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Aufgabe mit Lösung Anzahl der Möglichkeiten: Teilchen auf Zustände verteilen

Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Wie viele Möglichkeiten gibt es...

  1. \( n \) unterscheidbare Teilchen auf \( m \) verschiedene, mehrfach besetzbare Zustände zu verteilen?

  2. \( n \) identische Teilchen auf \( m \) verschiedene, mehrfach besetzbare Zustände zu verteilen?

  3. \( n \) unterscheidbare Teilchen auf \( m \) verschiedene und nur einmalig besetzbare Zustände zu verteilen?

  4. \( n \) identische Teilchen auf \( m \) verschiedene und nur einmalig besetzbare Zustände zu verteilen?

Lösungstipps

Die Teilchen müssen stets - offensichtlich - irgendeinen Zustand annehmen, d.h. es gilt: \( m ~\geq~ n \).

Lösung für (a)

"unterscheidbar" bedeutet: Es macht einen Unterschied, ob Du die Teilchen untereinander vertauschst, nachdem Du sie auf die Zustände verteilt hast.

verschiedene Zustände bedeutet das Gleiche, wie bei den "unterscheidbaren Teilchen".

"mehrfach besetzbare Zustände" bedeutet: Du kannst mehrere oder sogar alle Teilchen auf einen einzigen Zustand setzen. Du kannst Dir das so vorstellen, als hätte jeder Zustand "unendlich viel Platz".

Setzt Du nun erstes Teilchen auf einen Zustand, so können die übrigen \( (n-1)\) Teilchen immernoch einen der \( m \) Zustände annehmen (und nicht \( (m-1) \) Zustände, wie es im Fall von "einfach besetzbaren" Zuständen wäre).

Das erste Teilchen hat \( m \) mögliche Zustände. Das zweite Teilchen auch, das dritte, das vierte und auch das \(n\)-te Teilchen. Also gibt es folgende Anzahl an Möglichkeiten: \[ m~\cdot~m~\cdot~m~\cdot~...~\cdot~m ~=~ m^n \]

Lösung für (b)

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Lösung für (c)

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Lösung für (d)

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