Aufgabe mit Lösung Torsionstensor & Christoffel-Symbole mit Torsion
Level 4 setzt das Wissen über die Vektorrechnung, (mehrdimensionale) Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für fortgeschrittene Studenten.
Lass uns den Fall betrachten, wo die kovariante Ableitung \( \nabla \) nicht torsionsfrei ist.
Zeige, dass es einen sogenannten Torsionstensor \( T^{c}_{\;ab} \) gibt, sodass für alle glatten Funktionen \(f\) die folgende Bedingung erfüllt ist:
Formula for torsion tensorAnker zu dieser Formel $$ \begin{align} \nabla_a \, \nabla_b \, f ~-~ \nabla_b \, \nabla_a \, f ~=~ - T^{c}_{\;ab} \, \nabla_c \, f \end{align} $$Bei gegebener Metrik \(g^{ab}\), können wir Christoffel-Symbole ohne Torsion folgendermaßen berechnen:
Formula for Christoffel symbolsAnker zu dieser Formel $$ \begin{align} \Gamma^{c}_{\;ab} ~=~ \frac{1}{2} \, g^{cs} \, \left( \partial_a \, g_{bs} ~+~ \partial_b \, g_{as} - \partial_s \, g_{ab} \right) \end{align} $$Leite einen analogen Ausdruck für Christoffel-Symbole MIT Torsion her.
Lösungstipps
Benutze die Eigenschaften der kovarianten Ableitung \(\nabla\), wie Linearität, Leibniz Produktregel und Kommutativität mit Kontraktion. Benenne auch die Indizes um, um andere Gleichungen zu bekommen und kombiniere diese Gleichungen.
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