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Aufgabe mit Lösung Induktivität und Spulenquerschnitt eines LC-Schwingkreises herausfinden

LC-Schwingkreis - Schaltung
Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Ein LC-Schwingkreis.

Du möchtest einen idealen LC-Schwingkreis mit einer Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) erzeugen. Dazu hast du einen Kondensator der Kapazität \( C = 200 \, \mathrm{nF} \) zur Verfügung, den du auf \( 100 \, \mathrm{V} \) aufladen willst, bevor du den mit der Spule zu einem LC-Schwingkreis verbindest. Eine zylinderförmige Spule sollte außerdem die Länge \( l = 8 \, \mathrm{cm} \) und \( N = 1500 \) Windungen haben.

  1. Wie groß muss die Induktivität \( L \) der Spule sein, damit du unter diesen Gegebenheiten die gewünschte Schwingungsdauer erreichst?
  2. Wie groß muss dafür der Radius \( r \) der Spule sein?
Lösungstipps Was zeichnet einen LC-Schwingkreis aus? Wie hängt Induktivität \( L \) mit den Spulenabmessungen zusammen? Wenn du diese Fragen beantwortet hast, sollte die Quest dir keine Schwierigkeit mehr bereiten.

Lösungen

Lösung für (a)

Ein LC-Schwingkreis schwingt mit einer Resonanzfrequenz \( f_{\mathrm r} \), die durch die Induktivität \( L \) und die Kapazität \(C\) des Schwingkreises folgendermaßen bestimmt ist:1$$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$

Hier hast du zwei Unbekannten, die gesuchte Induktivität \( L \) und die Resonanzfrequenz \( f_{\text r} \). Die Resonanzfrequenz ist jedoch indirekt gegeben durch die Periodendauer \( T_{\mathrm r} = 0.2 \, \mathrm{ms} \). Du kannst die Frequenz aus der Periodendauer bestimmen, indem du den Kehrwert der Periodendauer bildest:2$$ f_{\text r} ~=~ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } $$

Wenn du 2 in 1 einsetzt, eliminierst du damit die unbekannte Resonanzfrequenz:3$$ \frac{1}{ T_{\mathrm r} } ~=~ \frac{1}{2\pi \sqrt{L \, C}} $$

Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Induktivität \( L \) umstellen:4$$ L ~=~ \frac{1}{C} \, \left( \frac{ T_{\mathrm r} }{2\pi} \right)^2 $$

Setze nur noch konkrete Werte ein, um die Induktivität zu berechnen:5\begin{align} L &~=~ \frac{1}{ 200 \cdot 10^{-9} \, \mathrm{F} } \, \left( \frac{ 0.2 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{s} }{2\pi} \right)^2 \\\\ &~=~ 5.07 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{H} \\\\ &~=~ 5.07 \, \mathrm{mH} \end{align}

Die Spule muss also eine Induktivität von \( 5.07 \, \mathrm{mH} \) haben, damit der Strom bzw. die Spannung eine Schwingungsdauer von \( 0.2 \, \mathrm{ms} \) haben.

Lösung für (b)

Um den Radius \(r\) einer zylinderförmigen Spule zu berechnen, brauchen wir den Zusammenhang zwischen der Spulengeometrie und der eben herausgefundenen Induktivität \( L \):6$$ L ~=~ \mu_0 \, \mu_{\text r} \, \frac{ A \, N^2 }{ l } $$

In unserem Fall ist die relative Permeabilität \( \mu_{\text r} = 1 \), da im Spuleninneren nur Luft ist. Der zylinderförmige Spulenquerschnitt \( A \) ist in diesem Fall die Fläche eines Kreises, also \( A = \pi \, r^2 \). Setze sie in 6 ein:7$$ L ~=~ \mu_0 \, \frac{ \pi \, r^2 \, N^2 }{ l } $$

Jetzt musst du nur noch nach dem gesuchten Radius \( r \) umstellen:8$$ r ~=~ \sqrt{ \frac{ L \, l }{ \mu_0 \, \pi \, N^2 } } $$

Einsetzen der konkreten Werte ergibt:9\begin{align} r &~=~ \sqrt{ \frac{ 5.07 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{H} ~\cdot~ 0.08 \, \mathrm{m} }{ 4\pi \cdot 10^{-7} \, \frac{ \text{N} }{ \text{A}^2 } ~\cdot~ \pi ~\cdot~ 1500^2 } } \\\\ &~=~ 6.76 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{m} \\\\ &~=~ 6.76 \, \mathrm{mm} \end{align}