Aufgabe mit Lösung Steighöhe einer dielektrischen Flüssigkeit im Plattenkondensator
In eine Flüssigkeit mit der relativen Permittivität \( \varepsilon_{\text r} \) und Dichte \(\rho\) werden zwei Kondensatorplatten mit Höhe \(a\) und Länge \(b\) bis zur Höhe \(s\) eingetaucht. Die Platten befinden sich im Abstand \(d\) zueinander. Nun wird eine Spannungsquelle benutzt, um die beiden Platten auf eine Spannung \(U\) aufzuladen. Im Experiment wird beobachtet, dass die Flüssigkeit dann um die Höhe \(h\) zwischen den Platten ansteigt.
- Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Spannung \(U\) und der Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle NICHT abgeschaltet wird?
- Wie ändert sich die Höhe \(h\), wenn die Spannungsquelle nach dem Aufladen der Platten abgeschaltet wird?
Lösungstipps
Teilaufgabe (a): Teile den Plattenkondensator in drei parallel geschaltete Plattenkondensatoren (Teilkondensatoren) auf, die ein entsprechendes Dielektrikum zwischen den Platten haben. Betrachte dann die potentielle Energie der angestiegenen Flüssigkeitsmenge und setze sie mit der elektrischen Energie des jeweiligen Teilkondensators gleich (Energieerhaltung).
Teilaufgabe (b): Analoges Vorgehen, nur jetzt mit der Berücksichtigung, dass das elektrische Feld \( E \) in Materie in einem Dielektrikum um den Faktor \( \varepsilon_{\text r} \) kleiner wird als das E-Feld \(E_0\) im Vakuum: \( E = E_0 / \varepsilon_{\text r} \).
Lösungen
Lösung für (a)
Beim Anlegen der Spannung \(U\) wurde die Flüssigkeit zwischen den Kondensatorplatten um die Höhe \(h \) entlang der z-Achse angehoben. Diese Anhebung entspricht der folgenden potentiellen Energie:1\[ W_{\text p} = -\int_{0}^{h} F_{\text g} \text{d}z \]hierbei ist \( F_{\text g} = m \, g \) die Fallkraft, die auf die angehobene Flüssigkeitsmasse \(m\) ausgeübt wird. Da \(m\) nicht bekannt ist, wird sie mithilfe der gegebenen Massendichte \( \rho \) und dem Volumen, welches die angehobene Flüssigkeitsmenge einnimmt, umgeschrieben: \( m = \rho \, V \), wobei \(V(z) = z \, d \, b \) von der variablen Höhe \(z\) abhängt. Damit wird 1
zu:2\begin{align}
W_{\text p} &~=~ -\int_{0}^{h} g\, \rho \, z \, d \, b ~ \text{d}z \\\\
&~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, g \, d\,b\,h^2 \\\\
& ~=~ - \frac{1}{2} \, \rho \, V \, g \, h
\end{align}
Das \(1/2\) kommt dadurch zustande, weil die Flüssigkeitsmenge keine Punktmasse, sondern ausgedehnt ist. Der Massenmittelpunkt der Flüssigkeit liegt auf der Hälfte der Höhe \(h\).
Mit der Spannung \(U\) hat der Kondensator eine elektrische Energie gewonnen, nämlich:3\[ W_{\text e} = \frac{1}{2} \, C \, U^2 \]
Die Gesamtkapazität \(C\) setzt sich aus der Kapazität \(C_0\) des Teils des Kondensators, der noch im Vakuum ist und aus der Kapazität \(C_{\text r}\) des Teils des Kondensators, der mit Flüssigkeit gefüllt ist, zusammen:4\[ W_{\text e} = \frac{1}{2} \, (C_0 + C_{\text r}) \, U^2 \]
Die Kapazität am Plattenkondensator ohne Dielektrikum (also im Vakuum) ist \( C_0 = \varepsilon_0 \, A_0 / d \) und die Kapazität am Plattenkondensator mit Dielektrikum ist \( C_{\text r} = \varepsilon_0 \, \varepsilon_{\text r} \, A_{\text r} / d \). Nach der Aufgabenstellung ist die Fläche \( A_0 = b \, (a - h - s)\) und die Fläche \( A_{\text r} = b \, (h+s)\).
Die elektrische Energie 3
enthält damit drei Terme:5\begin{align}
W_{\text e} &~=~\frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, a \, U^2 \\\\
&~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, h \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2 \\\\
& ~+~ \frac{\varepsilon_0}{2} \, \frac{b}{d} \, s \, (\varepsilon_{\text r}-1) \, U^2
\end{align}
Der erste Term ist die elektrische Energie, die im Kondensator mit Vakuum steckt. Der zweite Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(h\) steckt. Der dritte Term ist die elektrische Energie, die im mit der Flüssigkeit vollständig ausgefüllten Kondensator der Höhe \(s\) steckt. Der Anteil der elektrischen Energie, der der potentiellen Energie der Flüssigkeit entsprechen muss, ist der zweite Term. Gleichsetzen des zweiten Terms mit 2
und das Umstellen nach der Steighöhe \( h \) ergibt den gesuchten Zusammenhang zwischen \(h\) und \(U\).
Lösung für (b)
Hier wird analog wie in Teilaufgabe (a) vorgegangen, mit dem Unterschied, dass jetzt \(U\) nicht mehr konstant ist. In Materie reduziert sich das E-Feld um den Faktor \( \varepsilon_{\text r} \): \( E = E_0 / \varepsilon_{\text r} \). Hierbei ist \( E_0 \) das elektrische Feld im Vakuum.