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Aufgabe mit Lösung Myonisches Wasserstoffatom

Level 3 (für fortgeschrittene Schüler und Studenten)
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Myonischer Wasserstoff besteht aus einem Proton im Kern und einem Myon statt einem Elektron. Ein Myon hat zwar die gleiche Ladung wie ein Elektron, allerdings ist es 207 mal schwerer. Berechne:

  1. Bindungsenergie des Myons in der untersten Schale.
  2. Bohr-Radius ohne Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons.
  3. Bohr-Radius mit Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons.
Lösungstipps

Benutze die Formel für die Bindungsenergie, die sich aus kinetischer und potentieller Energie des Myons zusammensetzt. Diese kann leicht mithilfe der Bohr-Quantenbedingung: \( L = n \, \hbar \) hergeleitet werden.

"Mitbewegung des Protons" bedeutet - das Proton wird nicht ortsfest angenommen, finde dafür die Formel für reduzierte Masse.

Lösungen

Lösung für (a)

Im H-Atom umkreist das Myon der Ladung \(-e\) das Proton mit der Ladung \(e\). Die Bindungsenergie des Myons ist die Summe seiner kinetischen und potentiellen Energie im H-Atom:1\[ E ~=~ \frac{1}{2} \, m_{\mu} \, v^2 ~-~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{r} \]

Damit das Myon sich stabil auf einer Kreisbahn bewegt, muss die Zentripetalkraft und die Coulomb-Kraft im Gleichgewicht sein:2\[ \frac{m_{\mu} \, v^2}{r} ~=~ \frac{1}{4\pi \, \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{r^2} \]

Mit der Bohr-Quantenbedingung, die besagt, dass der Drehimpuls nur als Vielfaches \(n\) von \(\hbar\) existiert: \( L = m_{\mu} \, v \, r = n \, \hbar \), kann die Geschwindigkeit \(v\) in 2 mit der Bohr-Quantenbedingung eliminiert werden. Die Umstellung nach dem Radius \(r:=r_n\) ergibt den sogenannten Bohr-Radius für verschiedene Quantenzustände \(n\) des Myons: 3\[ r_n ~=~ \frac{4\pi \, \varepsilon_0 \, \hbar^2}{e^2 \, m_{\mu}} \, n^2 \]

Zuerst wird die Geschwindigkeit in 1 mit der Bohr-Quantenbedingung ersetzt. Dann wird der Bohr-Radius 3 in 1 eingesetzt. Mit \( \hbar = h /2\pi \) ergibt sich dann die quantisierte Energie des Myons im H-Atom:4\[ E_n ~=~ \frac{m_{\mu} \, e^4}{8 \varepsilon_{0}^2 \, h^2} \, \frac{1}{n^2} \]

Setze die Masse des Myons \(m_{\mu} = 207 m_{\text{e}}\) ein:5\[ E_n ~=~ - \frac{207 m_{\text{e}} \, e^4}{8 \varepsilon_{0}^2 \, h^2} \, \frac{1}{n^2} \]

Da die Aufgabenstellung die Bindungsenergie auf der untersten Schale verlangt, ist \( n ~=~ 1 \):

6\[ E_1 ~=~ - \frac{207 m_{\text e} \, e^4}{8 \varepsilon_{0}^2 \, h^2} \]

Einsetzen der Konstanten ergibt:7\[ E_n ~=~ - \frac{207 ~\cdot~ 9.109 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} ~\cdot~ (1.602 \cdot 10^{-19} \, \text{C})^4}{8 \cdot (8.854 \cdot 10^{-12}\frac{\text{As}}{\text{Vm}})^2 ~\cdot~ (6.626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js})^2} = -0.45 \, \text{fJ} \]

Lösung für (b)

Ohne Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons bedeutet, das Proton ist in Ruhe und wird von dem Myon auf einer festen Bahn umkreist. Die Bedingung für eine feste Bahn des Myons ist gegeben durch das Gleichgewicht zwischen Zentripetalkraft und Coulomb-Kraft:8\[ \frac{m_{\mu} \, v^2}{r} ~=~ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{r^2} \]

Außerdem brauchst Du die Bedingung, dass die Radien \( r_n \) gequantelt sind:9\[ 2\pi r_n ~=~ n \, \lambda \]

Und zuletzt noch die de-Broglie-Beziehung:10\[ \lambda ~=~ \frac{h}{p} ~=~ \frac{h}{m_{\mu} \, v} \]

Diese stellst Du nach der Geschwindigkeit \( v \) um:11\[ v ~=~ \frac{h}{m_{\mu} \, \lambda} \]

Stelle nun 9 nach der Wellenlänge um und setze sie in 11 ein:12\[ v ~=~ \frac{n \, h}{ 2\pi \, r_n \, m_{\mu} } \]

Diese Geschwindigkeit in 12 kannst Du nun in 1 einsetzen:13\[ \frac{m_{\mu} \, n^2 \, h^2}{4\pi^2 \, r^3 \, m_{\mu}^2 } ~=~ \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \, \frac{e^2}{r^2} \]

Forme nur noch 13 nach dem Radius um:

14\[ r_n = \frac{h^2 \, \varepsilon_0 }{\pi \, e^2 \, m_{\mu} } \, n^2 \]
Lösung für (c)

Berücksichtigung der Mitbewegung des Protons bedeutet: Das Proton bewegt sich gemeinsam mit dem Myon um ihren gemeinsamen Schwerpunkt mit. Dazu wird für die Masse des Myons in 14 lediglich die reduzierte Masse eingesetzt. Diese beinhaltet sowohl die Masse des Myons als die Masse des Protons.