Direkt zum Inhalt

Herleitung Wellengleichung für E-Feld und B-Feld

Eine elektromagnetische Welle
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Wellengleichung für das elektrische Feld Hier leiten wir aus der dritten Maxwell-Gleichung im Vakuum die Wellengleichung für das E-Feld her.
  2. Wellengleichung für das Magnetfeld Hier leiten wir aus der vierten Maxwell-Gleichung im Vakuum die Wellengleichung für das B-Feld her.

Video - Elektromagnetische Wellengleichung einfach erklärt

Entsperren
Eine elektromagnetische Welle
Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

Das Ziel ist es aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum die Wellengleichung für das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}\) und das magnetische Feld \(\boldsymbol{B}\) herzuleiten.

Der Ausgang sind die vier Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik im ladungsfreien (\(\rho = 0\)) und stromfreien (\(\boldsymbol{j} = 0\)) Raum:

Maxwell-Gleichungen ohne Ladungen und Ströme
Anker zu dieser Formel

Eine weitere Zutat, die für die Herleitung der beiden Wellengleichungen notwendig ist, ist der folgende Zusammenhang für die Rotation der Rotation des Vektorfeldes \(\boldsymbol{F}\) (doppeltes Kreuzprodukt):

Doppeltes Kreuzprodukt eines Vektorfeldes
Anker zu dieser Formel

Der erste Summand ist hierbei der Gradient der Divergenz von \(\boldsymbol{F}\) und der zweite Summand ist die Divergenz des Gradienten von \(\boldsymbol{F}\). Das ist eine mathematische Beziehung, die man herleiten kann.

Wellengleichung für das elektrische Feld

Die Maxwell-Gleichungen 1 im Vakuum sind gekoppelte Differentialgleichungen. Um auf die Wellengleichung für das E-Feld zu kommen, müssen wir die dritte Maxwell-Gleichung entkoppeln. Wende dazu auf beiden Seiten der dritten Maxwell-Gleichung den Rotationsoperator mit Kreuzprodukt "\(\nabla \times \)" an:

Doppeltes Kreuzprodukt angewendet auf dritte Maxwell-Gleichung
Anker zu dieser Formel

Die Zeitableitung zusammen mit dem Minuszeichen darf vor den Nabla-Operator vorgezogen werden, da der Nabla-Operator (Ortsableitung) nicht von der Zeit \(t\) abhängt:

Dritte Maxwell-Gleichung mit herausgezogener Zeitableitung
Anker zu dieser Formel

Nun können wir die Rotation \( \nabla \times \boldsymbol{B} \) des Magnetfelds mithilfe der vierten Maxwell-Gleichung ersetzen:

Dritte und vierte Maxwell-Gleichungen kombiniert
Anker zu dieser Formel

Die Zeitableitung außerhalb der Klammer, kannst du hinter die magnetische und elektrische Feldkonstanten schreiben. Zwei Zeitableitungen hintereinander können zur zweiten Zeitableitung kompakt zusammengefasst werden:

Entkoppelte dritte Maxwell-Gleichung
Anker zu dieser Formel

Eine Seite der Wellengleichung ist hergeleitet, nämlich die zweite Zeitableitung des elektrischen Feldes. Jetzt muss nur noch die linke Seite in die richtige Form, wie bei einer Wellengleichung, umgeschrieben werden. Dazu wird das doppelte Kreuzprodukt 2 eingesetzt:

Entkoppelte dritte Maxwell-Gleichung mit eliminiertem doppelten Kreuzprodukt
Anker zu dieser Formel

Auf der linken Seite von 7 kommt die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{E}\) des elektrischen Feldes vor. Nach der ersten Maxwell-Gleichung ist die Divergenz des elektrischen Feldes im ladungsfreien Raum stets Null. Damit vereinfacht sich 7 zu:

Anker zu dieser Formel

Wellengleichung für das Magnetfeld

Um die Wellengleichung für das magnetische Feld \(\boldsymbol{B}\) herzuleiten, müssen wir die vierte Maxwell-Gleichung in 1 entkoppeln. Das geht analog wie beim E-Feld. Wende den Rotationsoperator mit Kreuzprodukt "\(\nabla \times\)" auf beiden Seiten der vierten Maxwell-Gleichung an:

Doppeltes Kreuzprodukt angewendet auf vierte Maxwell-Gleichung
Anker zu dieser Formel

Ziehe nun die Zeitableitung und die beiden Konstanten auf der rechten Seite vor den Nabla-Operator:

Vierte Maxwell-Gleichung mit herausgezogener Zeitableitung
Anker zu dieser Formel

Benutze die dritte Maxwell-Gleichung, um die Rotation \( \nabla \times \boldsymbol{E} \) des elektrischen Feldes auf der rechten Seite zu ersetzen:

Entkoppelte vierte Maxwell-Gleichung
Anker zu dieser Formel

Die Zeitableitung wird zusammengefasst und das doppelte Kreuzprodukt auf der linken Seite mittels der Beziehung 2 ersetzt:

Entkoppelte vierte Maxwell-Gleichung mit eliminiertem doppelten Kreuzprodukt
Anker zu dieser Formel

Die Divergenz \(\nabla \cdot \boldsymbol{B}\) ist nach der zweiten Maxwell-Gleichung Null. Damit bekommst du:

Anker zu dieser Formel