Herleitung Energie des elektrischen Feldes

Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.

Aktualisiert von Alexander Fufaev am 01.04.2022

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Betrachten wir eine leitende Kugel (z.B. eine Metallkugel) mit Radius $r$. Die Kugel wird nun schrittweise mit kleinen Ladungsportionen $\text{d}Q$ aufgeladen, die aus dem Unendlichen kommend, auf die Kugel gebracht werden. Nachdem die Gesamtladung $Q$ auf die Kugel gebracht wurde, erzeugt die Kugel folgendes elektrisches Potential (das setzen wir hier als bekannt voraus):

$$ \begin{align} \phi_{\text e}(r) ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ Q }{ r } \end{align} $$

Die Energie $\text{d}W$ einer Ladungsportion $\text{d}Q$, die auf die Oberfläche der Kugel mit dem Potential $\phi_{\text e}(r) $ gebracht wird, ist:

$$ \begin{align} \text{d}W ~=~ \phi_{\text e}(r) \, \text{d}q \end{align} $$

Setze das Potential 1 in Gl. 2 ein:

$$ \begin{align} \text{d}W ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ Q }{ r } \, \text{d}Q \end{align} $$

Um die Gesamtenergie $W_{\text{e}}$ zu erhalten, müssen wir die linke Seite der Gl. 3 über die Energie von 0 bis $W_{\text{e}}$ integrieren und die rechte Seite über die Ladung von $0$ bis $Q$ integrieren:

$$ \begin{align} \int_0^{W_{\text e}} \, \text{d}W ~&=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q Q \, \text{d}Q \\\\
W_{\text e} ~&=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q Q \, \text{d}Q \end{align} $$

Integrieren wir die rechte Seite:

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \left[ \frac{1}{2} \, Q^2 \right]^{Q}_0 \end{align} $$

Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:

Elektrische Energie einer geladenen Kugel

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \frac{1}{2} \, Q^2 \end{align} $$

Um den geometrischen Faktor, den Radius $r$, in 7 zu eliminieren, setzen wir die Kapazität $C = 4\pi\,\varepsilon_0 \, r$ einer Kugel ein:

Elektrische Energie mittels Ladung

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2C} \, Q^2 \end{align} $$

Da wir den Radius der Kugel eliminiert haben und die Energie mit der Kapazität $C$ ausgedrückt haben, gilt die Gleichung 8 nicht nur für eine Kugel, sondern auch für andere geladene Körper, denen eine Kapazität zugeordnet werden kann.

Da die Ladung $Q$ nicht so gut experimentell zugänglich ist, können wir Formel 9 mittels Spannung $U$ ausdrücken. Dazu wird die Definition der Kapazität $ C = Q/U \Leftrightarrow Q = C\,U$ benutzt. $Q$ wird in 8 eingesetzt. Das ergibt:

Elektrische Energie mittels Spannung

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 \end{align} $$

Die Annahme, dass die Energie 9 im elektrischen Feld gespeichert ist, kann folgendermaßen motiviert werden: Betrachte einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche $A$ und Plattenabstand $d$. Sei $U$ die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Das elektrische Feld $E$ im Plattenkondensator ist gegeben durch $ E = U/d \Leftrightarrow U = E\,d$ und die Kapazität durch $C = \varepsilon_0 A / d $ (siehe Herleitung). Spannung und Kapazität eingesetzt in 9 ergibt:

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, E^2 \, d^2 \end{align} $$

Abstand $d$ kann einmal gekürzt werden:

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, A \, E^2 \, d \end{align} $$

Hierbei ist $ A \, d$ das zwischen den Kondensatorplatten eingeschlossene Volumen $V$:

Elektrische Energie mittels E-Feld

$$ \begin{align} W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, V \, E^2 \end{align} $$

Der Zusammenhang 12 zwischen der Energie und dem E-Feld motiviert die Annahme, dass die Energie $W_{\text e}$ im elektrischen Feld $E$ steckt, die sich im Volumen $V$ befindet. Die Energiedichte $w_{\text e} = W_{\text e}/V $ des E-Feldes ist dann:

$$ \begin{align} w_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, E^2 \end{align} $$

Beachte!

Alle hergeleiteten Formeln für Energie, gelten nur im Vakuum. Damit diese auch für E-Felder in Materie gelten, müssen diese mit der Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon_{\text r}$ des betrachteten Materials multipliziert werden.

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