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Aufgabe mit Lösung Vereinfache 6 Integrale mit der Delta-Funktion

Delta-Funktion pickt den Funktionswert am Ursprung in einem Intervall
Level 3 (bis zum Physik B. Sc.)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Berechne folgende Integrale, die eine Delta-Funktion \(\delta(x)\) enthalten:

  1. $$ \int^5_1 \left( 2x^2 - x + 1 \right) \, \delta(x-3) \, \text{d}x $$
  2. $$ \int^{1.5}_0 x^3 \, \delta(x+2) \, \text{d}x $$
  3. $$ \int^4_0 \cos(x) \, \delta(x-\pi) \, \text{d}x $$
  4. $$ \int \ln(x+3) \, \delta(x+1) \, \text{d}x $$
  5. $$ \int^2_{-3} \left( 6x + 2 \right) \, \delta(3x) \, \text{d}x $$
  6. $$ \int^b_{-\infty} 3 \, \delta(x-a) \, \text{d}x $$
Lösungstipps
  • Prüfe als erstes, ob die Delta-Funktion innerhalb der Integrationsgrenzen liegt.
  • Wenn die Delta-Funktion innerhalb der Integrationsgrenzen liegt, dann setze die Position \(p\) der Delta-Funktion als Argument in \( f(x) \) ein:$$ \int f(x) \, \delta(\cdot) \, \text{d}x ~=~ f(p) $$

Lösungen

Lösung für (a)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int^5_1 \left( 2x^2 - x + 1 \right) \, \delta(x-3) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = 2x^2 - x + 1 \). Und die Position der Delta-Funktion ist bei \(x=3\).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(x-3)\) im Integrationsintervall [1, 5] liegt. Das tut es. Daher ist das Integral nicht unbedingt Null und wir müssen die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=3\) auswerten, an der die Delta-Funktion zu finden ist:\begin{align} \int^5_1 \left( 2x^2 - x + 1 \right) \, \delta(x-3) \, \text{d}x ~&=~ 2\cdot 3^2 - 3 + 1 \\ ~&=~ 16 \end{align}

Lösung für (b)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int^{1.5}_0 x^3 \, \delta(x+2) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = x^3 \). Und die Delta-Funktion ist ins Negative verschoben und befindet sich bei \(x=-2\).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(x+2)\) im Integrationsintervall [0, 1.5] liegt. Das tut es. Daher ist das Integral nicht unbedingt Null und wir müssen die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=-2\) auswerten, an der die Delta-Funktion zu finden ist:\begin{align} \int^{1.5}_0 x^3 \, \delta(x+2) \, \text{d}x ~&=~ (-2)^3 \\ ~&=~ -8 \end{align}

Lösung für (c)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int^4_0 \cos(x) \, \delta(x-\pi) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = \cos(x) \). Und die Position der Delta-Funktion ist bei \(x=\pi\).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(x-\pi)\) im Integrationsintervall [0, 4] liegt. Das tut es. Daher ist das Integral nicht unbedingt Null und wir müssen die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=\pi\) auswerten, an der die Delta-Funktion zu finden ist:\begin{align} \int^4_0 \cos(x) \, \delta(x-\pi) \, \text{d}x ~&=~ \cos(\pi) \\ ~&=~ -1 \end{align}

Lösung für (d)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int \ln(x+3) \, \delta(x+1) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = \ln(x+3) \). Und die Position der Delta-Funktion ist bei \(x=-1\).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(x+1)\) im Integrationsintervall \([-\infty, \infty]\) liegt. Das tut es. Daher ist das Integral nicht unbedingt Null und wir müssen die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=-1\) auswerten, an der die Delta-Funktion zu finden ist:\begin{align} \int \ln(x+3) \, \delta(x+1) \, \text{d}x ~&=~ \ln(-1 + 3) \\ ~&=~ 0.693... \end{align}

Lösung für (e)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int^2_{-3} \left( 6x + 2 \right) \, \delta(3x) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = \left( 6x + 2 \right) \). Und die Position der Delta-Funktion ist bei \(x=0\). Der Skalierungsfaktor ist \( |k| = 3 \).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(3x)\) im Integrationsintervall \([-3, 2]\) liegt. Das tut es. Daher ist das Integral nicht unbedingt Null und wir müssen die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=0\) auswerten und mit dem Faktor \(1/|k|\) multiplizieren:\begin{align} \int^2_{-3} \left( 6x + 2 \right) \, \delta(3x) \, \text{d}x ~&=~ \frac{1}{3}\, \left( 6\cdot 0 + 2 \right) \\ ~&=~ \frac{2}{3} \end{align}

Lösung für (f)

Wir wollen das folgende Integral berechnen:$$ \int^b_{-\infty} 3 \, \delta(x-a) \, \text{d}x $$Hierbei ist \(f(x) = 3 \) eine konstante Funktion. Und die Position der Delta-Funktion ist bei \(x=a\).

Zuerst fragen wir uns, ob die Position von \(\delta(x-a)\) im Integrationsintervall \([-\infty, b]\) liegt. Das hängt davon ab, ob \(a\) größer oder kleiner ist als \(b\).

  • Wenn \(a\) GRÖßER ist als \(b\), dann liegt die Delta-Funktion außerhalb der Integrationsgrenzen und das Integral ist in diesem Fall Null.
  • Wenn \(a\) KLEINER ist als \(b\), dann liegt die Delta-Funktion innerhalb der Integrationsgrenzen und das Integral ist in diesem Fall nicht unbedingt Null. Hier müssen wir die Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x=a\) auswerten:$$ f(a) = 3 $$

Das Gesamtergebnis ist also:$$ \int^b_{-\infty} 3 \, \delta(x-a) \, \text{d}x \begin{cases} 3, &\mbox{} a < b \\ 0, &\mbox{} a > b \end{cases} $$