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Aufgabe mit Lösung Ladung, Kapazität und Halbwertszeit eines Kondensators beim Entladen von 50V auf 15V

Spannung-Zeit-Diagramm - Entladevorgang eines Kondensators
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
RC-Schaltung - Kondensator wird entladen nach dem Betätigen des Schalters
Visier das Bild an! Illustration bekommen
Betrachtete Schaltung zum Entladen des Kondensators.

Ein Kondensator mit einer unbekannten Kapazität mit einem Entladewiderstand \(R = 2 \, \mathrm{k\Omega} \) war auf \( 50 \, \mathrm{V} \) aufgeladen und hat sich innerhalb von einer Millisekunde auf \( 15 \, \mathrm{V} \) entladen.

  1. Wie groß ist die Kapazität \( C \) des Kondensators?
  2. Wie groß ist die Zeitkonstante des Kondensators?
  3. Nach welcher Zeit \(t_{\mathrm h}\) sind \( 50 \, \mathrm{V} \) auf die Hälfte gefallen?
  4. Wie viel Ladung \( Q \) trug der Kondensator vor dem Entladevorgang?
Lösungstipps Benutze die Formel der Spannung am Kondensator für den Entladevorgang. Und, um die Ladung herauszufinden, guck nach, wie Ladung und Spannung am Kondensator miteinander zusammenhängen.

Lösungen

Lösung für (a)

Um die Kapazität \(C\) des Kondensators herauszufinden, benutzen wir die Formel, die den zeitlichen Verlauf der Spannung am Kondensator beim Entladevorgang beschreibt:1$$ U_{\text C}(t) ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{t}{R\,C} } $$

Gesucht ist Kapazität, daher stellen wir 1 nach \(C\) um:2$$ C ~=~ - \frac{t}{ R \, \ln(\frac{U_{\mathrm C}}{ U_0 }) } $$

Die Spannung \( U_{\mathrm C}(1\,\mathrm{ms}) = 15 \, \mathrm{V} \) nach \( t = 1 \,\mathrm{ms} \) ist gegeben. Die Anfangsspannung \( U_0 = 50 \, \mathrm{V} \) und der in Reihe geschaltete Entladewiderstand \(R = 2000 \mathrm{\Omega} \) sind auch bekannt. Einsetzen der konkreten Werte ergibt die gesuchte Kapazität:3\begin{align} C &~=~ - \frac{ 10^{-3} \, \mathrm{s} }{ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ \ln\left(\frac{ 15 \, \mathrm{V} }{ 50 \, \mathrm{V} }\right) } \\\\ &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 415 \, \mathrm{nF} \end{align}

Lösung für (b)

Die Zeitkonstante \( \tau \) ist gegeben durch:4$$ \tau ~=~ R \, C $$

Sie beschreibt die Zeit, nach der die Anfangsspannung auf ungefähr 37% gefallen ist. Einsetzen des Entladewiderstands und der in a) herausgefundenen Kapazität ergibt:5\begin{align} \tau &~=~ 2000 \, \mathrm{\Omega} ~\cdot~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.83 \, \mathrm{ms} \end{align}

Lösung für (c)

In dieser Teilaufgabe wollen wir die Halbwertszeit \( t_{\mathrm h} \) berechnen. Die Halbwertszeit gibt an, nach welcher Zeit die Anfangsspannung von \( U_0 = 50 \, \mathrm{V} \) auf die Hälfte, also auf \( U_{\mathrm C} = \frac{U_0}{2} = 25 \, \mathrm{V} \) gefallen ist:6$$ \frac{U_0}{2} ~=~ U_0 \, \mathrm{e}^{-\frac{ t_{\mathrm h} }{R\,C} } $$

Umstellen nach der Halbwertszeit \( t_{\mathrm h} \) ergibt:7$$ t_{\mathrm h} ~=~ R \, C \, \ln(2) $$

Wie du siehst, ist die Halbwertszeit durch die Zeitkonstante \(R \, C \) bestimmt, die lediglich mit \( \ln(2) \) multipliziert wird. Wir können also einfach die in b) berechnete Zeitkonstante für die Halbwertszeit benutzen:8\begin{align} t_{\mathrm h} &~=~ \tau \, \ln(2) \\\\ &~=~ 8.3 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} ~\cdot~ \ln(2) \\\\ &~=~ 5.75 \cdot 10^{-4} \, \mathrm{s} \\\\ &~=~ 0.575 \, \mathrm{ms} \end{align}

Lösung für (d)

Hier wollen wir herausfinden, wie viel Ladung \(Q_0\) auf dem Kondensator war, bevor der Kondensator entladen wurde. Wir suchen also Kondensatorladung zum Anfangszeitpunkt \(t = 0\). Dazu benutzen wir den Zusammenhang zwischen der Spannung und Ladung am Kondensator:9$$ Q_0 ~=~ C \, U_0 $$

Hierbei brauchen wir natürlich die Anfangsspannung \( U_0 \), denn diese war ja zum Anfangszeitpunkt \(t = 0\) angelegt. Einsetzen der Werte ergibt:10\begin{align} Q_0 &~=~ 4.15 \cdot 10^{-7} \, \mathrm{F} ~\cdot~ 50 \, \mathrm{V} \\\\ &~=~ 2.08 \cdot 10^{-5} \, \mathrm{C} \\\\ &~=~ 20.8 \, \mathrm{\mu C} \end{align}