Aufgabe mit Lösung Produktregel für den Gradient / Nabla-Operator (2D)
Nimm zwei skalare Funktionen \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \). Zeige, dass die folgende Produktregel gilt:
Hierbei ist \( \nabla \) der Nabla-Operator.
Lösungstipps
Schreibe die Definition des Nabla-Operators in 2d aus. Dieser hat also zwei Komponenten. Benutze dann die Rechenregeln für Vektoren.
Lösung
Zuerst definieren wir partielle Ableitungen \( \frac{\partial}{\partial i} := \partial_i \) mit \( i \in \{ x,y,z \}\) für eine kompakte Notation.
Laut der Quest sind die skalaren Funktionen \( f(x,y) \) und \( g(x,y) \) abhängig von nur zwei Variablen \( x, y \). Somit brauchst Du einen zweidimensionalen \( \nabla \)-Operator (die z-Komponente wird weggelassen): 1\[ \nabla (f \, g) ~=~ \left(\begin{array}{c} \partial_x \left(f \, g\right) \\ \partial_y \left(f \, g\right) \end{array}\right) \]
Wende Produktregel für Ableitungen, also (a b)' = a b' + b a', auf die Komponenten von 1
an:2\[ \nabla (f \, g) ~=~ \left(\begin{array}{c} f \, \partial_x g + g \, \partial_x f\\ f \, \partial_y g + g \, \partial_y f \end{array}\right) \]
Ziehe den Summenvektor 2
in zwei Vektoren auseinander: 3\[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \left(\begin{array}{c} \partial_x g \\ \partial_y g \end{array}\right) ~+~ g \, \left(\begin{array}{c} \partial_x f\\ \partial_y f \end{array}\right) \]
Setze die Definition von \( \nabla \) ein:4\[ \nabla (f \, g) ~=~ f \, \nabla g ~+~ g \, \nabla f \]
Und schon ist die Quest gelöst - die Produktregel für Nabla ist bewiesen!