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Aufgabe mit Lösung Induktivität und Spulenquerschnitt eines LC-Schwingkreises herausfinden

LC-Schwingkreis - Schaltung
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
LC-Schwingkreis - Schaltung
Ein LC-Schwingkreis.

Du möchtest einen idealen LC-Schwingkreis mit einer Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) erzeugen. Dazu hast du einen Kondensator der Kapazität \( C = 200 \, \mathrm{nF} \) zur Verfügung, den du auf \( 100 \, \mathrm{V} \) aufladen willst, bevor du den mit der Spule zu einem LC-Schwingkreis verbindest. Eine zylinderförmige Spule sollte außerdem die Länge \( l = 8 \, \mathrm{cm} \) und \( N = 1500 \) Windungen haben.

  1. Wie groß muss die Induktivität \( L \) der Spule sein, damit du unter diesen Gegebenheiten die gewünschte Schwingungsdauer erreichst?

  2. Wie groß muss dafür der Radius \( r \) der Spule sein?

Lösungstipps Was zeichnet einen LC-Schwingkreis aus? Wie hängt Induktivität \( L \) mit den Spulenabmessungen zusammen? Wenn du diese Fragen beantwortet hast, sollte die Quest dir keine Schwierigkeit mehr bereiten.

Lösung für (a)

Ein LC-Schwingkreis schwingt mit einer Resonanzfrequenz \( f_{\mathrm r} \), die durch die Induktivität \( L \) und die Kapazität \(C\) des Schwingkreises folgendermaßen bestimmt ist:1$$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$

Hier hast du zwei Unbekannten, die gesuchte Induktivität \( L \) und die Resonanzfrequenz \( f_{\text r} \). Die Resonanzfrequenz ist jedoch indirekt gegeben durch die Periodendauer \( T_{\mathrm r} = 0.2 \, \mathrm{ms} \). Du kannst die Frequenz aus der Periodendauer bestimmen, indem du den Kehrwert der Periodendauer bildest:2$$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } $$

Wenn du 2 in 1 einsetzt, eliminierst du damit die unbekannte Resonanzfrequenz:3$$ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$

Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Induktivität \( L \) umstellen:4$$ L ~=~ \frac{1}{C} \, \left( \frac{ T_{\mathrm r} }{2\pi} \right)^2 $$

Setze nur noch konkrete Werte ein, um die Induktivität zu berechnen:5\begin{align} L &~=~ \frac{1}{ 200 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{F} } \, \left( \frac{ 0.2 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{s} }{2\pi} \right)^2 \\\\ &~=~ 5.07 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{H} \\\\ &~=~ 5.07 \, \mathrm{mH} \end{align}

Die Spule muss also eine Induktivität von \( 5.07 \, \mathrm{mH} \) haben, damit der Strom bzw. die Spannung eine Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) haben.

Lösung für (b)

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