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Aufgabe mit Lösung Sonnenenergie & Weltenergieverbrauch

Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Die Solarkonstante beträgt \( \mathcal{E}_{\text S} ~=~ 1367 \, \frac{\mathrm W}{\mathrm{m}^2} \) und sagt aus, wie viel Energie innerhalb einer Stunde auf einen Quadratmeter bei der Erde von der Sonne ankommt.

  1. Wie viel Leistung kommt von der Sonne bei uns auf der Erde an?

  2. Nach einer Energiestudie von 2016 verbraucht die Menschheit 550 EJ ("E" steht für "Exa") pro Jahr. Kann dieser Energieverbrauch theoretisch durch die Sonnenenergie gedeckt werden?

Lösungstipps

Tipp zu (a): Benutze die Solarkonstante und die Kreisfläche mit dem Erdradius \( r = 6371 \, \text{km} \). Die Kreisfläche soll einfachheitshalber die Erde darstellen.

Tipp zu (b): Nutze Dein Ergebnis aus (a) und rechne es für ein Jahr aus. Vergleiche dann den Weltenergieverbrauch mit dem berechneten Energiewert.

Lösung für (a)

Die Solarkonstante ist bekannt und gibt die Leistung pro Quadratmeter an:1\[ \mathcal{E}_{\text S} ~=~ 1367 \, \frac{\text W}{\text{m}^2} \]

Jetzt musst Du herausfinden, wie groß die Fläche der Erde ist, die der Sonne zugewandt ist. Um die Rechnung zu vereinfachen, kannst Du beispielsweise annehmen, dass diese Fläche eine Kreisfläche ist mit dem Radius der Erde. Die Erde hat den Radius \( r = 6371 \, \text{km} \). Damit beträgt die runde Erdfläche \(A_{\text E}\):2\[ A_{\text E} ~=~ \pi \, r^2 \]

Multipliziere nur noch 1 und 2 miteinander, um die Leistung \( P_{\text E} \) zu bekommen, die von der Sonne auf der Erdfläche "landet".3\[ P_{\text E} ~=~ \mathcal{E}_{\text S} \, \pi \, r^2 ~=~ 1367 \, \frac{\text W}{\text{m}^2} * \pi * (6371 000 \,\text{m})^2 ~=~ 1.743 * 10^{17} \, \text{W} ~=~ 174.3 \, \text{PW} \]

"P" in "PW" heißt "Peta" und steht als Abkürzung für \( 10^{15} \).

Lösung für (b)

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