Aufgabe mit Lösung Wörter bestimmter Länge - DEA (deterministischer endlicher Automat)
Konstruiere jeweils einen deterministischen endlichen Automaten (DEA), der die folgenden Sprachen \(L\) akzeptiert:
\( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| = 2 \} \)
\( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| \geq 2 \} \)
\( L = \{ w \in \{a,b\}^* ~:~ |w| \leq 2 \} \)
Lösungstipps
Zähle zuerst ein paar Beispielwörter \(w\) auf, die von der jeweilgen Sprache \(L\) akzeptiert werden.
Zur Erinnerung: Ein DEA \(A\) ist ein 5-Tupel \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \). Gib diesen 5-Tupel an. Für die Überführungsfunktion \( \delta \) kann auch ein Graph angefertigt werden.
Lösung für (a)
Die Sprache \(L\) ist eine endliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und genau die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht also aus vier Wörtern:1\[ L = \{aa, ab, ba, bb \} \]
Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+2\) (mit \(|w|=n\)) Zustände gebraucht, also 4 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit:2\[ Z = \{ z_0, z_1, z_2, z_3 \} \]mit \(z_0\) als Anfangszustand. Der Index \(k\) in \(z_k\) kann als Anzahl der Zeichen interpretiert werden, die bereits gelesen wurden. Im Zustand \(z_0\) wurden 0 Zeichen gelesen. Im Zustand \(z_1\) wurde 1 Zeichen gelesen. Im Zustand \(z_2\) wurden 2 Zeichen gelesen.
Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus:3\[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_3 \] \[ \delta(z_3, a) = \delta(z_3, b) = z_3 \]
Die Menge \(E\) der Endzustände ist:4\[ E = \{ z_2 \} \]
Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).
Lösung für (b)
Die Sprache \(L\) ist eine unendliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und größer oder gleich die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht beispielsweise aus folgenden Wörtern:5\[ L = \{aa, bb, ab, aaa..., bbb..., ~... \} \]
Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+1\) (mit \(|w| \geq n\)) Zustände gebraucht, also 3 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit:6\[ Z = \{ z_0, z_1, z_2 \} \]mit \(z_0\) als Anfangszustand. Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus:7\[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_2 \]
Die Menge \(E\) der Endzustände ist:8\[ E = \{ z_2 \} \]
Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).
Lösung für (c)
Die Sprache \(L\) ist eine endliche Sprache, deren Wörter \(w\) aus den Buchstaben \(a\) und \(b\) bestehen und kleiner oder gleich die Länge \(|w|=2\) haben. Die Sprache besteht aus folgenden Wörtern:9\[ L = \{\varepsilon, a, b, ab, ba, aa, bb \} \]hierbei ist \(\varepsilon\) das leere Wort mit der Länge \(|\varepsilon|=0\).
Für einen minimalen deterministischen endlichen Automaten werden \(n+2\) (mit \(|w| \leq n\)) Zustände gebraucht, also 4 Zustände. Die Zustandsmenge ist damit:10\[ Z = \{ z_0, z_1, z_2, z_3 \} \]mit \(z_0\) als Anfangszustand. Die Überführungsfunktion \(\delta: Z \times \Sigma \rightarrow Z\) sieht folgendermaßen aus:11\[ \delta(z_0, \varepsilon) = z_0 \] \[ \delta(z_0, a) = \delta(z_0, b) = z_1 \] \[ \delta(z_1, a) = \delta(z_1, b) = z_2 \] \[ \delta(z_2, a) = \delta(z_2, b) = z_3 \] \[ \delta(z_3, a) = \delta(z_3, b) = z_3 \]
Die Menge \(E\) der Endzustände ist:12\[ E = \{ z_0, z_1, z_2 \} \]
Der angegebene Automat \(A = (Z, \Sigma, \delta, z_0, E) \) akzeptiert die betrachtete Sprache \(L\).
