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Aufgabe mit Lösung 6 Ausdrücke mit Kronecker-Delta vereinfachen

Level 3 (bis zum Physik B. Sc.)
Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten.

Vereinfache die folgenden Ausdrücke mithilfe der Regeln für das Rechnen mit Kronecker-Delta:

  1. \(\delta_{31}\,\delta_{33}\)
  2. \(\delta_{ji}\,T_{ink}\)
  3. \(\delta_{j1}\,\delta_{ji}\,\delta_{2i}\)
  4. \(\delta_{ik}\,\delta_{i3}\,\delta_{3k}\)
  5. \(\delta_{jj}\) mit \(j ~\in~ \{ 1,2,3,4 \} \)
  6. \(\delta_{k\mu} \, \varepsilon_{kmn} \, \delta_{ss} \) mit \(s ~\in~ \{ 1,2 \} \)
Lösungstipps

Nutze die Eigenschaften des Kronecker-Delta, die du in der Lektion gelernt hast. Zum Beispiel solltest du bei diesen Aufgaben im Hinterkopf behalten, dass \(\delta_{ik}\,\delta_{ij}\) sich zusammenfassen lässt zu \(\delta_{kj}\) und, dass über gleiche Indizies - wegen der Summenkonvention - summiert wird:$$ \delta_{ii} ~=~ 1~+~1~+~ ... ~+~ 1 ~=~ n $$

Lösungen

Lösung für (a)

Hier vereinfachen folgenden Ausdruck:\begin{align} \delta_{31}\,\delta_{33} ~&=~ 0 \cdot 1 ~=~ 0 \end{align}

Wir haben ausgenutzt, dass \( \delta_{31} = 0 \) ist, weil die Indizes zwei unterschiedliche Werte haben und \( \delta_{33} = 1 \) zwei gleiche Indizes hat.

Lösung für (b)

Hier vereinfachen folgenden Ausdruck:\begin{align} \delta_{ji} \, T_{ink} ~&=~ T_{jnk} \end{align}

Wir haben die Rechenregel ausgenutzt, dass das Kronecker-Delta \( \delta_{ji} \) alles eliminiert außer \( T_{jnk} \), bei dem \( i = j \) ist.

Lösung für (c)

Hier vereinfachen folgenden Ausdruck:\begin{align} \delta_{j1} \, \delta_{ji} \, \delta_{2i} \end{align}Fasse zum Beispiel zuerst den Index \(j\) in \(\delta_{j1} \, \delta_{ji}\) zusammen und dann den Index \(i\):\begin{align} \delta_{j1} \, \delta_{ji} \, \delta_{2i} &~=~ \delta_{i1} \, \delta_{2i} \\\\ &~=~ \delta_{12} \\\\ &~=~ 0 \end{align}

Natürlich könntest du genauso zuerst den Index \(i\) in \(\delta_{ji} \, \delta_{2i}\) zusammenfassen:\begin{align} \delta_{j1} \, \delta_{ji} \, \delta_{2i} &~=~ \delta_{j1} \, \delta_{2j} \\\\ &~=~ \delta_{21} \\\\ &~=~ 0 \end{align}

Du bekommst das gleiche Ergebnis.

Lösung für (d)

Gehe analog wie bei (c) vor, nur, dass Du am Ende nach Kronecker-Delta-Definition nicht Null, sondern Eins herausbekommst:\begin{align} \delta_{ik} \, \delta_{i3} \, \delta_{3k} &~=~ \delta_{k3} \, \delta_{3k} \\\\ &~=~ \delta_{33} \\\\ &~=~ 1 \end{align}

Auch hier spielt die Reihenfolge der Vereinfachung keine Rolle.

Lösung für (e)

Hier vereinfachen folgenden Ausdruck, wobei über den Index \( j \) bis 4 summiert wird:\begin{align} \delta_{jj} \end{align}Es ist also eine Summe mit vier Summanden:\begin{align} \delta_{jj} &~=~ \delta_{11} ~+~ \delta_{22} ~+~ \delta_{33} ~+~ \delta_{44} \\\\ &~=~ 1~+~1~+~1~+~1 \\\\ &~=~ 4 \end{align}

Lösung für (f)

Hier vereinfachen folgenden Ausdruck, wobei über den Index \( s \) bis 2 summiert wird:\begin{align} \delta_{k\mu} \, \varepsilon_{kmn} \, \delta_{ss} \end{align}

Fassen wir zuerst \( \delta_{k\mu} \, \varepsilon_{kmn} \) zusammen und schreiben dann die Summe \(\delta_{ss}\) aus:\begin{align} \delta_{k\mu} \, \varepsilon_{kmn} \, \delta_{ss} &~=~ \varepsilon_{\mu mn} \, \delta_{ss} \\\\ &~=~ \varepsilon_{\mu mn} \, \left( \delta_{11} ~+~ \delta_{22} \right) \\\\ &~=~ \varepsilon_{\mu mn} \, \left( 1~+~ 1 \right) \\\\ &~=~ 2\, \varepsilon_{\mu mn} \end{align}