Herleitung : Energie des elektrischen Feldes
Level 4
Gegeben sei eine leitende Kugel (z.B. eine Metallkugel) mit Radius \(r\). Die Kugel wird nun schrittweise mit kleinen Ladungsportionen \(\text{d}q\) aufgeladen. Nachdem die Ladungsportion \(\text{d}q\) auf die Kugel gebracht wurde, erzeugt die Kugel ein Potential (Coulomb-Potential):1\[ \phi_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ \text{d}q }{ r } \]
Die Energie \(\text{d}W\), die notwendig ist, um eine weitere Ladungsportion \(\text{d}q\) auf die Kugel zu bringen, entspricht der Differenz der Potentiale \(\phi_{\text e}(r) - \phi_{\text e}(\infty) \) multipliziert mit der transportieren Ladungsportion \(\text{d}q\):2\[ \text{d}W ~=~ \left[ \phi_{\text e}(r) - \phi_{\text e}(\infty) \right] \, \text{d}q \]
Der Nullpunkt \( \phi_{\text e}(\infty) = 0 \) wird im Unendlichen gewählt. Damit wird 2
zu:3\[ \text{d}W ~=~ \phi_{\text e}(r) \, \text{d}q \]
Einsetzen des Potentials 1
in 3
:4\[ \text{d}W ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \, \frac{ \text{d}q }{ r } \, \text{d}q \]
Die Kugel wird weiter mit den Ladungsportionen aufgeladen, bis sie auf den Wert \(Q\) aufgeladen ist. Dazu wird 4
zweimal über die Ladung von \(0\) bis \(Q\) integriert. Das ergibt dann die Gesamtenergie, die notwendig war, um die Kugel auf den Wert \(Q\) aufzuladen:5\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q \int_0^Q \text{d}q \, \text{d}q \]6\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q Q \, \text{d}q \]
Durch die erste Integration kommt \(Q\) zustande, das nun nochmal integriert wird:7\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \left[ \frac{1}{2} \, Q^2 \right]^{Q}_0 \]
Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:8\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \frac{1}{2} \, Q^2 \]
Um den geometrischen Faktor, den Radius \(r\), in 8
zu eliminieren, wird die Kapazität \(C = 4\pi\,\varepsilon_0 \, r\) der Kugel eingesetzt:
Gleichung 9
ist die Energie, die notwendig ist, um eine leitende ungeladene Kugel auf den Wert \(Q\) aufzuladen. 9
kann mit einer eher experimentell zugänglicheren Größe, mit der Spannung \(U\), ausgedrückt werden. Dazu wird die Definition der Kapazität \( C = Q/U \Leftrightarrow Q = C\,U\) benutzt. \(Q\) wird in 9
eingesetzt. Das ergibt:
9bzw.
10gilt für beliebige geladene Körper.
Die Annahme, dass die Energie 10
im elektrischen Feld gespeichert ist, kann folgendermaßen motiviert werden: Betrachte einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Sei \(U\) die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Das elektrische Feld \(E\) im Plattenkondensator ist gegeben durch \( E = U/d \Leftrightarrow U = E\,d\) und die Kapazität durch \(C = \varepsilon_0 A / d \) (siehe Herleitung). Spannung und Kapazität eingesetzt in 10
ergibt:11\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, \frac{A}{d} \, E^2 \, d^2 ~~\Leftrightarrow \]12\[ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, A \, E^2 \, d \]
Hierbei ist \( V = A \, d\) das zwischen den Kondensatorplatten eingeschlossene Volumen:
Der Zusammenhang 13
zwischen der Energie und dem E-Feld motiviert die Annahme, dass die Energie \(W_{\text e}\) im elektrischen Feld \(E\) steckt, das sich im Volumen \(V\) befindet. Die Energiedichte \(w_{\text e} = W_{\text e}/V \) des E-Feldes wäre dann:14\[ w_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, \varepsilon_0 \, E^2 \]
