Direkt zum Inhalt

Herleitung Magnetischer Dipol - Drehmoment, Energie, Kraft

Magnetischer Dipol im Magnetfeld
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am
Inhaltsverzeichnis
  1. Drehmoment
  2. Potentielle Energie
  3. Kraft

Betrachte eine rechteckige, leitende Schleife mit den Kantenlängen \(a\) und \(b\). Sei die Schleife um die Achse parallel zur Kante \(a\) drehbar. Nennen wir diese Achse \(\text{C}\). Sei die Schleife um die Achse parallel zu \(b\) nicht drehbar. Außerdem wird die Schleife von einem elektrischen Strom \( \class{red}{I} \) durchflossen.

Rechteckige Stromschleife in einem Magnetfeld
Rechteckige Stromschleife in einem Magnetfeld.

Sei \(\boldsymbol{A}\) der Flächenorthogonalenvektor, der die von der Schleife eingeschlossene Fläche \(A\) repräsentiert und orthogonal auf dieser Fläche steht. Mit der rechten Hand-Regel und der vorgegebenen technischen Stromrichtung ist die Richtung von \(\boldsymbol{A}\) eindeutig festgelegt. Das magnetische Dipolmoment ist damit definitionsgemäß gegeben durch die folgende Formel:

Anker zu dieser Formel

Wird die Schleife nun in ein homogenes externes Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} \) platziert, dann dreht sich die Schleife solange, bis \( \boldsymbol{A} \) und \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} \) in gleiche Richtung zeigen. Während der Drehung um die Achse \(\text{C}\) besitzt die Schleife ein Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) entlang von \(\text{C}\). Im Folgenden wird eine Formel für das Drehmoment hergeleitet.

Drehmoment

Das Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) um eine Drehachse \(\text{C}\) ist definiert als das Kreuzprodukt des Abstands \( \boldsymbol{r} \) des Leiterstücks von der Drehachse und der am Leiterstück wirkenden Kraft \( \boldsymbol{F} \):

Definition des Drehmoments
Anker zu dieser Formel

Auf das erste parallele Leiterstück der Länge \(a\), das sich in einem homogenen Magnetfeld \( \class{violet}{\boldsymbol{B}} \) befinden, wirkt die Lorentzkraft (magnetische Kraft):

Lorentzkraft auf einen Leiter
Anker zu dieser Formel

Hierbei verläuft der Vektor \(\boldsymbol{a}\) entlang des Leiterstücks. Analog kann die Kraft auch mit dem Stromvektor geschrieben werden: \(a \, \boldsymbol{I} ~\times~ \class{violet}{ \boldsymbol{B} }\). Dann ist der Strom ein Vektor, der die technische Stromrichtung entlang des Leiterstücks angibt und \(a\) ein Skalar.

Auf das zweite Leiterstück, in dem der Strom in entgegengesetzte Richtung zeigt, wirkt ebenfalls eine magnetische Kraft. Diese zeigt jedoch in entgegengesetzte Richtung:

Lorentzkraft auf den zweiten Leiter ist entgegengesetzt
Anker zu dieser Formel

Der Vektor \(\boldsymbol{r}\) ist in Gl. 2 der Abstand des Leiterstücks der Länge \(a\) von der Achse \(\text{C}\). Das heißt \(\boldsymbol{r}\) verläuft parallel zu \(\boldsymbol{b}\). Dieser Abstand beträgt für das erste Leiterstück: \( \boldsymbol{r}_1 = \frac{\boldsymbol{b}}{2} \). Das gegenüberliegende zweite Leiterstück befindet sich dagegen im gleichen Abstand aber in entgegengesetzter Richtung: \( \boldsymbol{r}_2 = -\frac{\boldsymbol{b}}{2} \). Beide Anteile mit den dazugehörigen Kräften 3 und 4 tragen zum Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) bei. Damit wird Gl. 2:

Gesamtdrehmoment auf die beiden Leiter
Anker zu dieser Formel

Jetzt muss nur noch die Lorentzkraft 3 in Gl. 5 eingesetzt werden:

Drehmoment mit der Lorentzkraft ausgedrückt
Anker zu dieser Formel

Das doppelte Kreuzprodukt kann vereinfacht werden. Das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \) steht orthogonal auf \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) und entspricht genau dem Flächenorthogonalenvektor \(\boldsymbol{A}\). Damit wird Gl. 6:

Drehmoment mit der eingeschlossenen Fläche ausgedrückt
Anker zu dieser Formel
Magnetischer Dipol im Magnetfeld
Magnetischer Dipol im Magnetfeld erfährt ein Drehmoment.

Wird noch das magnetische Dipolmoment 1 in Gl. 7 eingesetzt, ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehmoment, magnetischen Dipolmoment und dem externen Magnetfeld:

Anker zu dieser Formel

Der Betrag des Drehmoments 8 ist damit:

Betrag des Drehmoments auf einen magnetischen Dipol
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \(\varphi\) der Winkel zwischen den Vektoren \( \boldsymbol{\mu} \) und \( \class{violet}{ \boldsymbol{B} } \) ist.

Potentielle Energie

Mithilfe des hergeleiteten Drehmoments lässt sich die potentielle Energie \(W_{\mu}\) des magnetischen Dipols herleiten.

Die Arbeit \(W\), die vom externen Magnetfeld verrichtet wird, um den Dipol zu drehen, beträgt allgemein:

Arbeit gleich Kraft mal infinitesimaler Weg
Anker zu dieser Formel

Der Betrag \(M\) des Drehmoments aus Gl. 2 ist gegeben durch:

Betrag des Drehmoments
Anker zu dieser Formel

Der Winkel \(\alpha\) zwischen dem Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) und der Kraft \(\boldsymbol{F}\) beträgt hier 90 Grad, denn die Kraft lässt sich in einen zu \(\boldsymbol{r}\) parallelen Anteil \(\boldsymbol{F}_{||}\) und in einen zu \(\boldsymbol{r}\) orthogonalen Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\) aufspalten. Der parallele Anteil trägt nicht zur verrichteten Arbeit bei. Deshalb lässt sich Gl. 11 auch folgendermaßen schreiben:

Drehmoment ist gleich Radius mal orthogonaler Anteil der Kraft
Anker zu dieser Formel

Mithilfe der Gl. 12 kann die Kraft im Integral 10 mit dem Drehmoment \(M\) ausgedrückt werden (\(F:=F_{\perp}\)):

Arbeit ist gleich Integral des Drehmoments pro Radius
Anker zu dieser Formel

Das \(\text{d}s\)-Element wird in Polarkoordinaten ausgedrückt als \(\text{d}s = -r \,\text{d}\varphi \) (Minuszeichen, da \(\text{d}s\) entgegen zu \(\text{d}\varphi\) zeigt). Beim Einsetzen in Gl. 11 kürzt sich \(r\) weg. Auf diese Weise wird die vom Magnetfeld verrichtete Arbeit mithilfe des gegebenen Drehmoments ausgedrückt:

Arbeit ist gleich Integral des Drehmoments über den Winkel
Anker zu dieser Formel

Setze nun den Drehmoment-Betrag 10 in Gl. 14 ein. Integriert wird über den Winkel von \(\pi/2\) bis zu einem variablen Winkel \(\varphi\). (Die untere Grenze \(\pi/2\) wurde so gewählt, damit der Nullpunkt der potentiellen Energie auf Null gesetzt ist):

Arbeit ist gleich magnetisches Moment mal Drehmoment mal Cosinus des Winkels
Anker zu dieser Formel

Die potentielle Energie \(W_{\mu}\) des magnetischen Dipols entspricht dabei der negativen, vom externen Magnetfeld verrichteten Arbeit \(W\): \( W_{\mu} = - W\). Damit ist die potentielle Energie des magnetischen Dipols gegeben durch:

Energie des magnetischen Dipols mittels Winkel
Anker zu dieser Formel

Oder kompakt ausgedrückt mithilfe des Skalarprodukts:

Anker zu dieser Formel

Kraft

Eine konservative Kraft \(\boldsymbol{F}\) lässt sich als Gradient der potentiellen Energie \(W_{\text{pot}}\) schreiben:

Kraft ist Gradient der potentiellen Energie
Anker zu dieser Formel

Hierbei ist \(\nabla\) der Nabla-Operator. Einsetzen der potentiellen Energie 17 des magnetischen Dipols in Gl. 18 ergibt:

Kraft ist Nabla-Operator angewendet auf das Skalarprodukt des Dipolmoments mit dem Magnetfeld
Anker zu dieser Formel

Die Minuszeichen heben sich weg und wir bekommen die Formel für die Kraft:

Anker zu dieser Formel
Magnetischer Dipol (Schleife) im inhomogenen Magnetfeld
Magnetischer Dipol in einem inhomogenen Magnetfeld.

Da \(\boldsymbol{\mu}\) ortsunabhängig ist, lässt sich Gl. 20 alternativ auch folgendermaßen schreiben:

Magnetische Kraft ist gleich Matrix angewendet auf Dipolmomentvektor
Anker zu dieser Formel

Gl. 21 ist so zu verstehen: Eine Matrix \(\nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}}\) (im dreidimensionalen Fall eine 3x3-Matrix) wird auf den Vektor \(\boldsymbol{\mu}\) angewendet. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor, nämlich die Kraft \(\boldsymbol{F}\).

Gültigkeit der hergeleiteten Gleichungen: Auch, wenn das Drehmoment (und damit auch Energie und Kraft) mithilfe einer rechteckigen Schleife hergeleitet wurde, gelten die hergeleiteten Gleichungen für beliebig geformte Schleifen, denn die Gleichungen enthalten keine geometrischen Größen.

Hat dir die Herleitung geholfen? Spende bitte 2 Euro.

Die perfekte Formelsammlung als E-Book

✅ Perfekt für Studiengänge mit Physik
✅ Enthält über 500 Formeln
✅ Enthält Wertetabellen
Für jeden verständlich, weil ohne Vektoren und Integrale
✅ Formeln sind bunt gestaltet und visualisiert