Direkt zum Inhalt

Aufgabe mit Lösung Größe vom Heißluftballon zum Aufsteigen

Level 2 (ohne höhere Mathematik)
Level 2 setzt Schulmathematik voraus. Geeignet für Schüler.

Ein Heißluftballon besitzt ein Gesamtgewicht von \( m = 400 \, \text{kg}\). Das Innere des Ballons ist mit Luft gefüllt. Die Luft hat die Temperatur \(T = 30^{\circ}\text{C}\).

Welchen Radius \(r\) muss ein Heißluftballon besitzen, damit dieser bei \(10^{\circ} \text{C}\) aufsteigen kann?

Lösungstipps

Benutze Saurons Auge, um die Formeln für Auftriebskraft und Fallkraft zu finden, falls du sie nicht parat hast. Die Luftdichte \(\rho_{\text T}\) für die entsprechende Temperatur \(T\) (unter Normaldruck) ist in der folgenden Tabelle gegeben.

Temperaturabhängigkeit der Luftdichte.
Temperatur \(T\) in \(^{\circ}\text{C}\)Dichte \( \rho_{\text T} \) in \(\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\)
301.1644
201.2041
101.2466
51.2690
01.2920

Lösungen

Alle Inhalte der Website sind kostenlos. Da aber dieses Projekt nicht von Luft und Liebe leben kann, ist es auf die Werbeeinnahmen angewiesen. Möchtest du die Lösungen sehen? Deaktiviere bitte deinen AdBlocker!
Lösung

Damit der Heißluftballon aufsteigen kann, muss auf ihn einwirkende Fallkraft \(m\,g\) durch die Auftriebskraft \(\rho \, V \, g\) kompensiert werden. Zur Gewichtskraft muss noch neben der Masse \(m\) des Heißluftballons, auch noch die Masse der Luft \(m_{\text L}\) berücksichtigt werden, die sich im Ballon befindet. Es muss also gelten:1\[ m \, g ~+~ m_{\text L} \, g ~=~ \rho_{10} \, V \, g \]

Die Fallbeschleunigung \(g\) kürzt sich in 1 weg:2\[ m ~+~ m_{\text L} ~=~ \rho_{10}\, V \]

Dabei ist \( \rho_{10} \) die Dichte der Luft bei \(10^{\circ} \, \text{C}\), die der Tabelle aus dem Lösungshinweis entnommen wurde. Und \( V \) ist das Volumen der vom Heißluftballon verdrängten Luft, also genau das Volumen des Ballons. Das Volumen der Gondel kann hier vernachlässigt werden.

Da die Masse \(m_{\text L}\) der Luft im Inneren des Ballons nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der bekannten Dichte \(\rho_{30}\) (bei 30 Grad Celsius) ausgedrückt: \( m_{\text L} ~=~ \rho_{30}\, V \): 3\[ m ~+~ \rho_{30} \, V ~=~ \rho_{10} \, V \]

Das Volumen \(V\) muss mit dem gesuchten Radius \(r\) des Heißluftballons ausgedrückt werden. Es wird angenommen, dass der Ballon näherungsweise kugelförmig ist. Dann beträgt das Volumen: \( V ~=~ \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \). Einsetzen in 3:4\[ m ~+~ \rho_{30} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 ~=~ \rho_{10} \, \frac{4}{3} \, \pi \, r^3 \]

Forme Gleichung 4 nach dem Radius um:5\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{3m}{4\pi (\rho_{10} - \rho_{30} )} } \]

Die Dichte der Luft bei 10 Grad beträgt laut der Tabelle im Lösungshinweis \( \rho_{10} ~=~ 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Und bei 30 Grad: \( \rho_{30} ~=~ 1.644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \). Einsetzen der gegebenen Werte in 5 ergibt den Radius:6\[ r ~=~ \sqrt[3]{ \frac{ 3 ~*~ 400 \, \text{kg} }{4\pi \left( 1.2466 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} ~-~ 1.1644 \, \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \right) }} ~=~ 10.51 \, \text{m} \]