Herleitung Energie des magnetischen Feldes

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 05.04.2022

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Wir wollen eine Formel für die Energie $W_{\text m} $ herleiten, die in einem magnetischen Feld gespeichert ist. Auch, wenn wir für die Herleitung eine Spule benutzen, wird die Formel allgemein gelten.

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Spule mit einem in Reihe geschalteten Widerstand (RL-Schaltkreis).

Gegeben sei ein Schaltkreis mit einem elektrischen Widerstand $R $ (z.B. der Innenwiderstand der Spule) und eine zu $R$ in Reihe geschaltete Spule der Induktivität $L$. Außerdem sei eine Wechselspannung $U(t)$ an den Schaltkreis angelegt. Dadurch fließt durch die Spule ein zeitabhängiger Strom $I(t)$, der aufgrund der Induktion ein Magnetfeld in der Spule erzeugt.

Wird der Schaltkreis unterbrochen (Spannungsquelle abgeschaltet), dann sinkt der Strom $I(t)$ durch die Spule nicht sofort auf Null, sondern sinkt exponentiell ab. Der zeitlich abfallende Strom wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben:

$$ \begin{align} I(t) ~=~ I_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{R}{L}\,t } \end{align} $$

Hierbei ist $I_0$ der maximale Strom durch die Spule vor dem Abschaltvorgang.

Die Energie geht nach dem Abschalten des Schaltkreises nicht verloren, sondern wird in Form von Wärmeenergie am Widerstand abgegeben. Die umgesetzte Leistung $P(t)$ (Abgegebene Energie pro Zeit) am Widerstand können wir dazu benutzen, um die gesamte am Widerstand abgegebene Energie zu berechnen. Diese abgegebene Energie muss die Energie $W_{\text m} $ sein, die vorher im Magnetfeld der Spule gespeichert war. Integrier also die Leistung über die Zeit und zwar vom Zeitpunkt $t=0$ des Abschaltens, bis zum Zeitpunkt $t = \infty$, an dem der Strom auf Null gesunken ist. Da die Exponentialfunktion theoretisch niemals die Null erreicht, ist der Endzeitpunkt unendlich:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \int_0^{\infty} P(t) \, \text{d}t \end{align} $$

Die elektrische Leistung $ P(t) = U \, I $, in Kombination mit dem Ohm-Gesetz, wird zu $ P(t) = R \, I^2 $. Eingesetzt in Gl. 2 bekommen wir eine Integration über den Strom:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ R \int_0^{\infty} I^2 \, \text{d}t \end{align} $$

Der zeitabhängige, abfallende Strom 1 wird in Gl. 3 eingesetzt:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ R \int_0^{\infty} I_0^2 \, \mathrm{e}^{-\frac{2R}{L}\,t } \, \text{d}t \end{align} $$

Jetzt müssen wir das Integral ausrechnen:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ R \, I_0^2 \, \left[ - \frac{L}{2R} \, \mathrm{e}^{-\frac{2R}{L}\,t } \right]^{\infty}_0 \end{align} $$

Hierbei kürzt sich der Widerstand $R$ weg. Den Faktor $-\frac{L}{2}$ können wir vor die Klammer herausziehen und die beiden Integrationsgrenzen einsetzen. Dabei ergibt die Exponentialfunktion Null im Unendlichen:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ -\frac{L}{2} \, I_0^2 \, \left[ 0 - 1 \right] \end{align} $$

Damit ist die magnetische Energie der Spule bestimmt durch die Induktivität $L$ und durch den Strom $I_0$ (Betrag des Stroms vor dem Abschaltvorgang), der durch die Spule geflossen ist:

Energie im Magnetfeld (der Spule)

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, L \, I_0^2 \end{align} $$

Magnetische Energie ausgedrückt mit B-Feld

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Eine stromdurchflossene Spule erzeugt ein Magnetfeld.

Die eben hergeleitete Energie des magnetischen Feldes der Spule, die mittels Induktivität ausgedrückt ist, kann auch mithilfe des B-Feldes der Spule formuliert werden. Indem wir das B-Feld ins Spiel bringen, können wir die hergeleitete Energieformel als eine Energie interpretieren, die im B-Feld gespeichert ist.

Sei nun im Folgenden der beschriebene Schaltkreis ununterbrochen. Der Betrag des Magnetfeldes $B$ im Inneren einer langen Spule ist gegeben durch [Herleitung: B-Feld einer Spule]:

$$ \begin{align} B ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, I \end{align} $$

Hierbei ist $N$ die Anzahl der Spulenwindungen, $l$ die Spulenlänge und $\mu_0$ die magnetische Feldkonstante. Da der Schaltkreis nicht abgeschaltet wurde, schwingt der Strom $I(t)$ unaufhörlich weiter, das heißt es ist eine zeitabhängige Größe und wegen Gl. 8 auch das B-Feld.

Der magnetische Fluss $\Phi_{\text m} = B \, A $, der die Querschnittsfläche $A$ der Spule durchdringt, beträgt kombiniert mit der Gl. 8:

$$ \begin{align} \Phi_{\text m} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, I \, A \end{align} $$

Das Induktionsgesetz, einmal ausgedrückt mit $L$ und einmal ausgedrückt mit der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses $\frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t}$, lautet:

$$ \begin{align} U_{\text{ind}} ~&=~ -L \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \\\\
U_{\text{ind}} ~&=~ - N\,\frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} \end{align} $$

Die Windungsanzahl $N$ kommt hier vor, weil der magnetische Fluss die Spulenquerschnittsfläche $N$-mal durchdringt. Und $ U_{\text{ind}} $ ist die Induktionsspannung zwischen den beiden Enden der Spule.

Setzen wir die beiden Induktionsspanungen in Gl. 10 gleich und bringen $N$ auf die rechte Seite:

$$ \begin{align} N \, \frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~&=~ L \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} ~~\Leftrightarrow \\\\
\frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~&=~ \frac{L}{N} \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \end{align} $$

Um Gl. 9 mit Gl. 11 zu verknüpfen, wird 9 nach der Zeit abgeleitet. Dadurch kommen die Zeitableitung des Stroms und des magnetischen Flusses wie in Gl. 11 ins Spiel:

$$ \begin{align} \frac{\text{d} \Phi_{\text m}}{\text{d} t} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, A \, \frac{\text{d} I}{\text{d} t} \end{align} $$

Koeffizienten von Gl. 11 und 12 müssen gleichen sein:

$$ \begin{align} \frac{L}{N} ~=~ \frac{ \mu_0 \, N }{l} \, A \end{align} $$

Bringe die Windungszahl $N$ auf die rechte Seite der Gleichung:

Formel: Induktivät der Spule

$$ \begin{align} L ~=~ \frac{ \mu_0 \, N^2 }{l} \, A \end{align} $$

Stelle Gl. 8 für das B-Feld (aber diesmal mit Strom $I_0$) nach dem Strom $I_0$ um und setze in magnetische Energie 7 ein. Dadurch eliminierst du den Strom:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, L \, \frac{B^2 \, l^2}{N^2 \, \mu_0^2} \end{align} $$

Setze die Induktivität $L$ aus der Gleichung 14 in die Gleichung 15 ein, um $L$ zu eliminieren:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, \frac{ \mu_0 \, N^2 }{l} \, A \, \frac{B^2 \, l^2}{N^2 \, \mu_0^2} \end{align} $$

Kürze $\mu_0$, $N$ und $l$, dann bekommst du:

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2} \, A \, \frac{B^2 \, l}{\mu_0} \end{align} $$

Dabei entspricht das Produkt $A \, l $ dem Volumen $V$ der Spule:

Im B-Feld gespeicherte Energie (der Spule)

$$ \begin{align} W_{\text m} ~=~ \frac{1}{2 \mu_0} \, V \, B^2 \end{align} $$

Die Energiedichte $w_{\text m} = W_{\text m} / V $ des B-Feldes bekommst du, indem du Gl. 18 durch das Volumen $V$ teilst:

Energiedichte des B-Feldes

$$ \begin{align} w_{\text m} ~=~ \frac{1}{2 \mu_0} \, B^2 \end{align} $$

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