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Herleitung Magnetischer Dipol - Drehmoment, Energie, Kraft

Was du hier lernst...
  1. DrehmomentHier lernst du, wie das Drehmoment eines Dipols im externen Magnetfeld hergeleitet wird.
  2. Potentielle EnergieHier lernst du, wie die Energie eines Dipols im externen Magnetfeld hergeleitet wird.
  3. KraftHier lernst du, wie die Kraft auf eine Dipols im externen Magnetfeld hergeleitet wird.
Level 3
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Betrachte eine rechteckige, leitende Schleife mit den Kantenlängen \(a\) und \(b\). Sei die Schleife um die Achse parallel zur Kante \(a\) drehbar. Nennen wir diese Achse \(\text{C}\). Sei die Schleife um die Achse parallel zu \(b\) nicht drehbar. Außerdem wird die Schleife von einem elektrischen Strom \(I\) durchflossen.

Rechteckige Stromschleife in einem Magnetfeld.

Sei \(\boldsymbol{A}\) der Flächenorthogonalenvektor, der die von der Schleife eingeschlossene Fläche \(A\) repräsentiert und orthogonal auf dieser Fläche steht. Mit der rechten Hand-Regel und der vorgegebenen technischen Stromrichtung ist die Richtung von \(\boldsymbol{A}\) eindeutig festgelegt. Das magnetische Dipolmoment ist damit definitionsgemäß:

Magnetisches Dipolmoment1\[ \boldsymbol{\mu} ~=~ I \, \boldsymbol{A} \]

Wird die Schleife nun in ein homogenes externes Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) platziert, dann dreht sich die Schleife solange, bis \( \boldsymbol{A} \) und \(\boldsymbol{B}\) in gleiche Richtung zeigen. Während der Drehung um die Achse \(\text{C}\) besitzt die Schleife ein Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) entlang von \(\text{C}\). Dieses wird im Folgenden hergeleitet.

Drehmoment

Das Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) um eine Drehachse \(\text{C}\) ist definiert als das Kreuzprodukt des Abstands \( \boldsymbol{r} \) des Leiterstücks von der Drehachse und der am Leiterstück wirkenden Kraft \( \boldsymbol{F} \):2\[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \]

Auf das erste parallele Leiterstück der Länge \(a\), das sich in einem homogenen Magnetfeld \(\boldsymbol{B}\) befinden, wirkt die Lorentzkraft (magnetische Kraft):3\[ \boldsymbol{F}_1 ~:=~ F ~=~ I \, \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{B} \]

Hierbei verläuft der Vektor \(\boldsymbol{a}\) entlang des Leiterstücks. Analog kann die Kraft auch \(a \, \boldsymbol{I} ~\times~ \boldsymbol{B}\) geschrieben werden. Dann ist der Strom ein Vektor, der die technische Stromrichtung entlang des Leiterstücks angibt und \(a\) ein Skalar.

Auf das zweite Leiterstück, in dem der Strom in entgegengesetzte Richtung zeigt, wirkt ebenfalls eine magnetische Kraft. Diese zeigt jedoch in entgegengesetzte Richtung:4\[ \boldsymbol{F}_2 ~:=~ -F \]

Der Vektor \(\boldsymbol{r}\) ist in 2 der Abstand des Leiterstücks der Länge \(a\) von der Achse \(\text{C}\). Das heißt \(\boldsymbol{r}\) verläuft parallel zu \(\boldsymbol{b}\). Dieser Abstand beträgt für das erste Leiterstück: \( \boldsymbol{r}_1 = \frac{\boldsymbol{b}}{2} \). Das gegenüberliegende zweite Leiterstück befindet sich dagegen bei: \( \boldsymbol{r}_2 = -\frac{\boldsymbol{b}}{2} \), da hier \(\boldsymbol{r}\) in entgegengesetzte Richtung zeigt. Beide Anteile mit den dazugehörigen Kräften 3 und 4 tragen zum Drehmoment \(\boldsymbol{M}\) bei. Damit wird 2: 5\[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{F}_1 ~+~ \boldsymbol{r}_2 \times \boldsymbol{F}_2 ~\Leftrightarrow\] 6\[ \boldsymbol{M} ~=~ \frac{\boldsymbol{b}}{2} \times \boldsymbol{F} ~+~ \left(-\frac{\boldsymbol{b}}{2}\right) \times \left(-\boldsymbol{F}\right) ~\Leftrightarrow\] 7\[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{F} \]

Jetzt muss nur noch die Lorentzkraft 3 in 7 eingesetzt werden: 8\[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{b} \times \left( I \, \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{B}\right) ~\Leftrightarrow\] 9\[ \boldsymbol{M} ~=~ I \, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} ~\times~ \boldsymbol{B}\]

Das doppelte Kreuzprodukt kann vereinfacht werden. Das Kreuzprodukt \(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} \) steht orthogonal auf \(\boldsymbol{a}\) und \(\boldsymbol{b}\) und entspricht genau dem Flächenorthogonalenvektor \(\boldsymbol{A}\). Damit wird 9: 10\[ \boldsymbol{M} ~=~ I \, \boldsymbol{A} ~\times~ \boldsymbol{B}\]

Magnetischer Dipol im Magnetfeld erfährt ein Drehmoment.

Wird noch das magnetische Dipolmoment 1 in 10 eingesetzt, ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehmoment, magnetischen Dipolmoment und dem externen Magnetfeld:

Drehmoment eines Dipols im externen Magnetfeld11\[ \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{\mu} \times \boldsymbol{B} \]

Der Betrag des Drehmoments 11 ist damit:12\[ M ~=~ \mu \, B \, \sin(\varphi) \]wobei \(\varphi\) der Winkel zwischen \(\mu\) und \(B\) ist.

Potentielle Energie

Mithilfe des hergeleiteten Drehmoments lässt sich die potentielle Energie \(W_{\mu}\) des magnetischen Dipols herleiten.

Die Arbeit \(W\), die vom externen Magnetfeld verrichtet wird, um den Dipol zu drehen, beträgt allgemein:13\[ W = \int F \, \text{d}s \]

Der Betrag des Drehmoments 2 ist gegeben durch:14\[ M ~=~ r \, F \, \sin(\alpha) \]

Der Winkel \(\alpha\) zwischen dem Ortsvektor \(\boldsymbol{r}\) und der Kraft \(\boldsymbol{F}\) beträgt hier 90 Grad, denn die Kraft lässt sich in einen zu \(\boldsymbol{r}\) parallelen Anteil \(\boldsymbol{F}_{||}\) und in einen zu \(\boldsymbol{r}\) orthogonalen Anteil \(\boldsymbol{F}_{\perp}\) aufspalten. Der parallele Anteil trägt nicht zur verrichteten Arbeit bei. Deshalb vereinfacht sich 14 zu:15\[ M ~=~ r \, F_{\perp} \]

Mithilfe von 15 kann die Kraft im Integral 13 mit dem Drehmoment \(M\) ausgedrückt werden (\(F:=F_{\perp}\)):16\[ W = \int \frac{M}{r} \, \text{d}s \]

Das \(\text{d}s\)-Element wird in Polarkoordinaten ausgedrückt als \(\text{d}s = -r \,\text{d}\varphi \) (Minuszeichen, da \(\text{d}s\) entgegen zu \(\text{d}\varphi\) zeigt). Beim Einsetzen in 14 kürzt sich \(r\) weg. Auf diese Weise wird die vom Magnetfeld verrichtete Arbeit mithilfe des gegebenen Drehmoments ausgedrückt:17\[ W = -\int M \, \text{d}\varphi \]

Setze nun in 17 den Drehmoment-Betrag 12 ein. Integriert wird über den Winkel von \(\pi/2\) bis zu einem variablen Winkel \(\varphi\). (Die untere Grenze \(\pi/2\) wurde so gewählt, damit der Nullpunkt der potentiellen Energie auf Null gesetzt ist):18\[ W = -\mu \, B \int_{\pi/2}^{\varphi} \sin(\varphi) \, \text{d}\varphi ~\Leftrightarrow \] 19\[ W = -\mu \, B \, \bigl[ - \cos(\varphi) \bigr]^{\varphi}_{\pi/2} ~\Leftrightarrow \]20\[ W = \mu \, B \, \bigl[ \cos(\varphi) - \cos(\pi/2) \bigr] ~\Leftrightarrow \]21\[ W = \mu \, B \, \cos(\varphi) \]

Die potentielle Energie \(W_{\mu}\) des magnetischen Dipols entspriht dabei der negativen, vom externen Magnetfeld verrichteten Arbeit \(W\): \( W_{\mu} = - W\). Damit ist die potentielle Energie des magnetischen Dipols gegeben durch:22\[ W_{\mu} ~=~ -\mu \, B \, \cos(\varphi) \]

Oder kompakt ausgedrückt mithilfe des Skalarprodukts:

Potentielle Energie eines Dipols23\[ W_{\mu} ~=~ -\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B} \]

Kraft

Eine konservative Kraft \(\boldsymbol{F}\) lässt sich als Gradient der potentiellen Energie \(W_{\text{pot}}\) schreiben:24\[ \boldsymbol{F} ~=~ - \nabla W_{\text{pot}} \]hierbei ist \(\nabla\) der Nabla-Operator.

Einsetzen der potentiellen Energie 23 des magnetischen Dipols in 24 ergibt:25\[ \boldsymbol{F} ~=~ - \nabla \left( -\boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B} \right) ~\Leftrightarrow \]

Magnetischer Dipol in einem inhomogenen Magnetfeld.

Kraft auf einen magnetischen Dipol26\[ \boldsymbol{F} ~=~ \nabla \left( \boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B} \right) \]

Da \(\boldsymbol{\mu}\) ortsunabhängig ist, lässt sich 26 alternativ auch folgendermaßen schreiben:27\[ \boldsymbol{F} ~=~ \boldsymbol{\mu} \, \nabla \boldsymbol{B} \]

Hierbei ist \(\nabla \boldsymbol{B}\) im dreidimensionalen Fall eine 3x3-Matrix.

Gültigkeit der GleichungenAuch, wenn das Drehmoment (und damit auch Energie und Kraft) mithilfe einer rechteckigen Schleife hergeleitet wurde, gelten die hergeleiteten Gleichungen für beliebig geformte Schleifen, da sie keine geometrischen Größen enthalten.
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