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Herleitung Energie des elektrischen Feldes

Elektrisches Feld (Feldlinien) - positive Ladung
Level 4 (für Physikprofis)
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Aktualisiert von Alexander Fufaev am

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Betrachten wir eine leitende Kugel (z.B. eine Metallkugel) mit Radius \(r\). Die Kugel wird nun schrittweise mit kleinen Ladungsportionen \(\text{d}Q\) aufgeladen, die aus dem Unendlichen kommend, auf die Kugel gebracht werden. Nachdem die Gesamtladung \(Q\) auf die Kugel gebracht wurde, erzeugt die Kugel folgendes elektrisches Potential (das setzen wir hier als bekannt voraus):

Elektrisches Potential einer Ladung
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Die Energie \(\text{d}W\) einer Ladungsportion \(\text{d}Q\), die auf die Oberfläche der Kugel mit dem Potential \(\phi_{\text e}(r) \) gebracht wird, ist:

Infinitesimale Energie abhängig vom Potential am Ort der Ladung
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Setze das Potential 1 in Gl. 2 ein:

Infinitesimale Energie mittels Coulomb-Potential
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Um die Gesamtenergie \(W_{\text{e}}\) zu erhalten, müssen wir die linke Seite der Gl. 3 über die Energie von 0 bis \(W_{\text{e}}\) integrieren und die rechte Seite über die Ladung von \(0\) bis \(Q\) integrieren:

Ladungsintegral für die Gesamtenergie einer geladenen Kugel
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Integrieren wir die rechte Seite:

Gesamtenergie einer geladenen Kugel mit nicht eingesetzten Integrationsgrenzen
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Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:

Elektrische Energie einer geladenen Kugel
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Um den geometrischen Faktor, den Radius \(r\), in 7 zu eliminieren, setzen wir die Kapazität \(C = 4\pi\,\varepsilon_0 \, r\) einer Kugel ein:

Elektrische Energie mittels Ladung
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Da wir den Radius der Kugel eliminiert haben und die Energie mit der Kapazität \(C\) ausgedrückt haben, gilt die Gleichung 8 nicht nur für eine Kugel, sondern auch für andere geladene Körper, denen eine Kapazität zugeordnet werden kann.

Da die Ladung \(Q\) nicht so gut experimentell zugänglich ist, können wir Formel 9 mittels Spannung \(U\) ausdrücken. Dazu wird die Definition der Kapazität \( C = Q/U \Leftrightarrow Q = C\,U\) benutzt. \(Q\) wird in 8 eingesetzt. Das ergibt:

Elektrische Energie mittels Spannung
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Die Annahme, dass die Energie 9 im elektrischen Feld gespeichert ist, kann folgendermaßen motiviert werden: Betrachte einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Sei \(U\) die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Das elektrische Feld \(E\) im Plattenkondensator ist gegeben durch \( E = U/d \Leftrightarrow U = E\,d\) und die Kapazität durch \(C = \varepsilon_0 A / d \) (siehe Herleitung). Spannung und Kapazität eingesetzt in 9 ergibt:

Energie mittels Plattenkondensatorfläche und E-Feld nicht vereinfacht
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Abstand \(d\) kann einmal gekürzt werden:

Energie mittels Plattenkondensatorfläche und E-Feld
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Hierbei ist \( A \, d\) das zwischen den Kondensatorplatten eingeschlossene Volumen \(V\):

Elektrische Energie mittels E-Feld
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Der Zusammenhang 12 zwischen der Energie und dem E-Feld motiviert die Annahme, dass die Energie \(W_{\text e}\) im elektrischen Feld \(E\) steckt, die sich im Volumen \(V\) befindet. Die Energiedichte \(w_{\text e} = W_{\text e}/V \) des E-Feldes ist dann:

Energiedichte des elektrischen Feldes
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Beachte!

Alle hergeleiteten Formeln für Energie, gelten nur im Vakuum. Damit diese auch für E-Felder in Materie gelten, müssen diese mit der Dielektrizitätskonstanten \(\varepsilon_{\text r}\) des betrachteten Materials multipliziert werden.