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Aufgabe mit Lösung Steighöhe einer dielektrischen Flüssigkeit im Plattenkondensator

In eine Flüssigkeit (Dielektrikum) eingetauchter Plattenkondensator
Level 3 (mit höherer Mathematik)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
In eine Flüssigkeit (Dielektrikum) eingetauchter Plattenkondensator
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Dielektrische Flüssigkeit zwischen den Platten steigt um die Höhe \(h\) an, sobald eine Spannung angelegt wird.

In eine Flüssigkeit mit der relativen Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \) und Dichte \(\rho\) werden zwei Kondensatorplatten mit Höhe \(a\) und Länge \(b\) bis zur Höhe \(s\) eingetaucht. Die Platten befinden sich im Abstand \(d\) zueinander. Nun wird eine Spannungsquelle benutzt, um die beiden Platten auf eine Spannung \(U\) aufzuladen. Im Experiment wird beobachtet, dass die Flüssigkeit dann um die Höhe \(h\) zwischen den Platten ansteigt.

  1. Wie ändert sich die Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle nach dem Aufladen der Platten abgeschaltet wird?
  2. Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Spannung \(U\) und der Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle nicht abgeschaltet wird?
Lösungstipps

Teilaufgabe (a): Teile den Plattenkondensator in drei parallel geschaltete Plattenkondensatoren (Teilkondensatoren) auf, die ein entsprechendes Dielektrikum zwischen den Platten haben. Betrachte dann die potentielle Energie der angestiegenen Flüssigkeitsmenge und setze sie mit der elektrischen Energie des jeweiligen Teilkondensators gleich (Energieerhaltung).

Teilaufgabe (b): Berücksichtige dabei, dass die Batterie die Ladung auf die Kondensatorplatten nachliefert.

Lösungen

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Lösung für (a)

Beim Anlegen der Spannung \(U\) wurde die Flüssigkeit zwischen den Kondensatorplatten um die Höhe \(h \) entlang der \(z\)-Achse angehoben.

In diesem Fall wird der Plattenkondensator auf die Spannung \(U\) aufgeladen und die Spannungsquelle wird abgeschaltet. Das heißt: Die Ladung \(Q_0\), die beim Einschalten der Spannungsquelle auf die Kondensatorplatten gebracht wird, bleibt konstant, weil die Spannungsquelle nach dem Aufladen abgeschaltet wird und damit keine zusätzlichen Ladungen liefern kann.

Die angehobene Flüssigkeitsmenge hat an potentieller Energie \(W_{\text{pot}}\) gewonnen:1$$ W_{\text{pot}} ~=~ -\int_{0}^{h} F_{\text g} \text{d}z $$

Hierbei ist \( F_{\text g} = m \, g \) die Fallkraft, die auf die angehobene Flüssigkeitsmasse \(m\) ausgeübt wird. Da die Masse \(m\) nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der gegebenen Massendichte \( \rho \) und dem Volumen \(V(z)\), das die angehobene Flüssigkeitsmenge einnimmt, umgeschrieben: \( m = \rho \, V(z) \), wobei \(V(z) = z \, d \, b \) von der variablen Höhe \(z\) abhängt: \( m = \rho \, z \, d \, b \). Damit wird Gl. 1 zu:2\begin{align} W_{\text{pot}} &~=~ -\int_{0}^{h} g\, \rho \, z \, d \, b ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - g\, \rho \, d \, b \int_{0}^{h} z ~ \text{d}z \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d \,b \left[ z^2 \right]_{0}^{h} \\\\ &~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d\,b\,h^2 \\\\ & ~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h \end{align}

Hierbei haben wir in der letzten Zeile \( V = d\,b\,h\) geschrieben. Da an unserem Plattenkondensator der Gesamtkapazität \(C\) eine konstante Spannung \(U\) anliegt, ist im Plattenkondensator folgende elektrische Energie gespeichert:3$$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, C \, U^2 $$

Die Gesamtkapazität \(C\) setzt sich zusammen aus der Kapazität \(C_0\) des Teils des Kondensators, der noch im Vakuum ist und aus der Kapazität \(C_{\text r}\) des Teils des Kondensators, der mit Flüssigkeit gefüllt ist:4$$ W_{\text e} ~=~ \frac{1}{2} \, (C_0 + C_{\text r}) \, U^2 $$

Die Kapazität am Plattenkondensator ohne Dielektrikum (also im Vakuum) ist \( C_0 = \varepsilon_0 \, A_0 / d \) und die Kapazität am Plattenkondensator mit Dielektrikum ist \( C_{\text r} = \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r} \, A_{\text r} / d \). Nach der Aufgabenstellung ist die Fläche \( A_0 = b \, (a - h - s)\) und die Fläche \( A_{\text r} = b \, (h+s)\).

Die elektrische Energie 3 enthält damit drei Terme:5\begin{align} W_{\text e} &~=~\frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, a \, U^2 \\\\ &~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, h \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \\\\ & ~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, s \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \end{align}

Der erste Term ist die elektrische Energie, die im Kondensator mit Vakuum steckt. Der zweite Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(h\) steckt. Der dritte Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(s\) steckt. Der Anteil der elektrischen Energie, der der potentiellen Energie der Flüssigkeit entsprechen muss, ist der zweite Term. Gleichsetzen des zweiten Terms mit 2 und das Umstellen nach der Steighöhe \( h \) ergibt den gesuchten Zusammenhang zwischen \(h\) und \(U\).

6\[ h = \frac{\varepsilon_0 \, (\varepsilon_{\text r} - 1)}{\rho \, g \, d^2} \, U^2 \]
Die Steighöhe steigt quadratisch mit \(U\) an. Aus der Messung der Steighöhe kann die relative Permittivität \( \varepsilon_{\text r}\) der Flüssigkeit experimentell bestimmt werden.
Lösung für (b)
$$ h ~\approx~ \frac{\varepsilon_0}{\rho \, g \, d^2} \, \frac{1}{\varepsilon_{\text r}^2} \, U^2 $$
Nach dem Aufladen der Platten auf \(U\) und anschließendes Abschalten der Spannungsquelle sinkt die Steighöhe, gegenüber dem Fall ohne Abschalten der Spannungsquelle, um den Faktor:\[ (\varepsilon_{\text r} - 1) \, \varepsilon_{\text r}^2 \]