Herleitung Energie des elektrischen Feldes
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Video herunterladen EntsperrenBetrachten wir eine leitende Kugel (z.B. eine Metallkugel) mit Radius \(r\). Die Kugel wird nun schrittweise mit kleinen Ladungsportionen \(\text{d}Q\) aufgeladen, die aus dem Unendlichen kommend, auf die Kugel gebracht werden. Nachdem die Gesamtladung \(Q\) auf die Kugel gebracht wurde, erzeugt die Kugel folgendes elektrisches Potential (das setzen wir hier als bekannt voraus):
Die Energie \(\text{d}W\) einer Ladungsportion \(\text{d}Q\), die auf die Oberfläche der Kugel mit dem Potential \(\phi_{\text e}(r) \) gebracht wird, ist:
Setze das Potential 1
in Gl. 2
ein:
Um die Gesamtenergie \(W_{\text{e}}\) zu erhalten, müssen wir die linke Seite der Gl. 3
über die Energie von 0 bis \(W_{\text{e}}\) integrieren und die rechte Seite über die Ladung von \(0\) bis \(Q\) integrieren:
W_{\text e} ~&=~ \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0 \, r} \, \int_0^Q Q \, \text{d}Q \end{align} $$
Integrieren wir die rechte Seite:
Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt:
Um den geometrischen Faktor, den Radius \(r\), in 7
zu eliminieren, setzen wir die Kapazität \(C = 4\pi\,\varepsilon_0 \, r\) einer Kugel ein:
Da wir den Radius der Kugel eliminiert haben und die Energie mit der Kapazität \(C\) ausgedrückt haben, gilt die Gleichung 8
nicht nur für eine Kugel, sondern auch für andere geladene Körper, denen eine Kapazität zugeordnet werden kann.
Da die Ladung \(Q\) nicht so gut experimentell zugänglich ist, können wir Formel 9
mittels Spannung \(U\) ausdrücken. Dazu wird die Definition der Kapazität \( C = Q/U \Leftrightarrow Q = C\,U\) benutzt. \(Q\) wird in 8
eingesetzt. Das ergibt:
Die Annahme, dass die Energie 9
im elektrischen Feld gespeichert ist, kann folgendermaßen motiviert werden: Betrachte einen Plattenkondensator mit der Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Sei \(U\) die Spannung zwischen den Kondensatorplatten. Das elektrische Feld \(E\) im Plattenkondensator ist gegeben durch \( E = U/d \Leftrightarrow U = E\,d\) und die Kapazität durch \(C = \varepsilon_0 A / d \) (siehe Herleitung). Spannung und Kapazität eingesetzt in 9
ergibt:
Abstand \(d\) kann einmal gekürzt werden:
Hierbei ist \( A \, d\) das zwischen den Kondensatorplatten eingeschlossene Volumen \(V\):
Der Zusammenhang 12
zwischen der Energie und dem E-Feld motiviert die Annahme, dass die Energie \(W_{\text e}\) im elektrischen Feld \(E\) steckt, die sich im Volumen \(V\) befindet. Die Energiedichte \(w_{\text e} = W_{\text e}/V \) des E-Feldes ist dann:
Alle hergeleiteten Formeln für Energie, gelten nur im Vakuum. Damit diese auch für E-Felder in Materie gelten, müssen diese mit der Dielektrizitätskonstanten \(\varepsilon_{\text r}\) des betrachteten Materials multipliziert werden.
