Aufgabe mit Lösung Spannungsteiler für eine 12V Spannung
Du möchtest aus der Steckdose, die eine Netzspannung von \(230 \, \text{V}\) liefert, eine Spannung von \(12 \, \text{V}\) realisieren. Dazu konstruierst Du einen Spannungsteiler aus zwei Widerständen \(R_1\) und \(R_2\). Am \(R_2\) möchtest Du dann die \(12 \, \text{V}\) abgreifen.
In welchem Verhältnis müssen dafür die beiden Widerstände gewählt werden?
Warum ist diese Vorgehensweise nicht energieeffizient?
Lösungstipps
Teilaufgabe (a): Benutze das Ohm-Gesetz und eventuell Kirchoff-Regeln.
Teilaufgabe (b): Benutze die Definition der Leistung.
Lösung für (a)
Die Gesamtspannung \(U_{\text{in}} = 230 \, \text{V} \) fällt an den beiden Widerständen \(R_1\) und \(R_2\) ab; also an dem Gesamtwiderstand \(R = R_1 + R_2 \). Das Ohm-Gesetz lautet also in diesem Fall:1\[ U_{\text{in}} = R \, I \]hierbei ist \(I\) der elektrische Strom, der durch den Schaltkreis geht. Zu beachten ist, dass dieser Strom \(I\) der gleiche ist, der sowohl durch den Widerstand \(R_1\) als auch durch den Widerstand \(R_2\) geht.
Die Ausgangsspannung \(U_{\text{out}}\), die am Widerstand \(R_2\) abfällt, muss \(12 \, \text{V}\) sein. Das ist ja gewünscht! Das Ohm-Gesetz für den Widerstand \(R_2\) lautet:2\[ U_{\text{out}} = R_2 \, I \]
Der Strom \(I\) ist unbekannt. Dieser kann eliminiert werden, in dem 2
nach dem Strom umgestellt und dann in 1
eingesetzt wird:3\[ U_{\text{in}} = \frac{R}{R_2} \, U_{\text{out}} \]
Das Verhältnis vom Gesamtwiderstand zum Widerstand \(R_2\) an dem die \( 12 \, \text{V} \) abgegriffen werden, muss also betragen:4\[ \frac{U_{\text{in}}}{ U_{\text{out}} } = \frac{R}{R_2} \]
Einsetzen der konkreten Werte (die Einheit V kürzt sich weg) ergibt:
Lösung für (b)
Um sich den Energieverbrauch pro Sekunde anzuschauen, der tatsächlich vom \(R_2\) kommt und den Teil des Energieverbrauchs, der beim \(R_1\) ungenutzt 'verpuffert' wird, wird die Gesamtleistung \(P\) mit der am zweiten Widerstand umgesetzten Leistung \(P_2\) verglichen.
Die elektrische Leistung \(P\) der gesamten Schaltung ist:6\[ P = \frac{U_{\text{in}}^2}{R} \]
Die tatsächlich genutzte Leistung am Widerstand \(R_2\) ist dagegen:7\[ P_2 = \frac{U_{\text{out}}^2}{R_2} \]
Das Verhältnis von 7
zur Gesamtleistung 6
ergibt:8\[ \frac{P_2}{P} = \frac{U_{\text{out}}^2}{ U_{\text{in}}^2 } \, \frac{R}{R_2} \]
Einsetzen der konkreten Werte sowie das in Teilaufgabe (a) berechnete Verhältnis 5
:8\[ \frac{P_2}{P} = \frac{ (12 \, \text{V})^2 }{ (230 \, \text{V})^2 } \, \frac{230}{12} = 5.2 \, \% \]Die tatsächlich genutzte Leistung am Widerstand \(R_2\) beträgt nur \( 5.2 \, \% \). Der Rest wird am nicht genutzten Widerstand \(R_1\) "verpuffert". Deshalb ist diese Schaltung nicht enerieeffizient!
