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Herleitung Energie des elektrischen Feldes

Gegeben sei eine leitende Kugel (z.B. eine Metallkugel) mit Radius \(r\). Die Kugel wird nun schrittweise mit kleinen Ladungsportionen \(\text{d}q\) aufgeladen. Nachdem die Ladungsportion \(\text{d}q\) auf die Kugel gebracht wurde, erzeugt die Kugel ein Potential (Coulomb-Potential):1\[ \phi_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ \text{d}q }{ r } \]

Die Energie \(\text{d}W\), die notwendig ist, um eine weitere Ladungsportion \(\text{d}q\) auf die Kugel zu bringen, entspricht der Differenz der Potentiale \(\phi_{\text e}(r) - \phi_{\text e}(\infty) \) multipliziert mit der transportieren Ladungsportion \(\text{d}q\):2\[ \text{d}W ~=~ \left[ \phi_{\text e}(r) - \phi_{\text e}(\infty) \right] \, \text{d}q \]

Der Nullpunkt \( \phi_{\text e}(\infty) = 0 \) wird im Unendlichen gewählt. Damit wird 2 zu:3\[ \text{d}W ~=~ \phi_{\text e}(r) \, \text{d}q \]

Einsetzen des Potentials 1 in 3:4\[ \text{d}W ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ \text{d}q }{ r } \, \text{d}q \]

Die Kugel wird weiter mit den Ladungsportionen aufgeladen, bis sie auf den Wert \(Q\) aufgeladen ist. Dazu wird 4 zweimal über die Ladung von \(0\) bis \(Q\) integriert. Das ergibt dann die Gesamtenergie, die notwendig war, um die Kugel auf den Wert \(Q\) aufzuladen:5\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q \int_0^Q \text{d}q \, \text{d}q \]6\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q Q \, \text{d}q \]

Durch die erste Integration kommt \(Q\) zustande, das nun nochmal integriert wird:7\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \left[ \frac{1}{2} \, Q^2 \right]^{Q}_0 \]

Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:8\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \frac{1}{2} \, Q^2 \]

Um den geometrischen Faktor, den Radius \(r\), in 8 zu eliminieren, wird die Kapazität \(C = 4\pi\,\varepsilon_0 \, r\) der Kugel eingesetzt:

Energie - mit Ladung ausgedrückt9\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2C} \, Q^2 \]

Gleichung 9 ist die Energie, die notwendig ist, um eine leitende ungeladene Kugel auf den Wert \(Q\) aufzuladen. 9 kann mit einer eher experimentell zugänglicheren Größe, mit der Spannung \(U\), ausgedrückt werden. Dazu wird die Definition der Kapazität \( C = Q/U \Leftrightarrow Q = C\,U\) benutzt. \(Q\) wird in 9 eingesetzt. Das ergibt:

Energie - mit Spannung ausgedrückt10\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 \]
Die Energie 9 bzw. 10 gilt für beliebige geladene Körper.

Die Annahme, dass die Energie 10 im elektrischen Feld gespeichert ist, kann folgendermaßen motiviert werden: Betrachte einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Sei \(U\) die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Das elektrische Feld \(E\) im Plattenkondensator ist gegeben durch \( E = U/d \Leftrightarrow U = E\,d\) und die Kapazität durch \(C = \varepsilon_0 A / d \) (siehe Herleitung). Spannung und Kapazität eingesetzt in 10 ergibt:11\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, E^2 \, d^2 ~~\Leftrightarrow \]12\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, A \, E^2 \, d \]

Hierbei ist \( V = A \, d\) das zwischen den Kondensatorplatten eingeschlossene Volumen:

Energie - mit E-Feld ausgedrückt13\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, V \, E^2 \]

Der Zusammenhang 13 zwischen der Energie und dem E-Feld motiviert die Annahme, dass die Energie \(W_{\text e}\) im elektrischen Feld \(E\) steckt, das sich im Volumen \(V\) befindet. Die Energiedichte \(w_{\text e} = W_{\text e}/V \) des E-Feldes wäre dann:14\[ w_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, E^2 \]

Beachte, dass alle hergeleiteten Formeln für Energie, nur im Vakuum gelten. Damit diese auch für E-Felder in Materie gelten, müssen diese mit der Dielektrizitätskonstanten \(\varepsilon_{\text r}\) des betrachteten Materials multipliziert werden.
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