Herleitung Verschiebungsstrom für die 4. Maxwell-Gleichung

Hier wollen wir den sogenannten Verschiebungsstrom \(I_{\text e}\) und die Verschiebungsstromdichte \(\boldsymbol{j}_{\text e}\) herleiten, die in der vierten Maxwell-Gleichung vorkommen:

Mit dem Stokes-Integraltheorem kann die integrale Form 1 in die differentielle Form überführt werden, in der die Stromdichte \( \boldsymbol{j} \) vorkommt:

Im allgemeineren Fall, wenn sich das E- und B-Feld zeitlich verändern darf, gelten die integrale Form 1 und differentielle Form 2 der vierten Maxwell-Gleichung nicht mehr.

Betrachte dazu einen Plattenkondensator mit der Elektrodenfläche \(A\) und der mit einem Strom \(I\) aufgeladen wird. Zwischen den Elektroden baut sich ein elektrisches Feld \( \boldsymbol{E} \) auf.

• Wird nach dem Ampere-Gesetz 1 eine Schleife \(S_1\) gewählt (siehe Illustration 2), dann ergibt das Ampere-Gesetz den Strom \(I\).

• Wird dagegen die Schleife \(S_2\) gewählt, sodass diese zwischen den Kondensatorplatten durchgeht, dann wird der eingeschlossene Strom offensichtlich Null, weil zwischen den Kondensatorplatten natürlich kein Strom fließt.

Eine andere Wahl der Fläche, die den Strom umschließt, ergibt ein anderes Ergebnis... Nicht gut!

Um diesen Widerspruch aufzulösen, wird der sogenannte Verschiebungsstrom \(I_{\text e}\) eingeführt. Wenn durch die Leitung der Strom \(I\) fließt, dann ändert sich die Ladung \(Q\) auf den Elektroden des Kondensators (dieser wird aufgeladen). Diese zeitliche Ladungsänderung \(\dot{Q}\) bedeutet eine Änderung des Ladungsunterschieds auf den Elektroden, also eine zeitliche Änderung des elektrischen Feldes \( E \) zwischen den Elektroden:

Beim zweiten Gleichheitszeichen haben wir die erste Maxwell-Gleichung in integraler Form eingesetzt.

Wir gingen hier von einem Plattenkondensator aus, in dem das E-Feld homogen ist. Da aber das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}(t, x, y, z)\) im Allgemeinen inhomogen (also ortsabhängig) sein kann, wird die Zeitableitung als partielle Ableitung \(\partial\) notiert. Außerdem, wenn das elektrische Feld eine kontinuierliche ("mathematisch gutartige") Funktion ist, dann können wir, wenn wir wollen, die Zeitableitung in das Integral hineinziehen:

Damit können wir die integrale Form 1 der vierten Maxwell-Gleichung korrigieren. Der Gesamtstrom \(I\) in 1 entspricht also im Allgemeinen nicht NUR einem Strom, der durch fließende Ladungen hervorgerufen wird, sondern dieser setzt sich zusammen aus einem Strom \(I\), der durch fließende Ladungen hervorgerufen wird UND einem Verschiebungsstrom \(I_{\text e}\), der durch das zeitlich ändernde E-Feld entsteht:

Hierbei ist \(I\) wie gesagt der Anteil des Stroms, der durch bewegte Ladungen hervorgerufen wird und nicht mehr der Gesamtstrom wie in 1. Wir haben dafür die gleiche Bezeichnung gewählt, um zusätzliche Notation zu vermeiden. Wir hätten diesen Stromanteil auch mit \(I_{\text c}\) oder ähnlich bezeichnen können, sodass der Gesamtstrom \( I = I_{\text c} ~+~ I_{\text e} \) geschrieben werden kann.

Die differentielle Form 2 der vierten Maxwell-Gleichung muss ebenfalls modifiziert werden. Dort müssen wir lediglich die Gesamtstromdichte \(\boldsymbol{j}\) (Strom pro Fläche) anpassen. Sie setzt sich jetzt zusammen aus der Stromdichte \(\boldsymbol{j}\) (gleiche Bezeichnung), die durch bewegte Ladungen hervorgerufen wird und der Verschiebungsstromdichte \(\boldsymbol{j}_{\text e}\).

Der Strom ist allgemein definiert als das Flächenintegral der Stromdichte. Wenn du dir den Verschiebungsstrom 4 mit dieser Definition vergleichst, dann siehst, dass die Verschiebungsstromdichte folgendem Ausdruck entsprechen muss:

Damit können wir die differentielle Form 2 der vierten Maxwell-Gleichung korrigieren:

Durch die Einführung des Verschiebungsstroms wird nicht nur der obige Widerspruch mit dem Kondensator gelöst, sondern auch durch den zusätzlichen Summanden in 7, den Verschiebungsstrom, die Ladungserhaltung gerettet!