltete Spulen. Wird an die beiden eine zeitabhängige Spannung \(U\) angelegt, so fließt ein zeitabhängiger Strom \(I\) durch die Parallelschaltung. Dieser Strom spaltet sich am Knotenpunkt auf, in die Ströme \(I_1\) und \(I_2\), die jeweils zu der ersten und zweiten Spule fließen. Der Gesamtstrom ist also:8\[ I ~=~ I_1 + I_2 \]

Zeitliche Differentiation von 8 ergibt:9\[ \frac{\text{d}I}{\text{d}t} ~=~ \frac{\text{d}I_1}{\text{d}t} + \frac{\text{d}I_2}{\text{d}t} \]

Dadurch kann jetzt 2 in 9 eingesetzt werden:10\[ \frac{U}{L} ~=~ \frac{U_1}{L_1} + \frac{U_2}{L_2} \]

Nach der Maschenregel (2. Kirchhoff-Regel) fällt die Spannung \(U\) auch an einzelnen Spulen ab, d.h. \(U = U_1 = U_2\). Einsetzen der Spannung in 10:11\[ \frac{U}{L} ~=~ \frac{U}{L_1} + \frac{U}{L_2} \]

Kürzen der Spannung in 11, um nur die Induktivitäten zu erhalten:11\[ \frac{1}{L} ~=~ \frac{1}{L_1} + \frac{1}{L_2} \]

Analoges Vorgehen mit \(n\) parallel geschalteten Spulen ergibt die Formel:

Induktivität - Parallelschaltung von Spulen7\[ \frac{1}{L} ~=~ \frac{1}{L_1} ~+~ \frac{1}{L_2} ~+~ ... ~+~ \frac{1}{L_n} \]
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