Herleitung Magnetischer Dipol - Drehmoment, Energie, Kraft

Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 27.10.2022

Inhaltsverzeichnis

Betrachte eine rechteckige, leitende Schleife mit den Kantenlängen $a$ und $b$. Sei die Schleife um die Achse parallel zur Kante $a$ drehbar. Nennen wir diese Achse $\text{C}$. Sei die Schleife um die Achse parallel zu $b$ nicht drehbar. Außerdem wird die Schleife von einem elektrischen Strom $ \class{red}{I} $ durchflossen.

Illustration bekommen

SVG PNG AI Alles freischalten Über die Illustration

Rechteckige Stromschleife in einem Magnetfeld.

Sei $\boldsymbol{A}$ der Flächenorthogonalenvektor, der die von der Schleife eingeschlossene Fläche $A$ repräsentiert und orthogonal auf dieser Fläche steht. Mit der rechten Hand-Regel und der vorgegebenen technischen Stromrichtung ist die Richtung von $\boldsymbol{A}$ eindeutig festgelegt. Das magnetische Dipolmoment ist damit definitionsgemäß gegeben durch die folgende Formel:

Magnetisches Dipolmoment

$$ \begin{align} \class{red}{\boldsymbol{\mu}} ~=~ \class{red}{I} \, \boldsymbol{A} \end{align} $$

Wird die Schleife nun in ein homogenes externes Magnetfeld $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} $ platziert, dann dreht sich die Schleife solange, bis $ \boldsymbol{A} $ und $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} $ in gleiche Richtung zeigen. Während der Drehung um die Achse $\text{C}$ besitzt die Schleife ein Drehmoment $\boldsymbol{M}$ entlang von $\text{C}$. Im Folgenden wird eine Formel für das Drehmoment hergeleitet.

Drehmoment

Das Drehmoment $\boldsymbol{M}$ um eine Drehachse $\text{C}$ ist definiert als das Kreuzprodukt des Abstands $ \boldsymbol{r} $ des Leiterstücks von der Drehachse und der am Leiterstück wirkenden Kraft $ \boldsymbol{F} $:

$$ \begin{align} \boldsymbol{M} ~=~ \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F} \end{align} $$

Auf das erste parallele Leiterstück der Länge $a$, das sich in einem homogenen Magnetfeld $ \class{violet}{\boldsymbol{B}} $ befinden, wirkt die Lorentzkraft (magnetische Kraft):

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}_1 ~:=~ F ~=~ I \, \boldsymbol{a} ~\times~ \class{violet}{ \boldsymbol{B} } \end{align} $$

Hierbei verläuft der Vektor $\boldsymbol{a}$ entlang des Leiterstücks. Analog kann die Kraft auch mit dem Stromvektor geschrieben werden: $a \, \boldsymbol{I} ~\times~ \class{violet}{ \boldsymbol{B} }$. Dann ist der Strom ein Vektor, der die technische Stromrichtung entlang des Leiterstücks angibt und $a$ ein Skalar.

Auf das zweite Leiterstück, in dem der Strom in entgegengesetzte Richtung zeigt, wirkt ebenfalls eine magnetische Kraft. Diese zeigt jedoch in entgegengesetzte Richtung:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F}_2 ~:=~ -F \end{align} $$

Der Vektor $\boldsymbol{r}$ ist in Gl. 2 der Abstand des Leiterstücks der Länge $a$ von der Achse $\text{C}$. Das heißt $\boldsymbol{r}$ verläuft parallel zu $\boldsymbol{b}$. Dieser Abstand beträgt für das erste Leiterstück: $ \boldsymbol{r}_1 = \frac{\boldsymbol{b}}{2} $. Das gegenüberliegende zweite Leiterstück befindet sich dagegen im gleichen Abstand aber in entgegengesetzter Richtung: $ \boldsymbol{r}_2 = -\frac{\boldsymbol{b}}{2} $. Beide Anteile mit den dazugehörigen Kräften 3 und 4 tragen zum Drehmoment $\boldsymbol{M}$ bei. Damit wird Gl. 2:

$$ \begin{align} \boldsymbol{M} & ~=~ \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{F}_1 ~+~ \boldsymbol{r}_2 \times \boldsymbol{F}_2 \\\\
& ~=~ \frac{\boldsymbol{b}}{2} \times \boldsymbol{F} ~+~ \left(-\frac{\boldsymbol{b}}{2}\right) \times \left(-\boldsymbol{F}\right) \\\\
& ~=~ \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{F} \end{align} $$

Jetzt muss nur noch die Lorentzkraft 3 in Gl. 5 eingesetzt werden:

$$ \begin{align} \boldsymbol{M} & ~=~ \boldsymbol{b} \times \left( I \, \boldsymbol{a} ~\times~ \class{violet}{\boldsymbol{B}}\right) \\\\
& ~=~ I \, \boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} ~\times~ \class{violet}{\boldsymbol{B}} \end{align} $$

Das doppelte Kreuzprodukt kann vereinfacht werden. Das Kreuzprodukt $\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a} $ steht orthogonal auf $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ und entspricht genau dem Flächenorthogonalenvektor $\boldsymbol{A}$. Damit wird Gl. 6:

$$ \begin{align} \boldsymbol{M} ~=~ I \, \boldsymbol{A} ~\times~ \class{violet}{\boldsymbol{B}} \end{align} $$

Illustration bekommen

SVG PNG AI Alles freischalten Über die Illustration

Magnetischer Dipol im Magnetfeld erfährt ein Drehmoment.

Wird noch das magnetische Dipolmoment 1 in Gl. 7 eingesetzt, ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehmoment, magnetischen Dipolmoment und dem externen Magnetfeld:

Drehmoment eines Dipols im externen Magnetfeld

$$ \begin{align} \boldsymbol{M} ~=~ \class{red}{\boldsymbol{\mu}} \times \class{violet}{\boldsymbol{B}} \end{align} $$

Der Betrag des Drehmoments 8 ist damit:

$$ \begin{align} M ~=~ \mu \, \class{violet}{ B } \, \sin(\varphi) \end{align} $$

Hierbei ist $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $ \boldsymbol{\mu} $ und $ \class{violet}{ \boldsymbol{B} } $ ist.

Potentielle Energie

Mithilfe des hergeleiteten Drehmoments lässt sich die potentielle Energie $W_{\mu}$ des magnetischen Dipols herleiten.

Die Arbeit $W$, die vom externen Magnetfeld verrichtet wird, um den Dipol zu drehen, beträgt allgemein:

$$ \begin{align} W ~=~ \int F \, \text{d}s \end{align} $$

Der Betrag $M$ des Drehmoments aus Gl. 2 ist gegeben durch:

$$ \begin{align} M ~=~ r \, F \, \sin(\alpha) \end{align} $$

Der Winkel $\alpha$ zwischen dem Ortsvektor $\boldsymbol{r}$ und der Kraft $\boldsymbol{F}$ beträgt hier 90 Grad, denn die Kraft lässt sich in einen zu $\boldsymbol{r}$ parallelen Anteil $\boldsymbol{F}_{||}$ und in einen zu $\boldsymbol{r}$ orthogonalen Anteil $\boldsymbol{F}_{\perp}$ aufspalten. Der parallele Anteil trägt nicht zur verrichteten Arbeit bei. Deshalb lässt sich Gl. 11 auch folgendermaßen schreiben:

$$ \begin{align} M ~=~ r \, F_{\perp} \end{align} $$

Mithilfe der Gl. 12 kann die Kraft im Integral 10 mit dem Drehmoment $M$ ausgedrückt werden ($F:=F_{\perp}$):

$$ \begin{align} W ~=~ \int \frac{M}{r} \, \text{d}s \end{align} $$

Das $\text{d}s$-Element wird in Polarkoordinaten ausgedrückt als $\text{d}s = -r \,\text{d}\varphi $ (Minuszeichen, da $\text{d}s$ entgegen zu $\text{d}\varphi$ zeigt). Beim Einsetzen in Gl. 11 kürzt sich $r$ weg. Auf diese Weise wird die vom Magnetfeld verrichtete Arbeit mithilfe des gegebenen Drehmoments ausgedrückt:

$$ \begin{align} W ~=~ -\int M \, \text{d}\varphi \end{align} $$

Setze nun den Drehmoment-Betrag 10 in Gl. 14 ein. Integriert wird über den Winkel von $\pi/2$ bis zu einem variablen Winkel $\varphi$. (Die untere Grenze $\pi/2$ wurde so gewählt, damit der Nullpunkt der potentiellen Energie auf Null gesetzt ist):

$$ \begin{align} W & ~=~ -\mu \, \class{violet}{B} \int_{\pi/2}^{\varphi} \sin(\varphi) \, \text{d}\varphi \\\\
& ~=~ -\mu \, \class{violet}{B} \, \bigl[ - \cos(\varphi) \bigr]^{\varphi}_{\pi/2} \\\\
& ~=~ \mu \, \class{violet}{B} \, \bigl[ \cos(\varphi) - \cos(\pi/2) \bigr] \\\\
& ~=~ \mu \, \class{violet}{B} \, \cos(\varphi) \end{align} $$

Die potentielle Energie $W_{\mu}$ des magnetischen Dipols entspricht dabei der negativen, vom externen Magnetfeld verrichteten Arbeit $W$: $ W_{\mu} = - W$. Damit ist die potentielle Energie des magnetischen Dipols gegeben durch:

$$ \begin{align} W_{\mu} ~=~ -\mu \, \class{violet}{B} \, \cos(\varphi) \end{align} $$

Oder kompakt ausgedrückt mithilfe des Skalarprodukts:

Potentielle Energie eines Dipols im Magnetfeld

$$ \begin{align} W_{\mu} = -\boldsymbol{\mu} \cdot \class{violet}{\boldsymbol{B}} \end{align} $$

Kraft

Eine konservative Kraft $\boldsymbol{F}$ lässt sich als Gradient der potentiellen Energie $W_{\text{pot}}$ schreiben:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} ~=~ - \nabla W_{\text{pot}} \end{align} $$

Hierbei ist $\nabla$ der Nabla-Operator. Einsetzen der potentiellen Energie 17 des magnetischen Dipols in Gl. 18 ergibt:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} ~=~ - \nabla \left( -\boldsymbol{\mu} \cdot \class{violet}{\boldsymbol{B}} \right) \end{align} $$

Die Minuszeichen heben sich weg und wir bekommen die Formel für die Kraft:

Kraft auf einen magnetischen Dipol

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} ~=~ \nabla \left( \boldsymbol{\mu} \cdot \class{violet}{\boldsymbol{B}} \right) \end{align} $$

Illustration bekommen

SVG PNG AI Alles freischalten Über die Illustration

Magnetischer Dipol in einem inhomogenen Magnetfeld.

Da $\boldsymbol{\mu}$ ortsunabhängig ist, lässt sich Gl. 20 alternativ auch folgendermaßen schreiben:

$$ \begin{align} \boldsymbol{F} ~=~ (\nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}}) \, \boldsymbol{\mu} \end{align} $$

Gl. 21 ist so zu verstehen: Eine Matrix $\nabla \class{violet}{\boldsymbol{B}}$ (im dreidimensionalen Fall eine 3x3-Matrix) wird auf den Vektor $\boldsymbol{\mu}$ angewendet. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor, nämlich die Kraft $\boldsymbol{F}$.

Gültigkeit der hergeleiteten Gleichungen: Auch, wenn das Drehmoment (und damit auch Energie und Kraft) mithilfe einer rechteckigen Schleife hergeleitet wurde, gelten die hergeleiteten Gleichungen für beliebig geformte Schleifen, denn die Gleichungen enthalten keine geometrischen Größen.

Hat dir die Herleitung geholfen? Spende bitte 2 Euro.

Die perfekte Formelsammlung als E-Book

✅ Perfekt für Studiengänge mit Physik
✅ Enthält über 500 Formeln
✅ Enthält Wertetabellen
✅ Für jeden verständlich, weil ohne Vektoren und Integrale
✅ Formeln sind bunt gestaltet und visualisiert

In einen Avatar einloggen

Lernupgrades freischalten

Herleitung Magnetischer Dipol - Drehmoment, Energie, Kraft

Drehmoment

Potentielle Energie

Kraft

Die perfekte Formelsammlung als E-Book