Aufgabe mit Lösung Elektrische Kraft zwischen zwei Natrium-Kugeln
Zwei Kugeln aus Natrium jeweils der Masse \(M = 0.001 \, \text{kg} \) befinden sich im Abstand \( r = 1 \, \text{m} \) zueinander. Ein Zehntel der Kugel besteht aus einfach positiv geladenen \(\text{Na}^+\)-Ionen (d.h. aus eine Natrium-Atom wurde ein Valenzelektron entfernt).
Wie groß ist die elektrische Kraft \(F_{\text e}\) zwischen den beiden Natrium-Kugeln?
Lösungstipps
Benutze die Formel für das Coulomb-Gesetz. Die Masse eines Natrium-Atoms sollte auch bekannt sein, um die Quest zu lösen:\[ m ~=~ 23 ~\cdot~ 1.67 \cdot 10^{-27} \, \text{kg} \]
Lösung
Um die Quest zu lösen, muss einfach das Coulomb-Gesetz benutzt werden, der angibt, welche elektrische Kraft \(F_{\text e}\) zwei Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) aufeinander ausüben, wenn sie sich in einem Abstand \(r\) zueinander befinden:1\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \]
Das Ziel ist es also lediglich die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) der beiden Natirum-Kugeln herauszufinden. Der Abstand der Kugeln ist bekannt: \( r = 1 \, \text{m} \).
Da die beiden Natrium-Kugeln gleich groß sind und vor allem bei beiden die gleiche Anzahl an Elektronen fehlt, tragen sie die gleiche Ladung: \( q:= q_1 = q_2 \). Bezeichne sie einfach als \(q\). Das Coulomb-Gesetz 1
wird also zu:2\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{q^2}{r^2} \]
Jetzt müssen also nicht zwei unbekannte Größen \(q_1\) und \(q_2\) herausgefunden werden, sondern nur eine Größe, nämlich \(q\). Es ist laut der Quest bekannt, dass einem Zehntel aller Natrium-Atome einer Kugel ein Valenzelektron fehlt. Ein Valenzelektron trägt die negative Ladung \( e = -1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \), somit sind ein Zehntel der Natrium-Atome positiv geladen (sie heißen \(\text{Na}^+\)-Ionen). Ein einzelnes \(\text{Na}^+\)-Ion trägt also die Ladung \( e = +1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \). Die Gesamtladung \(q\) der Kugel ist also einfach die Anzahl der \(\text{Na}^+\)-Ionen \(N_{\text e}\) multipliziert mit der Ladung \(e\): \( q = N_{\text e} \, e\): 4\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left(N_{\text e} \, e\right)^2}{r^2} \]
Doch das einzige, was über ihre Anzahl bekannt ist, dass sie ein Zehntel von der Gesamtzahl \(N\) aller Natrium-Atome der Kugel ist: \(N_{\text e} = \frac{1}{10} \, N \): 5\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, N \,e \right)^2}{r^2} \]
Um herauszufinden, aus wie vielen Natrium-Atomen eine Kugel besteht, muss die Masse der Kugel bekannt sein (das ist sie: \(M = 0.001 \, \text{kg} \)) und die Masse eines einzelnen Natrium-Atoms. Die letzte kann aus dem Periodensystem der Elemente abgelesen werden: \(m = 23 \cdot 1.67 \cdot 10^{-27} \text{kg} \). Das Verhältnis der Massen entspricht der Anzahl der Natrium-Atome der Kugel:6\[ N ~=~ \frac{M}{m} \]
Setze nur noch 6
in 5
ein:7\[ F_{\text e} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{\left( \frac{1}{10} \, \frac{M}{m} \,e \right)^2}{r^2} \]
Das Ziel ist erreicht: Alle Größen in 7
sind bekannt. Setze sie ein, um herauszufinden, mit welcher Kraft sich die beiden kleinen Kugeln abstoßen:8\[ F_{\text e} ~=~ 1.56 \cdot 10^{15} \, \text{N} \]
Die berechnete Kraft ist kein Rechenfehler, sondern tatsächlich so unvorstellbar groß. Zum Vergleich: Die Erde und der Mond ziehen sich mit einer Kraft von \( 10^{20} \, \text{N}\) an.
