Herleitung Wellengleichung für E-Feld und B-Feld

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 23.09.2022

Inhaltsverzeichnis

Wellengleichung für das elektrische Feld Hier leiten wir aus der dritten Maxwell-Gleichung im Vakuum die Wellengleichung für das E-Feld her.
Wellengleichung für das Magnetfeld Hier leiten wir aus der vierten Maxwell-Gleichung im Vakuum die Wellengleichung für das B-Feld her.

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Elektromagnetische Welle mit E-Feld und B-Feld Komponente.

Das Ziel ist es aus den Maxwell-Gleichungen im ladungsfreien Raum die Wellengleichung für das elektrische Feld $\boldsymbol{E}$ und das magnetische Feld $\boldsymbol{B}$ herzuleiten.

Der Ausgang sind die vier Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik im ladungsfreien ($\rho = 0$) und stromfreien ($\boldsymbol{j} = 0$) Raum:

Maxwell-Gleichungen ohne Ladungen und Ströme

$$ \begin{align} \nabla ~\cdot~ \boldsymbol{E} ~&=~ 0 \\\\
\nabla ~\cdot~ \boldsymbol{B} ~&=~ 0 \\\\
\nabla ~\times~ \boldsymbol{E} ~&=~ -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\\\
\nabla ~\times~ \boldsymbol{B} ~&=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align} $$

Eine weitere Zutat, die für die Herleitung der beiden Wellengleichungen notwendig ist, ist der folgende Zusammenhang für die Rotation der Rotation des Vektorfeldes $\boldsymbol{F}$ (doppeltes Kreuzprodukt):

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{F} ~=~ \nabla \, \left(\nabla \cdot \boldsymbol{F}\right) ~-~ \nabla^2 \, \boldsymbol{F} \end{align} $$

Der erste Summand ist hierbei der Gradient der Divergenz von $\boldsymbol{F}$ und der zweite Summand ist die Divergenz des Gradienten von $\boldsymbol{F}$. Das ist eine mathematische Beziehung, die man herleiten kann.

Wellengleichung für das elektrische Feld

Die Maxwell-Gleichungen 1 im Vakuum sind gekoppelte Differentialgleichungen. Um auf die Wellengleichung für das E-Feld zu kommen, müssen wir die dritte Maxwell-Gleichung entkoppeln. Wende dazu auf beiden Seiten der dritten Maxwell-Gleichung den Rotationsoperator mit Kreuzprodukt "$\nabla \times $" an:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ \nabla \times \left( -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \right) \end{align} $$

Die Zeitableitung zusammen mit dem Minuszeichen darf vor den Nabla-Operator vorgezogen werden, da der Nabla-Operator (Ortsableitung) nicht von der Zeit $t$ abhängt:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ - \frac{\partial}{\partial t} \, \nabla \times \boldsymbol{B} \end{align} $$

Nun können wir die Rotation $ \nabla \times \boldsymbol{B} $ des Magnetfelds mithilfe der vierten Maxwell-Gleichung ersetzen:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ -\frac{\partial}{\partial t} \, \left( \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \right) \end{align} $$

Die Zeitableitung außerhalb der Klammer, kannst du hinter die magnetische und elektrische Feldkonstanten schreiben. Zwei Zeitableitungen hintereinander können zur zweiten Zeitableitung kompakt zusammengefasst werden:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{E} ~=~ - \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \end{align} $$

Eine Seite der Wellengleichung ist hergeleitet, nämlich die zweite Zeitableitung des elektrischen Feldes. Jetzt muss nur noch die linke Seite in die richtige Form, wie bei einer Wellengleichung, umgeschrieben werden. Dazu wird das doppelte Kreuzprodukt 2 eingesetzt:

$$ \begin{align} \nabla \, \left(\nabla \cdot \boldsymbol{E}\right) ~-~ \nabla^2 \boldsymbol{E} ~=~ - \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2} \end{align} $$

Auf der linken Seite von 7 kommt die Divergenz $\nabla \cdot \boldsymbol{E}$ des elektrischen Feldes vor. Nach der ersten Maxwell-Gleichung ist die Divergenz des elektrischen Feldes im ladungsfreien Raum stets Null. Damit vereinfacht sich 7 zu:

Wellengleichung für das E-Feld

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \class{gray}{\boldsymbol{E}} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \class{gray}{\boldsymbol{E}}}{\partial t^2} \end{align} $$

Wellengleichung für das Magnetfeld

Um die Wellengleichung für das magnetische Feld $\boldsymbol{B}$ herzuleiten, müssen wir die vierte Maxwell-Gleichung in 1 entkoppeln. Das geht analog wie beim E-Feld. Wende den Rotationsoperator mit Kreuzprodukt "$\nabla \times$" auf beiden Seiten der vierten Maxwell-Gleichung an:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{B} ~=~ \nabla \times \left(\mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}\right) \end{align} $$

Ziehe nun die Zeitableitung und die beiden Konstanten auf der rechten Seite vor den Nabla-Operator:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \, \nabla \times \boldsymbol{E} \end{align} $$

Benutze die dritte Maxwell-Gleichung, um die Rotation $ \nabla \times \boldsymbol{E} $ des elektrischen Feldes auf der rechten Seite zu ersetzen:

$$ \begin{align} \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{B} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \, \left(-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\right) \end{align} $$

Die Zeitableitung wird zusammengefasst und das doppelte Kreuzprodukt auf der linken Seite mittels der Beziehung 2 ersetzt:

$$ \begin{align} \nabla \, \left(\nabla \cdot \boldsymbol{B}\right) ~-~ \nabla^2 \boldsymbol{B} ~=~ - \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} \end{align} $$

Die Divergenz $\nabla \cdot \boldsymbol{B}$ ist nach der zweiten Maxwell-Gleichung Null. Damit bekommst du:

Wellengleichung für das B-Feld

$$ \begin{align} \nabla^2 \, \class{violet}{\boldsymbol{B}} ~=~ \mu_0 \, \varepsilon_0 \, \frac{\partial^2 \class{violet}{\boldsymbol{B}}}{\partial t^2} \end{align} $$

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