Level 4
Herleitung: Energie des magnetisches Feldes
Gegeben sei ein Schaltkreis mit einem elektrischen Widerstand \(R \) (z.B. der Innenwiderstand der Spule) und eine zu \(R\) seriell geschaltete Spule der Induktivität \(L\). Außerdem sei eine Wechselspannung \(U(t)\) an den Schaltkreis angelegt. Folglich ist auch der Strom \(I(t)\) durch die Spule eine zeitabhängige Größe.
Wird der Schaltkreis unterbrochen (Spannungsquelle abgeschaltet), dann sinkt der Strom \(I(t)\) durch die Spule hindurch nicht sofort auf Null, sondern sinkt exponentiell ab. Der Abschaltvorgang der Spule wird durch die abfallende Exponentialfunktion beschrieben:1\[ I(t) ~=~ I_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{R}{L}\,t } \] hierbei ist \(I_0\) der Strom durch die Spule vor dem Abschaltvorgang.
Energie, die vor dem Abschalten in der Spule gespeichert war, also die magnetische Energie \(W_{\text m} \) des B-Feldes, lässt sich durch das Integral über die an der Spule umgesetzten Leistung \(P(t)\) berechnen. Integriert wird vom Zeitpunkt \(t=0\) des Abschaltens, bis der Strom auf Null gesunken ist, also aufgrund der unendlich lang abfallenden Exponentialfunktion bis \(t = \infty\):2\[ W_{\text m} ~=~ \int_0^{\infty} P(t) \, \text{d}t \]
Die elektrische Leistung \( P(t) = U \, I \), in Kombination mit dem Ohm-Gesetz, wird zu \( P(t) = R \, I^2 \). Eingesetzt in 2
ergibt dies eine Integration über den Strom:3\[ W_{\text m} ~=~ R \int_0^{\infty} I^2 \, \text{d}t \]
Der zeitabhängige Strom 1
wird in 3
eingesetzt:4\[ W_{\text m} ~=~ R \int_0^{\infty} I_0^2 \, \mathrm{e}^{-\frac{2R}{L}\,t } \, \text{d}t \]und integriert:5\[ W_{\text m} ~=~ R \, I_0^2 \, \left[ - \frac{L}{2R} \, \mathrm{e}^{-\frac{2R}{L}\,t } \right]^{\infty}_0 \]
Hierbei kürzt sich der Widerstand \(R\) weg. Vorfaktor \(-\frac{L}{2}\) vor die Klammern herausgezogen und die beiden Integrationsgrenzen eingesetzt:6\[ W_{\text m} ~=~ -\frac{L}{2} \, I_0^2 \, \left[ 0 - 1 \right] \]
Damit ist die magnetische Energie der Spule bestimmt durch die Induktivität \(L\) und durch die Spule fließenden Strom \(I_0\) (Betrag des Stroms vor dem Abschaltvorgang):
Magnetische Energie ausgedrückt mit B-Feld
Die eben hergeleitete Energie des magnetischen Feldes, die mittels Induktivität ausgedrückt ist, kann auch mithilfe des B-Feldes formuliert werden. Sei nun im Folgenden der beschriebene Schaltkreis ununterbrochen.
Der Betrag des Magnetfeldes \(B\) im Inneren einer langen Spule ist gegeben durch:8\[ B ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, I \]Herleitung: B-Feld einer Spule
Hierbei ist \(N\) die Anzahl der Spulenwindungen, \(l\) die Spulenlänge und \(\mu_0\) die magnetische Feldkonstante. Und da der Schaltkreis nicht abgeschaltet wurde, ist der Strom \(I\) eine zeitabhängige Größe (und damit auch das B-Feld).
Der magnetische Fluss \(\Phi_{\text m} = B \, A \) durch die Spulenquerschnittsfläche \(A\) hindurch, beträgt dann nach 8
:9\[ \Phi_{\text m} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, I \, A \]
Das Induktionsgesetz, einmal ausgedrückt mit \(L\) und einmal ausgedrückt mit der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \(\frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t}\), lautet:10\[ U_{\text{ind}} ~=~ -L \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \]11\[ U_{\text{ind}} ~=~ - N\,\frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} \](\(N\) kommt hier aufgrund \(N\) Querschnittsflächen jeder Spulenwindung vor, durch die der magnetische Fluss geht)
Gleichsetzen von 11
und 10
ergibt:12\[ N \, \frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~=~ L \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} ~~\Leftrightarrow \]13\[ \frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~=~ \frac{L}{N} \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \]
Um 9
mit 13
zu verknüpfen, wird 9
nach der Zeit abgeleitet. Dadurch kommen die Zeitableitung des Stroms und des magnetischen Flusses ins Spiel. Also wird 9
zu:14\[ \frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, A \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \]
Koeffizienten von 13
und 14
müssen gleichen sein:15\[ \frac{L}{N} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, A \]
\(N\) auf die rechte Seite bringen:16\[ L ~=~ \frac{ \mu_0 \, N^2 }{l} \, A \]
Stelle das B-Feld 8
(aber diesmal mit Strom \(I_0\)) nach dem Strom um und setze in magnetische Energie 7
ein. Dann bekommst du:17\[ W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, L \, \frac{B^2 \, l^2}{N^2 \, \mu_0^2} \]
Setze die Induktivität \(L\) aus der Gleichung 16
in die Gleichung 17
ein:18\[ W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, \frac{ \mu_0 \, N^2 }{l} \, A \, \frac{B^2 \, l^2}{N^2 \, \mu_0^2} ~~\Leftrightarrow \]
Kürze \(\mu_0\), \(N\) und \(l\). Dann bekommst du:19\[ W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, A \, \frac{B^2 \, l}{\mu_0} \]
Dabei entspricht das Produkt \(A \, l \) dem Volumen \(V\) der Spule. Damit folgt:
Die Energiedichte \(w_{\text m} = W_{\text m} / V \) des B-Feldes bekommst du, indem du 20
durch \(V\) teilst: