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Herleitung Verschiebungsstrom (4. Maxwell-Gleichung)

Level 4
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Im Folgenden wird der sogenannte Verschiebungsstrom \(I_{\text e}\) bzw. die Verschiebungsstromdichte \(\boldsymbol{j}_{\text e}\), die in der vierten Maxwell-Gleichung vorkommen, hergeleitet.

Konstante elektrische Ströme erzeugen B-Felder.

4. Maxwell-Gleichung in integraler Form (Magnetostatik)1\[ \oint_{L} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, I \]

Mit dem Stokes-Integraltheorem kann die integrale Form 1 in die differentielle Form überführt werden:

4. Maxwell-Gleichung in differentieller Form (Elektrostatik)2\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \boldsymbol{j} \]

Im allgemeineren Fall, wenn sich die Felder zeitlich verändern dürfen, gelten die integrale Form 1 und differentielle Form 2 dieser vierten Maxwell-Gleichung nicht mehr.

Zeitabhängiges E-Feld am Plattenkondensator erzeugt einen Verschiebungsstrom.

Betrachte dazu einen Plattenkondensator mit der Elektrodenfläche \(A\) und der mit einem Strom \(I\) aufgeladen wird. Zwischen den Elektroden baut sich ein elektrisches Feld \(E\) auf. Wird nun nach dem Ampere-Gesetz 8 eine Schleife \(S_1\) gewählt (siehe Illustration), dann ergibt das Ampere-Gesetz den Strom \(I\). Wird dagegen die Schleife \(S_2\) gewählt, sodass diese zwischen den Kondensatorplatten durchgeht, dann wird der eingeschlossene Strom offensichtlich Null, weil zwischen den Kondensatorplatten natürlich kein Strom fließt. Eine andere Wahl der den Strom umschließenden Fläche ergibt ein anderes Ergebnis.

Um diesen Widerspruch aufzulösen, wird der sogenannte Verschiebungsstrom \(I_{\text e}\) eingeführt. Wenn durch die Leitung der Strom \(I\) fließt, dann ändert sich die Ladung \(Q\) auf den Elektroden des Kondensators (dieser wird aufgeladen). Diese Ladungsänderung bedeutet eine Änderung des Ladungsunterschieds auf den Elektroden, also eine zeitliche Änderung des elektrischen Feldes \(E\) zwischen den Elektroden:3\[ I_{\text e} ~=~ \frac{\text{d}Q}{\text{d}t} ~=~ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left( \varepsilon_0 \, A \, E \right) \]wobei \(Q = \varepsilon_0 \, A \, E \) aus der 1. Maxwell-Gleichung in integraler Form und der Tatsache folgt, dass das E-Feld zwischen den Elektroden konstant ist. Außerdem ändert sich die Fläche \(A\) zeitlich nicht, weshalb diese zusammen mit der Feldkonstanten \(\varepsilon_0\) vor die Ableitung herausgezogen werden kann. Da das Feld \(E\) im Allgemeinen inhomogen (also ortsabhängig) sein kann, wird die Zeitableitung mit \(\partial\) notiert:4\[ I_{\text e} ~=~ \varepsilon_0 \, A \, \frac{\partial E}{\partial t} \]

Damit kann die integrale Form 1 der Maxwell-Gleichung korrigiert werden. Der Strom \(I\) in 1 entspricht also nicht allein einem konstanten Strom, sondern der Summe aus diesem konstanten Strom UND dem Verschiebungsstrom:5\[ \oint_{L} \boldsymbol{B} \cdot \text{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \, \left(I + \varepsilon_0 \, A \, \frac{\partial E}{\partial t}\right) \]hierbei wurde \(I\) als Anteil des konstanten Stroms notiert, um zusätzliche Notation zu vermeiden (davor wurde \(I\) als Gesamtstrom notiert).

Die differentielle Form 2 der Maxwell-Gleichung muss ebenfalls modifiziert werden. Dazu wird der Verschiebungsstrom 4 durch die Fläche \(A\) dividiert, um die Verschiebungsstromdichte \(j_{\text e}\) (Strom pro Fläche) zu erhalten:6\[ \boldsymbol{j}_{\text e} ~=~ \varepsilon_0 \, \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \]

Die Gleichung 6 enthält keine richtungsändernde Operationen, wie z.B. das Kreuzprodukt, weshalb die Verschiebungsstromdichte und das E-Feld in die gleiche Richtung zeigen müssen. Die Gleichung 6 wird im Sinne der Allgemeinheit vektoriell notiert.

Die gesamte Stromdichte in 2 setzt sich also im Allgemeinen aus der konstanten Stromdichte und der Verschiebungsstromdichte \(\boldsymbol{j}_{\text e}\) zusammen, die durch zeitabhängige elektrische Felder hervorgerufen wird:

4. Maxwell-Gleichung in differentieller Form7\[ \nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \left( \boldsymbol{j} ~+~ \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) \]

Durch die Einführung des Verschiebungsstroms wird nicht nur der obige Widerspruch mit dem Kondensator gelöst, sondern auch durch den zusätzlichen Summanden in 7, den Verschiebungsstrom, die Ladungserhaltung gerettet.

Konstante Ströme und zeitabhängige E-Felder erzeugen magnetische Wirbelfelder.

Die integrale Form 5 ist nicht ganz allgemein, denn in dieser Gleichung wird eine konstante Fläche \(A\) angenommen, die stets orthogonal zum E-Feld ist (weil hier eine Kondensatorplatte der Fläche \(A\) betrachtet wurde). Um diese Maxwell-Gleichung allgemein zu machen, d.h. für beliebige Flächen mit einer beliebigen Ausrichtung zum E-Feld, wird 5 mit einem Flächenintegral notiert:

4. Maxwell-Gleichung in integraler Form8\[ \oint_{L} \boldsymbol{B} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{l} ~=~ \mu_0 \, I + \int_{A} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} ~\cdot~ \text{d}\boldsymbol{a} \]
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