Aufgabe mit Lösung Ausdrücke mit Kronecker-Delta vereinfachen
Level 3 setzt die Grundlagen der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.
Vereinfache die folgenden Ausdrücke mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Kronecker-Delta:
- \(\delta_{ji}\,T_{ink}\)
- \(\delta_{j1}\,\delta_{ji}\,\delta_{2i}\)
- \(\delta_{ik}\,\delta_{i3}\,\delta_{3k}\)
- \(\delta_{jj}\) mit \(j ~\in~ \{ 1,2,3,4 \} \)
Lösungstipps
Nutze die Eigenschaften des Kronecker-Delta, die du in der Lektion gelernt hast.
Lösungen
Lösung
Bei diesen Aufgaben solltest Du im Hinterkopf behalten, dass \(\delta_{ik}\,\delta_{ij}\) sich zusammenfassen lässt zu \(\delta_{kj}\) und, dass über gleiche Indizies - wegen der Summenkonvention - summiert wird:\[ \delta_{ii} ~=~ 1~+~1~+~ ... ~+~ 1 ~=~ n \]
- Lösung zu (a): \[ \delta_{ji} \, T_{ink} ~=~ T_{jnk} \]
- Lösung zu (b): Fasse mit obiger Regel, z.B. zuerst \( j \) zusammen und dann \( i \); dies wird nach Definition von Kronecker-Delta zum Ergebnis Null führen: \begin{align} \delta_{j1} \, \delta_{ji} \, \delta_{2i} &~=~ \delta_{1i} \, \delta_{2i} \\\\ &~=~ \delta_{12} \\\\ &~=~ 0 \end{align}
- Lösung zu (c): Gehe analog wie bei (b) vor, nur, dass Du am Ende nach Kronecker-Delta-Definition nicht Null, sondern Eins herausbekommst: \begin{align} \delta_{ik} \, \delta_{i3} \, \delta_{3k} &~=~ \delta_{k3} \, \delta_{3k} \\\\ &~=~ \delta_{33} \\\\ &~=~ 1 \end{align}
- Lösung zu (d): Über \( j \) wird bis 4 summiert:\begin{align} \delta_{jj} &~=~ \delta_{11} ~+~ \delta_{22} ~+~ \delta_{33} ~+~ \delta_{44} \\\\ &~=~ 1~+~1~+~1~+~1 \\\\ &~=~ 4 \end{align}